lgsquadlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquadlem2 27439

Description: Lemma for lgsquad 27441. Count the members of 𝑆 with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 27438 to get the total count of lattice points in 𝑆 (up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgsquad.4	⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5	⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6	⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem2	⊢ (𝜑 → (𝑄 /_L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑃 𝜑,𝑥,𝑦 𝑦,𝑀 𝑥,𝑁,𝑦 𝑥,𝑄,𝑦 𝑥,𝑆 𝑥,𝑀 𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem2 Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		lgseisen.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		lgseisen.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
4	1, 2, 3	lgseisen 27437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 /_L 𝑃) = (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
5		lgsquad.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
6	5	oveq2i 7441	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
7	6	sumeq1i 15729	. . . 4 ⊢ Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
8	1, 5	gausslemma2dlem0b 27415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
13	12	ltp1d 12195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
14		fzdisj 13587	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
16	8	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ⁺)
17	16	rphalfcld 13086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ⁺)
18	17	rpge0d 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
19		flge0nn0 13856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ₀)
20	10, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ₀)
21	8	nnnn0d 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
22		rphalflt 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ⁺ → (𝑀 / 2) < 𝑀)
23	16, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) < 𝑀)
24	8	nnzd 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		fllt 13842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
26	10, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
27	23, 26	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀)
28	12, 9, 27	ltled 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀)
29		elfz2nn0 13654	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀))
30	20, 21, 28, 29	syl3anbrc 1342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀))
31		nn0uz 12917	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
32	21, 31	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
33		elfzp12 13639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
35	30, 34	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
36		un0 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑀) ∪ ∅) = (1...𝑀)
37		uncom 4167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑀) ∪ ∅) = (∅ ∪ (1...𝑀))
38	36, 37	eqtr3i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑀) = (∅ ∪ (1...𝑀))
39		oveq2 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = (1...0))
40		fz10 13581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...0) = ∅
41	39, 40	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = ∅)
42		oveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = (0 + 1))
43		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = 1)
45	44	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
46	41, 45	uneq12d 4178	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = (∅ ∪ (1...𝑀)))
47	38, 46	eqtr4id 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
48		fzsplit 13586	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (1...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
49	43	oveq1i 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
50	48, 49	eleq2s 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
51	47, 50	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
53		fzfid 14010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
54	2	gausslemma2dlem0a 27414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
55	54	nnred 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
56	1	gausslemma2dlem0a 27414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
57	55, 56	nndivred 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
59		2nn 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
60		elfznn 13589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (1...𝑀) → 𝑢 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℕ)
62		nnmulcl 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
63	59, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
64	63	nnred 12278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
65	58, 64	remulcld 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
66	54	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
67	56	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
68	66, 67	rpdivcld 13091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ⁺)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ⁺)
70	63	nnrpd 13072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ⁺)
71	69, 70	rpmulcld 13090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ⁺)
72	71	rpge0d 13078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
73		flge0nn0 13856	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
74	65, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
75	74	nn0cnd 12586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
76	15, 52, 53, 75	fsumsplit 15773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
77	7, 76	eqtr3id 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
78	77	oveq2d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
79		neg1cn 12377	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81		fzfid 14010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
82		ssun2 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
83	82, 52	sseqtrrid 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ (1...𝑀))
84	83	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
85	84, 74	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
86	81, 85	fsumnn0cl 15768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
87		fzfid 14010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∈ Fin)
88		ssun1 4187	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
89	88, 52	sseqtrrid 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ (1...𝑀))
90	89	sselda 3994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
91	90, 74	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
92	87, 91	fsumnn0cl 15768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀)
93	80, 86, 92	expaddd 14184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
94		fzfid 14010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
95		xpfi 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
96	53, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
97		lgsquad.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
98		opabssxp 5780	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
99	97, 98	eqsstri 4029	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
100		ssfi 9211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
101	96, 99, 100	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
102		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
103		ssfi 9211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
104	101, 102, 103	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
105		hashcl 14391	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
106	104, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
107		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
108		ssfi 9211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
109	101, 107, 108	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
110		hashcl 14391	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
111	109, 110	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
112	80, 106, 111	expaddd 14184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
113	90, 63	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
114		fzfid 14010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin)
115		xpsnen2g 9103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℕ ∧ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
116	113, 114, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
117		hasheni 14383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
119		ssrab2 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
120	97	relopabiv 5832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Rel 𝑆
121		relss 5793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}))
122	119, 120, 121	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}
123		relxp 5706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
124	97	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
125		opabidw 5533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
126	124, 125	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
127		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
128	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
129	128	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
130	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
131	130	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
132	131	rehalfcld 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
133	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
134	133	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135		elfzle2 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
137	133	rehalfcld 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
138		elfzelz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℤ)
139	138	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℤ)
140		flge 13841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
141	137, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
142	136, 141	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
143		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℕ)
144	143	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℕ)
145	144	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
146		2re 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℝ
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 2 ∈ ℝ)
148		2pos 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 < 2
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 0 < 2)
150		lemuldiv2 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
151	145, 133, 147, 149, 150	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
152	142, 151	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
154	131	ltm1d 12197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
155		peano2rem 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
156	131, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
157	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
158	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 2)
159		ltdiv1 12129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
160	156, 131, 157, 158, 159	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
161	154, 160	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2))
162	5, 161	eqbrtrid 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 < (𝑃 / 2))
163	129, 134, 132, 153, 162	lelttrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < (𝑃 / 2))
164	130	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
165		rphalflt 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ⁺ → (𝑃 / 2) < 𝑃)
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) < 𝑃)
167	129, 132, 131, 163, 166	lttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
168	129, 131	ltnled 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
169	167, 168	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢))
170	1	eldifad 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
171	170	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
172		prmz 16708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
174		dvdsle 16343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
175	173, 128, 174	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
176	169, 175	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑢))
177	2	eldifad 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
178		prmrp 16745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
179	170, 177, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
180	3, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
181	180	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
182	177	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℙ)
183		prmz 16708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
185	128	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
186		coprmdvds 16686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
187	173, 184, 185, 186	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
188	181, 187	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
189	176, 188	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
190		nnz 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
191	190	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
192		dvdsmul2 16312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
193	191, 173, 192	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
194		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃)))
195	193, 194	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
196	195	necon3bd 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃)))
197	189, 196	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))
198		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
199	198, 130	nnmulcld 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℕ)
200	199	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ)
201	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℕ)
202	201, 113	nnmulcld 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
203	202	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
204	203	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
205	200, 204	ltlend 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))))
206	197, 205	mpbiran2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
207		nnre 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
208	207	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
209	130	nngt0d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
210		lemuldiv 12145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
211	208, 204, 131, 209, 210	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
212	201	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ)
213	212	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
214	128	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
215	130	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
216	130	nnne0d 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
217	213, 214, 215, 216	div23d 12077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
218	217	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
219	206, 211, 218	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
220	212	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
221	212	nngt0d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑄)
222		ltmul2 12115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
223	129, 132, 220, 221, 222	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
224	163, 223	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2)))
225		2cnd 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
226		2ne0 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ≠ 0
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
228		divass 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
229		div23 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
230	228, 229	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
231	213, 215, 225, 227, 230	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
232	224, 231	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃))
233	220	rehalfcld 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
234	233, 131	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ)
235		lttr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
236	200, 204, 234, 235	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
237	232, 236	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
238		ltmul1 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
239	208, 233, 131, 209, 238	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
240	237, 239	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑄 / 2)))
241		peano2rem 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
242	220, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
243	242	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
244	213, 243, 225, 227	divsubdird 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2)))
245		lgsquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
246	245	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 / 2) − 𝑁) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2))
247	244, 246	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − 𝑁))
248		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
249		nncan 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
250	213, 248, 249	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
251	250	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = (1 / 2))
252		halflt1 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 / 2) < 1
253	251, 252	eqbrtrdi 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) < 1)
254	247, 253	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1)
255	2, 245	gausslemma2dlem0b 27415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
256	255	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
257	256	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
258		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
259	233, 257, 258	ltsubadd2d 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1 ↔ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)))
260	254, 259	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1))
261		peano2re 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
262	257, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
263		lttr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
264	208, 233, 262, 263	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
265	260, 264	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
266	240, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
267		nnleltp1 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 < (𝑁 + 1)))
268	198, 256, 267	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 < (𝑁 + 1)))
269	266, 268	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 ≤ 𝑁))
270	269	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
271	90, 65	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
272		flge 13841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
273	271, 190, 272	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
274	219, 270, 273	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
275	274	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
276	127, 275	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
277	276	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
278		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 = (2 · 𝑢))
279		nnuz 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
280	113, 279	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (ℤ_≥‘1))
281	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
282		elfz5 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
283	280, 281, 282	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
284	152, 283	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
285	284	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
286	278, 285	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
287	286	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
288	255	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
289	288	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑁 ∈ ℤ)
290		fznn 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
292	287, 291	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
293		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑢) → (𝑥 · 𝑄) = ((2 · 𝑢) · 𝑄))
294	113	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
295	201	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
296	294, 295	mulcomd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
297	293, 296	sylan9eqr 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑥 · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
298	297	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))))
299	292, 298	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
300	271	flcld 13834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
301		fznn 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
302	300, 301	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
303	302	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
304	277, 299, 303	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
305	126, 304	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
306	305	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
307		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
308		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑦 ∈ V
309	307, 308	op1std 8022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1^st ‘𝑧) = 𝑥)
310	309	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = 𝑥))
311		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑢) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢))
312	310, 311	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢)))
313	312	elrab 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)))
314	313	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
315		opelxp 5724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
316		velsn 4646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢))
317	316	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
318	315, 317	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
319	306, 314, 318	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
320	122, 123, 319	eqrelrdv 5804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} = ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
321	320	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})
322	321	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}))
323		hashfz1 14381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
324	91, 323	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
325	118, 322, 324	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}))
326	325	sumeq2dv 15734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}))
327	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑆 ∈ Fin)
328		ssfi 9211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
329	327, 119, 328	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
330		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (1^st ‘𝑧) = (1^st ‘𝑣))
331	330	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑣)))
332	331	elrab 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ↔ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑣)))
333	332	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} → (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑣))
334	333	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑣))
335	334	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = ((1^st ‘𝑣) / 2))
336	144	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℂ)
337	336	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → 𝑢 ∈ ℂ)
338		2cnd 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → 2 ∈ ℂ)
339	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → 2 ≠ 0)
340	337, 338, 339	divcan3d 12045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
341	335, 340	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})) → ((1^st ‘𝑣) / 2) = 𝑢)
342	341	ralrimivva 3199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ((1^st ‘𝑣) / 2) = 𝑢)
343		invdisj 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} ((1^st ‘𝑣) / 2) = 𝑢 → Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})
344	342, 343	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)})
345	87, 329, 344	hashiun 15854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}))
346		iunrab 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}
347		2cn 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
348		zcn 12615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℂ)
349	348	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 𝑢 ∈ ℂ)
350		mulcom 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
351	347, 349, 350	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
352	351	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ (𝑢 · 2) = (1^st ‘𝑧)))
353	352	rexbidva 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1^st ‘𝑧)))
354	138	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)) → (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)))
355	354	reximi2 3076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))
356		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))
357		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
358	99, 357	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
359		xp1st 8044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
360	358, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
361	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
362		elfzle2 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1^st ‘𝑧) ≤ 𝑀)
363	361, 362	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) ≤ 𝑀)
364	356, 363	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
365		zre 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℝ)
366	365	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℝ)
367	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
368	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
369	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 0 < 2)
370	366, 367, 368, 369, 150	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀 ↔ 𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
371	364, 370	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
372	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
373		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℤ)
374	372, 373, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
375	371, 374	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
376		2t0e0 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
377		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1^st ‘𝑧) ∈ ℕ)
378	361, 377	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) ∈ ℕ)
379	356, 378	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
380	379	nngt0d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 0 < (2 · 𝑢))
381	376, 380	eqbrtrid 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 0) < (2 · 𝑢))
382		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
383		ltmul2 12115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
384	382, 366, 368, 369, 383	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
385	381, 384	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 0 < 𝑢)
386		elnnz 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑢))
387	373, 385, 386	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ ℕ)
388	387, 279	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1))
389	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
390		elfz5 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
391	388, 389, 390	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
392	375, 391	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))))
393	392, 356	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)))
394	393	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧))))
395	394	reximdv2 3161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)))
396	355, 395	impbid2 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)))
397		2z 12646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
398	360	elfzelzd 13561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1^st ‘𝑧) ∈ ℤ)
399		divides 16288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (1^st ‘𝑧) ∈ ℤ) → (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1^st ‘𝑧)))
400	397, 398, 399	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1^st ‘𝑧)))
401	353, 396, 400	3bitr4d 311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧) ↔ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
402	401	rabbidva 3439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
403	346, 402	eqtrid 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
404	403	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1^st ‘𝑧)}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
405	326, 345, 404	3eqtr2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
406	405	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))
407	1, 2, 3, 5, 245, 97	lgsquadlem1 27438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))
408	406, 407	oveq12d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
409	112, 408	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
410		inrab 4321	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))}
411		pm3.24 402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))
412	411	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
413	412	ralrimivw 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ¬ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
414		rabeq0 4393	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ¬ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
415	413, 414	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))} = ∅)
416	410, 415	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = ∅)
417		hashun 14417	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin ∧ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∩ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = ∅) → (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))
418	109, 104, 416, 417	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))
419		unrab 4320	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))}
420		exmid 894	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))
421	420	rgenw 3062	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))
422		rabid2 3467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))} ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
423	421, 422	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧))}
424	419, 423	eqtr4i 2765	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = 𝑆
425	424	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (♯‘({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (♯‘𝑆)
426	418, 425	eqtr3di 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (♯‘𝑆))
427	426	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
428	93, 409, 427	3eqtr2d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
429	4, 78, 428	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 /_L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2937 ∀wral 3058 ∃wrex 3067 {crab 3432 ∖ cdif 3959 ∪ cun 3960 ∩ cin 3961 ⊆ wss 3962 ∅c0 4338 {csn 4630 ⟨cop 4636 ∪ ciun 4995 Disj wdisj 5114 class class class wbr 5147 {copab 5209 × cxp 5686 Rel wrel 5693 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 1^st c1st 8010 ≈ cen 8980 Fincfn 8983 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 + caddc 11155 · cmul 11157 < clt 11292 ≤ cle 11293 − cmin 11489 -cneg 11490 / cdiv 11917 ℕcn 12263 2c2 12318 ℕ₀cn0 12523 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12875 ℝ⁺crp 13031 ...cfz 13543 ⌊cfl 13826 ↑cexp 14098 ♯chash 14365 Σcsu 15718 ∥ cdvds 16286 gcd cgcd 16527 ℙcprime 16704 /_L clgs 27352

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-inf2 9678 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230 ax-addf 11231 ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-disj 5115 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-of 7696 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-supp 8184 df-tpos 8249 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-2o 8505 df-oadd 8508 df-er 8743 df-ec 8745 df-qs 8749 df-map 8866 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-fsupp 9399 df-sup 9479 df-inf 9480 df-oi 9547 df-dju 9938 df-card 9976 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-5 12329 df-6 12330 df-7 12331 df-8 12332 df-9 12333 df-n0 12524 df-xnn0 12597 df-z 12611 df-dec 12731 df-uz 12876 df-q 12988 df-rp 13032 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-fl 13828 df-mod 13906 df-seq 14039 df-exp 14099 df-hash 14366 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-clim 15520 df-sum 15719 df-dvds 16287 df-gcd 16528 df-prm 16705 df-phi 16799 df-pc 16870 df-struct 17180 df-sets 17197 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17245 df-ress 17274 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-imas 17554 df-qus 17555 df-mgm 18665 df-sgrp 18744 df-mnd 18760 df-mhm 18808 df-submnd 18809 df-grp 18966 df-minusg 18967 df-sbg 18968 df-mulg 19098 df-subg 19153 df-nsg 19154 df-eqg 19155 df-ghm 19243 df-cntz 19347 df-cmn 19814 df-abl 19815 df-mgp 20152 df-rng 20170 df-ur 20199 df-ring 20252 df-cring 20253 df-oppr 20350 df-dvdsr 20373 df-unit 20374 df-invr 20404 df-dvr 20417 df-rhm 20488 df-nzr 20529 df-subrng 20562 df-subrg 20586 df-rlreg 20710 df-domn 20711 df-idom 20712 df-drng 20747 df-field 20748 df-lmod 20876 df-lss 20947 df-lsp 20987 df-sra 21189 df-rgmod 21190 df-lidl 21235 df-rsp 21236 df-2idl 21277 df-cnfld 21382 df-zring 21475 df-zrh 21531 df-zn 21534 df-lgs 27353

This theorem is referenced by: lgsquadlem3 27440

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