Theorem lgsquadlem2 25965

Description: Lemma for lgsquad 25967. Count the members of 𝑆 with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 25964 to get the total count of lattice points in 𝑆 (up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgsquad.4	⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5	⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6	⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlem2	⊢ (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀   𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem2

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		lgseisen.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		lgseisen.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
4	1, 2, 3	lgseisen 25963	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
5		lgsquad.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
6	5	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
7	6	sumeq1i 15047	. . . 4 ⊢ Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
8	1, 5	gausslemma2dlem0b 25941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9	8	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12075	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
13	12	ltp1d 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
14		fzdisj 12929	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
16	8	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
17	16	rphalfcld 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
18	17	rpge0d 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
19		flge0nn0 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0)
20	10, 18, 19	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0)
21	8	nnnn0d 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
22		rphalflt 12406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 / 2) < 𝑀)
23	16, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) < 𝑀)
24	8	nnzd 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		fllt 13171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
26	10, 24, 25	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
27	23, 26	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀)
28	12, 9, 27	ltled 10777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀)
29		elfz2nn0 12993	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀))
30	20, 21, 28, 29	syl3anbrc 1340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀))
31		nn0uz 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
32	21, 31	eleqtrdi 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
33		elfzp12 12981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
35	30, 34	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
36		un0 4298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑀) ∪ ∅) = (1...𝑀)
37		uncom 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑀) ∪ ∅) = (∅ ∪ (1...𝑀))
38	36, 37	eqtr3i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑀) = (∅ ∪ (1...𝑀))
39		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = (1...0))
40		fz10 12923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...0) = ∅
41	39, 40	eqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = ∅)
42		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = (0 + 1))
43		0p1e1 11747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = 1)
45	44	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
46	41, 45	uneq12d 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = (∅ ∪ (1...𝑀)))
47	38, 46	eqtr4id 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
48		fzsplit 12928	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (1...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
49	43	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
50	48, 49	eleq2s 2908	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
51	47, 50	jaoi 854	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
53		fzfid 13336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
54	2	gausslemma2dlem0a 25940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
55	54	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
56	1	gausslemma2dlem0a 25940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
57	55, 56	nndivred 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
58	57	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
59		2nn 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
60		elfznn 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (1...𝑀) → 𝑢 ∈ ℕ)
61	60	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℕ)
62		nnmulcl 11649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
63	59, 61, 62	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
64	63	nnred 11640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
65	58, 64	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
66	54	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
67	56	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
68	66, 67	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ+)
69	68	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ+)
70	63	nnrpd 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ+)
71	69, 70	rpmulcld 12435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ+)
72	71	rpge0d 12423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
73		flge0nn0 13185	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
74	65, 72, 73	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 11945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
76	15, 52, 53, 75	fsumsplit 15089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
77	7, 76	syl5eqr 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
78	77	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
79		neg1cn 11739	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81		fzfid 13336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
82		ssun2 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
83	82, 52	sseqtrrid 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ (1...𝑀))
84	83	sselda 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
85	84, 74	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
86	81, 85	fsumnn0cl 15085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
87		fzfid 13336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∈ Fin)
88		ssun1 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
89	88, 52	sseqtrrid 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ (1...𝑀))
90	89	sselda 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
91	90, 74	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
92	87, 91	fsumnn0cl 15085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
93	80, 86, 92	expaddd 13508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
94		fzfid 13336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
95		xpfi 8773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
96	53, 94, 95	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
97		lgsquad.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
98		opabssxp 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
99	97, 98	eqsstri 3949	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
100		ssfi 8722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
101	96, 99, 100	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
102		ssrab2 4007	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
103		ssfi 8722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
104	101, 102, 103	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
105		hashcl 13713	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) ∈ ℕ0)
106	104, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) ∈ ℕ0)
107		ssrab2 4007	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
108		ssfi 8722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
109	101, 107, 108	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
110		hashcl 13713	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) ∈ ℕ0)
111	109, 110	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) ∈ ℕ0)
112	80, 106, 111	expaddd 13508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))))
113	90, 63	syldan 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
114		fzfid 13336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin)
115		xpsnen2g 8593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℕ ∧ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
116	113, 114, 115	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
117		hasheni 13704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
119		ssrab2 4007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
120	97	relopabi 5658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel 𝑆
121		relss 5620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}))
122	119, 120, 121	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}
123		relxp 5537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
124	97	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
125		opabidw 5377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
126	124, 125	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
127		anass 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
128	113	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
129	128	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
130	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
131	130	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
132	131	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
133	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
134	133	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
136	135	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
137	133	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
138		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℤ)
139	138	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℤ)
140		flge 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
141	137, 139, 140	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
142	136, 141	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
143		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℕ)
144	143	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℕ)
145	144	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
146		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℝ
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 2 ∈ ℝ)
148		2pos 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 < 2
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 0 < 2)
150		lemuldiv2 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
151	145, 133, 147, 149, 150	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
152	142, 151	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
153	152	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
154	131	ltm1d 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
155		peano2rem 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
156	131, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
157	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
158	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 2)
159		ltdiv1 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
160	156, 131, 157, 158, 159	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
161	154, 160	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2))
162	5, 161	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 < (𝑃 / 2))
163	129, 134, 132, 153, 162	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < (𝑃 / 2))
164	130	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
165		rphalflt 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (𝑃 / 2) < 𝑃)
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) < 𝑃)
167	129, 132, 131, 163, 166	lttrd 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
168	129, 131	ltnled 10776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
169	167, 168	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢))
170	1	eldifad 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
171	170	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
172		prmz 16009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
174		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
175	173, 128, 174	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
176	169, 175	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑢))
177	2	eldifad 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
178		prmrp 16046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
179	170, 177, 178	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
180	3, 179	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
181	180	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
182	177	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℙ)
183		prmz 16009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
185	128	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
186		coprmdvds 15987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
187	173, 184, 185, 186	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
188	181, 187	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
189	176, 188	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
190		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
191	190	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
192		dvdsmul2 15624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
193	191, 173, 192	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
194		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃)))
195	193, 194	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
196	195	necon3bd 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃)))
197	189, 196	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))
198		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
199	198, 130	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℕ)
200	199	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ)
201	54	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℕ)
202	201, 113	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
203	202	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
204	203	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
205	200, 204	ltlend 10774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))))
206	197, 205	mpbiran2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
207		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
208	207	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
209	130	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
210		lemuldiv 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
211	208, 204, 131, 209, 210	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
212	201	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ)
213	212	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
214	128	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
215	130	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
216	130	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
217	213, 214, 215, 216	div23d 11442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
218	217	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
219	206, 211, 218	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
220	212	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
221	212	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑄)
222		ltmul2 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
223	129, 132, 220, 221, 222	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
224	163, 223	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2)))
225		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
226		2ne0 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ≠ 0
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
228		divass 11305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
229		div23 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
230	228, 229	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
231	213, 215, 225, 227, 230	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
232	224, 231	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃))
233	220	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
234	233, 131	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ)
235		lttr 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
236	200, 204, 234, 235	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
237	232, 236	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
238		ltmul1 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
239	208, 233, 131, 209, 238	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
240	237, 239	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑄 / 2)))
241		peano2rem 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
242	220, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
243	242	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
244	213, 243, 225, 227	divsubdird 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2)))
245		lgsquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
246	245	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 / 2) − 𝑁) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2))
247	244, 246	eqtr4di 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − 𝑁))
248		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
249		nncan 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
250	213, 248, 249	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
251	250	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = (1 / 2))
252		halflt1 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 / 2) < 1
253	251, 252	eqbrtrdi 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) < 1)
254	247, 253	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1)
255	2, 245	gausslemma2dlem0b 25941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
256	255	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
257	256	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
258		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
259	233, 257, 258	ltsubadd2d 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1 ↔ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)))
260	254, 259	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1))
261		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
262	257, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
263		lttr 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
264	208, 233, 262, 263	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
265	260, 264	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
266	240, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
267		nnleltp1 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 < (𝑁 + 1)))
268	198, 256, 267	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 < (𝑁 + 1)))
269	266, 268	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 ≤ 𝑁))
270	269	pm4.71rd 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
271	90, 65	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
272		flge 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
273	271, 190, 272	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
274	219, 270, 273	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
275	274	pm5.32da 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
276	127, 275	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
277	276	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
278		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 = (2 · 𝑢))
279		nnuz 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
280	113, 279	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (ℤ≥‘1))
281	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
282		elfz5 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
283	280, 281, 282	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
284	152, 283	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
285	284	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
286	278, 285	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
287	286	biantrurd 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
288	255	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
289	288	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑁 ∈ ℤ)
290		fznn 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
292	287, 291	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
293		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑢) → (𝑥 · 𝑄) = ((2 · 𝑢) · 𝑄))
294	113	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
295	201	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
296	294, 295	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
297	293, 296	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑥 · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
298	297	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))))
299	292, 298	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
300	271	flcld 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
301		fznn 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
302	300, 301	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
303	302	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
304	277, 299, 303	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
305	126, 304	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
306	305	pm5.32da 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
307		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
308		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑦 ∈ V
309	307, 308	op1std 7681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑥)
310	309	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = 𝑥))
311		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑢) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢))
312	310, 311	syl6bb 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢)))
313	312	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)))
314	313	biancomi 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
315		opelxp 5555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
316		velsn 4541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢))
317	316	anbi1i 626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
318	315, 317	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
319	306, 314, 318	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
320	122, 123, 319	eqrelrdv 5629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} = ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
321	320	eqcomd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})
322	321	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}))
323		hashfz1 13702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
324	91, 323	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
325	118, 322, 324	3eqtr3rd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}))
326	325	sumeq2dv 15052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}))
327	101	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑆 ∈ Fin)
328		ssfi 8722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
329	327, 119, 328	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ∈ Fin)
330		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (1st ‘𝑧) = (1st ‘𝑣))
331	330	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑣)))
332	331	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ↔ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑣)))
333	332	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} → (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑣))
334	333	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑣))
335	334	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = ((1st ‘𝑣) / 2))
336	144	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℂ)
337	336	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → 𝑢 ∈ ℂ)
338		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → 2 ∈ ℂ)
339	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → 2 ≠ 0)
340	337, 338, 339	divcan3d 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
341	335, 340	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})) → ((1st ‘𝑣) / 2) = 𝑢)
342	341	ralrimivva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ((1st ‘𝑣) / 2) = 𝑢)
343		invdisj 5014	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} ((1st ‘𝑣) / 2) = 𝑢 → Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})
344	342, 343	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)})
345	87, 329, 344	hashiun 15169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}))
346		iunrab 4939	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}
347		2cn 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
348		zcn 11974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℂ)
349	348	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 𝑢 ∈ ℂ)
350		mulcom 10612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
351	347, 349, 350	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
352	351	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ (𝑢 · 2) = (1st ‘𝑧)))
353	352	rexbidva 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st ‘𝑧)))
354	138	anim1i 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)) → (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)))
355	354	reximi2 3207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))
356		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))
357		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
358	99, 357	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
359		xp1st 7703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
360	358, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
361	360	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
362		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st ‘𝑧) ≤ 𝑀)
363	361, 362	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (1st ‘𝑧) ≤ 𝑀)
364	356, 363	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
365		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℝ)
366	365	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℝ)
367	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
368	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
369	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 0 < 2)
370	366, 367, 368, 369, 150	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
371	364, 370	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
372	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
373		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℤ)
374	372, 373, 140	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
375	371, 374	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
376		2t0e0 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
377		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st ‘𝑧) ∈ ℕ)
378	361, 377	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (1st ‘𝑧) ∈ ℕ)
379	356, 378	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
380	379	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 0 < (2 · 𝑢))
381	376, 380	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (2 · 0) < (2 · 𝑢))
382		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
383		ltmul2 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
384	382, 366, 368, 369, 383	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
385	381, 384	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 0 < 𝑢)
386		elnnz 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑢))
387	373, 385, 386	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℕ)
388	387, 279	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
389	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
390		elfz5 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
391	388, 389, 390	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
392	375, 391	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))))
393	392, 356	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)))
394	393	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧))))
395	394	reximdv2 3230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)))
396	355, 395	impbid2 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)))
397		2z 12002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
398		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st ‘𝑧) ∈ ℤ)
399	360, 398	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1st ‘𝑧) ∈ ℤ)
400		divides 15601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (1st ‘𝑧) ∈ ℤ) → (2 ∥ (1st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st ‘𝑧)))
401	397, 399, 400	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (2 ∥ (1st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st ‘𝑧)))
402	353, 396, 401	3bitr4d 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧) ↔ 2 ∥ (1st ‘𝑧)))
403	402	rabbidva 3425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})
404	346, 403	syl5eq 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})
405	404	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st ‘𝑧)}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))
406	326, 345, 405	3eqtr2d 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))
407	406	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})))
408	1, 2, 3, 5, 245, 97	lgsquadlem1 25964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})))
409	407, 408	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))))
410	112, 409	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
411		unrab 4226	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))}
412		exmid 892	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))
413	412	rgenw 3118	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))
414		rabid2 3334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))} ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)))
415	413, 414	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))}
416	411, 415	eqtr4i 2824	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) = 𝑆
417	416	fveq2i 6648	. . . . 5 ⊢ (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) = (♯‘𝑆)
418		inrab 4227	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))}
419		pm3.24 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))
420	419	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)))
421	420	ralrimivw 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ¬ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)))
422		rabeq0 4292	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ¬ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)))
423	421, 422	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧))} = ∅)
424	418, 423	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) = ∅)
425		hashun 13739	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∈ Fin ∧ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) = ∅) → (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) = ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})))
426	109, 104, 424, 425	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) = ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})))
427	417, 426	syl5reqr 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)})) = (♯‘𝑆))
428	427	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st ‘𝑧)}))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
429	93, 410, 428	3eqtr2d 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
430	4, 78, 429	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ⟨cop 4531  ∪ ciun 4881  Disj wdisj 4995   class class class wbr 5030  {copab 5092   × cxp 5517  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1^st c1st 7669   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155  ↑cexp 13425  ♯chash 13686  Σcsu 15034   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005   /_L clgs 25878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-pc 16164  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-nzr 20024  df-rlreg 20049  df-domn 20050  df-idom 20051  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200  df-lgs 25879

This theorem is referenced by:  lgsquadlem3  25966