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Theorem lgsquadlem2 26129
Description: Lemma for lgsquad 26131. Count the members of 𝑆 with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 26128 to get the total count of lattice points in 𝑆 (up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgsquad.4 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem2 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀   𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 lgseisen.2 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 lgseisen.3 . . 3 (𝜑𝑃𝑄)
41, 2, 3lgseisen 26127 . 2 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
5 lgsquad.4 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
65oveq2i 7193 . . . . 5 (1...𝑀) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
76sumeq1i 15160 . . . 4 Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
81, 5gausslemma2dlem0b 26105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
98nnred 11743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
109rehalfcld 11975 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
1110flcld 13271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
1211zred 12180 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
1312ltp1d 11660 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
14 fzdisj 13037 . . . . . 6 ((⌊‘(𝑀 / 2)) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∩ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = ∅)
168nnrpd 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 12538 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
1817rpge0d 12530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
19 flge0nn0 13293 . . . . . . . . 9 (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0)
2010, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0)
218nnnn0d 12048 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
22 rphalflt 12513 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 / 2) < 𝑀)
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 / 2) < 𝑀)
248nnzd 12179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 fllt 13279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
2610, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 / 2) < 𝑀 ↔ (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀))
2723, 26mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) < 𝑀)
2812, 9, 27ltled 10878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀)
29 elfz2nn0 13101 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ 𝑀))
3020, 21, 28, 29syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀))
31 nn0uz 12374 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
3221, 31eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
33 elfzp12 13089 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (0...𝑀) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
3530, 34mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
36 un0 4289 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) ∪ ∅) = (1...𝑀)
37 uncom 4053 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) ∪ ∅) = (∅ ∪ (1...𝑀))
3836, 37eqtr3i 2764 . . . . . . . 8 (1...𝑀) = (∅ ∪ (1...𝑀))
39 oveq2 7190 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = (1...0))
40 fz10 13031 . . . . . . . . . 10 (1...0) = ∅
4139, 40eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) = ∅)
42 oveq1 7189 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = (0 + 1))
43 0p1e1 11850 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
4442, 43eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) = 1)
4544oveq1d 7197 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
4641, 45uneq12d 4064 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) = (∅ ∪ (1...𝑀)))
4738, 46eqtr4id 2793 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
48 fzsplit 13036 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ (1...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
4943oveq1i 7192 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
5048, 49eleq2s 2852 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
5147, 50jaoi 856 . . . . . 6 (((⌊‘(𝑀 / 2)) = 0 ∨ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ((0 + 1)...𝑀)) → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
5235, 51syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) = ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)))
53 fzfid 13444 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
542gausslemma2dlem0a 26104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
5554nnred 11743 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
561gausslemma2dlem0a 26104 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5755, 56nndivred 11782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
5857adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
59 2nn 11801 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
60 elfznn 13039 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (1...𝑀) → 𝑢 ∈ ℕ)
6160adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℕ)
62 nnmulcl 11752 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
6359, 61, 62sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
6463nnred 11743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
6558, 64remulcld 10761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
6654nnrpd 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
6756nnrpd 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
6866, 67rpdivcld 12543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ+)
6968adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ+)
7063nnrpd 12524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ+)
7169, 70rpmulcld 12542 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ+)
7271rpge0d 12530 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
73 flge0nn0 13293 . . . . . . 7 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
7465, 72, 73syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 12050 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (1...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
7615, 52, 53, 75fsumsplit 15202 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
777, 76eqtr3id 2788 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
7877oveq2d 7198 . 2 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
79 neg1cn 11842 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
8079a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81 fzfid 13444 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
82 ssun2 4073 . . . . . . . 8 (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
8382, 52sseqtrrid 3940 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ⊆ (1...𝑀))
8483sselda 3887 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
8584, 74syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
8681, 85fsumnn0cl 15198 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
87 fzfid 13444 . . . . 5 (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∈ Fin)
88 ssun1 4072 . . . . . . . 8 (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ ((1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∪ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
8988, 52sseqtrrid 3940 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ⊆ (1...𝑀))
9089sselda 3887 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ (1...𝑀))
9190, 74syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
9287, 91fsumnn0cl 15198 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0)
9380, 86, 92expaddd 13616 . . 3 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
94 fzfid 13444 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
95 xpfi 8875 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
9653, 94, 95syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
97 lgsquad.6 . . . . . . . . 9 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
98 opabssxp 5624 . . . . . . . . 9 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
9997, 98eqsstri 3921 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
100 ssfi 8784 . . . . . . . 8 ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
10196, 99, 100sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
102 ssrab2 3979 . . . . . . 7 {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆
103 ssfi 8784 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
104101, 102, 103sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
105 hashcl 13821 . . . . . 6 ({𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
106104, 105syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
107 ssrab2 3979 . . . . . . 7 {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆
108 ssfi 8784 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
109101, 107, 108sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
110 hashcl 13821 . . . . . 6 ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
111109, 110syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
11280, 106, 111expaddd 13616 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
11390, 63syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
114 fzfid 13444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin)
115 xpsnen2g 8671 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑢) ∈ ℕ ∧ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ Fin) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
116113, 114, 115syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
117 hasheni 13812 . . . . . . . . . 10 (({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ≈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
119 ssrab2 3979 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ⊆ 𝑆
12097relopabiv 5674 . . . . . . . . . . . . 13 Rel 𝑆
121 relss 5637 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}))
122119, 120, 121mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 Rel {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}
123 relxp 5553 . . . . . . . . . . . 12 Rel ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
12497eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
125 opabidw 5390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
126124, 125bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
127 anass 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
128113adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
129128nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
13056ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
131130nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
132131rehalfcld 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
1339adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℝ)
134133adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135 elfzle2 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
136135adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
137133rehalfcld 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
138 elfzelz 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℤ)
139138adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℤ)
140 flge 13278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
141137, 139, 140syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
142136, 141mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
143 elfznn 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) → 𝑢 ∈ ℕ)
144143adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℕ)
145144nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℝ)
146 2re 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 2 ∈ ℝ)
148 2pos 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 < 2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 0 < 2)
150 lemuldiv2 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
151145, 133, 147, 149, 150syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
152142, 151mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
153152adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
154131ltm1d 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
155 peano2rem 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
156131, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
157146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
158148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 2)
159 ltdiv1 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
160156, 131, 157, 158, 159syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) < 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2)))
161154, 160mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 / 2))
1625, 161eqbrtrid 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑀 < (𝑃 / 2))
163129, 134, 132, 153, 162lelttrd 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < (𝑃 / 2))
164130nnrpd 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
165 rphalflt 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ+ → (𝑃 / 2) < 𝑃)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) < 𝑃)
167129, 132, 131, 163, 166lttrd 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
168129, 131ltnled 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
169167, 168mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ≤ (2 · 𝑢))
1701eldifad 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
171170ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
172 prmz 16128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
174 dvdsle 15767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
175173, 128, 174syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (2 · 𝑢) → 𝑃 ≤ (2 · 𝑢)))
176169, 175mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑢))
1772eldifad 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
178 prmrp 16165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
179170, 177, 178syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
1803, 179mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
181180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
182177ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℙ)
183 prmz 16128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
185128nnzd 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
186 coprmdvds 16106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
187173, 184, 185, 186syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
188181, 187mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑢)))
189176, 188mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
190 nnz 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
191190adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
192 dvdsmul2 15736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
193191, 173, 192syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃))
194 breq2 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑃 ∥ (𝑦 · 𝑃)))
195193, 194syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) = (𝑦 · 𝑃) → 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
196195necon3bd 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃)))
197189, 196mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))
198 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
199198, 130nnmulcld 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℕ)
200199nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ)
20154adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℕ)
202201, 113nnmulcld 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
203202adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
204203nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
205200, 204ltlend 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ≠ (𝑦 · 𝑃))))
206197, 205mpbiran2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
207 nnre 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
208207adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
209130nngt0d 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
210 lemuldiv 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
211208, 204, 131, 209, 210syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
212201adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ)
213212nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
214128nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
215130nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
216130nnne0d 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
217213, 214, 215, 216div23d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
218217breq2d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
219206, 211, 2183bitrd 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
220212nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
221212nngt0d 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑄)
222 ltmul2 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
223129, 132, 220, 221, 222syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑢) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2))))
224163, 223mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · (𝑃 / 2)))
225 2cnd 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
226 2ne0 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
228 divass 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
229 div23 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑄 · 𝑃) / 2) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
230228, 229eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
231213, 215, 225, 227, 230syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) = ((𝑄 / 2) · 𝑃))
232224, 231breqtrd 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃))
233220rehalfcld 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
234233, 131remulcld 10761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ)
235 lttr 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 · 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 2) · 𝑃) ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
236200, 204, 234, 235syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
237232, 236mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
238 ltmul1 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
239208, 233, 131, 209, 238syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 / 2) · 𝑃)))
240237, 239sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑄 / 2)))
241 peano2rem 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
242220, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
243242recnd 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
244213, 243, 225, 227divsubdird 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2)))
245 lgsquad.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
246245oveq2i 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑄 / 2) − 𝑁) = ((𝑄 / 2) − ((𝑄 − 1) / 2))
247244, 246eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = ((𝑄 / 2) − 𝑁))
248 ax-1cn 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
249 nncan 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
250213, 248, 249sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − (𝑄 − 1)) = 1)
251250oveq1d 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) = (1 / 2))
252 halflt1 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 / 2) < 1
253251, 252eqbrtrdi 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 − (𝑄 − 1)) / 2) < 1)
254247, 253eqbrtrrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1)
2552, 245gausslemma2dlem0b 26105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
256255ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
257256nnred 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
258 1red 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
259233, 257, 258ltsubadd2d 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 2) − 𝑁) < 1 ↔ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)))
260254, 259mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1))
261 peano2re 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
262257, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
263 lttr 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
264208, 233, 262, 263syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 < (𝑄 / 2) ∧ (𝑄 / 2) < (𝑁 + 1)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
265260, 264mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 / 2) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
266240, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦 < (𝑁 + 1)))
267 nnleltp1 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦𝑁𝑦 < (𝑁 + 1)))
268198, 256, 267syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑁𝑦 < (𝑁 + 1)))
269266, 268sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) → 𝑦𝑁))
270269pm4.71rd 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
27190, 65syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
272 flge 13278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
273271, 190, 272syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
274219, 270, 2733bitr3d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
275274pm5.32da 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
276127, 275syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
277276adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
278 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 = (2 · 𝑢))
279 nnuz 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ = (ℤ‘1)
280113, 279eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (ℤ‘1))
28124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
282 elfz5 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((2 · 𝑢) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
283280, 281, 282syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀) ↔ (2 · 𝑢) ≤ 𝑀))
284152, 283mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
285284adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (2 · 𝑢) ∈ (1...𝑀))
286278, 285eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
287286biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
288255nnzd 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
289288ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → 𝑁 ∈ ℤ)
290 fznn 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
291289, 290syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
292287, 291bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
293 oveq1 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (2 · 𝑢) → (𝑥 · 𝑄) = ((2 · 𝑢) · 𝑄))
294113nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
295201nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
296294, 295mulcomd 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
297293, 296sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑥 · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
298297breq2d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢))))
299292, 298anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑄 · (2 · 𝑢)))))
300271flcld 13271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
301 fznn 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
302300, 301syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
303302adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
304277, 299, 3033bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
305126, 304syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) ∧ 𝑥 = (2 · 𝑢)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
306305pm5.32da 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ((𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
307 vex 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
308 vex 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
309307, 308op1std 7736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
310309eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = 𝑥))
311 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑢) = 𝑥𝑥 = (2 · 𝑢))
312310, 311bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢)))
313312elrab 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑥 = (2 · 𝑢)))
314313biancomi 466 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
315 opelxp 5571 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
316 velsn 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ↔ 𝑥 = (2 · 𝑢))
317316anbi1i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {(2 · 𝑢)} ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
318315, 317bitri 278 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑥 = (2 · 𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
319306, 314, 3183bitr4g 317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
320122, 123, 319eqrelrdv 5646 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} = ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
321320eqcomd 2745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → ({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})
322321fveq2d 6690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘({(2 · 𝑢)} × (1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}))
323 hashfz1 13810 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
32491, 323syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (♯‘(1...(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
325118, 322, 3243eqtr3rd 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}))
326325sumeq2dv 15165 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}))
327101adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑆 ∈ Fin)
328 ssfi 8784 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ∈ Fin)
329327, 119, 328sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ∈ Fin)
330 fveq2 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑣 → (1st𝑧) = (1st𝑣))
331330eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑣 → ((2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ (2 · 𝑢) = (1st𝑣)))
332331elrab 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ↔ (𝑣𝑆 ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑣)))
333332simprbi 500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} → (2 · 𝑢) = (1st𝑣))
334333ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → (2 · 𝑢) = (1st𝑣))
335334oveq1d 7197 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = ((1st𝑣) / 2))
336144nncnd 11744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))) → 𝑢 ∈ ℂ)
337336adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → 𝑢 ∈ ℂ)
338 2cnd 11806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → 2 ∈ ℂ)
339226a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → 2 ≠ 0)
340337, 338, 339divcan3d 11511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
341335, 340eqtr3d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})) → ((1st𝑣) / 2) = 𝑢)
342341ralrimivva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ((1st𝑣) / 2) = 𝑢)
343 invdisj 5024 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} ((1st𝑣) / 2) = 𝑢Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})
344342, 343syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑Disj 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)})
34587, 329, 344hashiun 15282 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}) = Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}))
346 iunrab 4948 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} = {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧)}
347 2cn 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
348 zcn 12079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℂ)
349348adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 𝑢 ∈ ℂ)
350 mulcom 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
351347, 349, 350sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) = (𝑢 · 2))
352351eqeq1d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ (𝑢 · 2) = (1st𝑧)))
353352rexbidva 3207 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st𝑧)))
354138anim1i 618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)) → (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)))
355354reximi2 3159 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))
356 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑢) = (1st𝑧))
357 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
35899, 357sseldi 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
359 xp1st 7758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
360358, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
361360adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
362 elfzle2 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st𝑧) ≤ 𝑀)
363361, 362syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) ≤ 𝑀)
364356, 363eqbrtrd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑢) ≤ 𝑀)
365 zre 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ℤ → 𝑢 ∈ ℝ)
366365ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ∈ ℝ)
3679ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
368146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
369148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 0 < 2)
370366, 367, 368, 369, 150syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑢) ≤ 𝑀𝑢 ≤ (𝑀 / 2)))
371364, 370mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ≤ (𝑀 / 2))
37210ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
373 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ∈ ℤ)
374372, 373, 140syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (𝑢 ≤ (𝑀 / 2) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
375371, 374mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2)))
376 2t0e0 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 0) = 0
377 elfznn 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1st𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st𝑧) ∈ ℕ)
378361, 377syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) ∈ ℕ)
379356, 378eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑢) ∈ ℕ)
380379nngt0d 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 0 < (2 · 𝑢))
381376, 380eqbrtrid 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (2 · 0) < (2 · 𝑢))
382 0red 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
383 ltmul2 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
384382, 366, 368, 369, 383syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (0 < 𝑢 ↔ (2 · 0) < (2 · 𝑢)))
385381, 384mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 0 < 𝑢)
386 elnnz 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ ℕ ↔ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑢))
387373, 385, 386sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ∈ ℕ)
388387, 279eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ∈ (ℤ‘1))
38911ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
390 elfz5 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
391388, 389, 390syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ↔ 𝑢 ≤ (⌊‘(𝑀 / 2))))
392375, 391mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))))
393392, 356jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)))
394393ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑢 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)) → (𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))) ∧ (2 · 𝑢) = (1st𝑧))))
395394reximdv2 3182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧)))
396355, 395impbid2 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)))
397 2z 12107 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
398360elfzelzd 13011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝑆) → (1st𝑧) ∈ ℤ)
399 divides 15713 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ (1st𝑧) ∈ ℤ) → (2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st𝑧)))
400397, 398, 399sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑆) → (2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ (𝑢 · 2) = (1st𝑧)))
401353, 396, 4003bitr4d 314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧) ↔ 2 ∥ (1st𝑧)))
402401rabbidva 3380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(2 · 𝑢) = (1st𝑧)} = {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)})
403346, 402syl5eq 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)} = {𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)})
404403fveq2d 6690 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2))){𝑧𝑆 ∣ (2 · 𝑢) = (1st𝑧)}) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}))
405326, 345, 4043eqtr2d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}))
406405oveq2d 7198 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)})))
4071, 2, 3, 5, 245, 97lgsquadlem1 26128 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
408406, 407oveq12d 7200 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
409112, 408eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
410 inrab 4205 . . . . . . 7 ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∩ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = {𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))}
411 pm3.24 406 . . . . . . . . . 10 ¬ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))
412411a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
413412ralrimivw 3098 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 ¬ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
414 rabeq0 4283 . . . . . . . 8 ({𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))} = ∅ ↔ ∀𝑧𝑆 ¬ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
415413, 414sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∧ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))} = ∅)
416410, 415syl5eq 2786 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∩ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = ∅)
417 hashun 13847 . . . . . 6 (({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin ∧ ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∩ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = ∅) → (♯‘({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∪ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = ((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
418109, 104, 416, 417syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∪ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = ((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
419 unrab 4204 . . . . . . 7 ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∪ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = {𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))}
420 exmid 894 . . . . . . . . 9 (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))
421420rgenw 3066 . . . . . . . 8 𝑧𝑆 (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))
422 rabid2 3285 . . . . . . . 8 (𝑆 = {𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))} ↔ ∀𝑧𝑆 (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
423421, 422mpbir 234 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧𝑆 ∣ (2 ∥ (1st𝑧) ∨ ¬ 2 ∥ (1st𝑧))}
424419, 423eqtr4i 2765 . . . . . 6 ({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∪ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = 𝑆
425424fveq2i 6689 . . . . 5 (♯‘({𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)} ∪ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (♯‘𝑆)
426418, 425eqtr3di 2789 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (♯‘𝑆))
427426oveq2d 7198 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘{𝑧𝑆 ∣ 2 ∥ (1st𝑧)}) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
42893, 409, 4273eqtr2d 2780 . 2 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (1...(⌊‘(𝑀 / 2)))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = (-1↑(♯‘𝑆)))
4294, 78, 4283eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑(♯‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  cdif 3850  cun 3851  cin 3852  wss 3853  c0 4221  {csn 4526  cop 4532   ciun 4891  Disj wdisj 5005   class class class wbr 5040  {copab 5102   × cxp 5533  Rel wrel 5540  cfv 6349  (class class class)co 7182  1st c1st 7724  cen 8564  Fincfn 8567  cc 10625  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632   < clt 10765  cle 10766  cmin 10960  -cneg 10961   / cdiv 11387  cn 11728  2c2 11783  0cn0 11988  cz 12074  cuz 12336  +crp 12484  ...cfz 12993  cfl 13263  cexp 13533  chash 13794  Σcsu 15147  cdvds 15711   gcd cgcd 15949  cprime 16124   /L clgs 26042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-tpos 7933  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-er 8332  df-ec 8334  df-qs 8338  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-dju 9415  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-xnn0 12061  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-sum 15148  df-dvds 15712  df-gcd 15950  df-prm 16125  df-phi 16215  df-pc 16286  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-imas 16896  df-qus 16897  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-mhm 18084  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-mulg 18355  df-subg 18406  df-nsg 18407  df-eqg 18408  df-ghm 18486  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-cring 19431  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-rnghom 19601  df-drng 19635  df-field 19636  df-subrg 19664  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-sra 20075  df-rgmod 20076  df-lidl 20077  df-rsp 20078  df-2idl 20136  df-nzr 20162  df-rlreg 20187  df-domn 20188  df-idom 20189  df-cnfld 20230  df-zring 20302  df-zrh 20336  df-zn 20339  df-lgs 26043
This theorem is referenced by:  lgsquadlem3  26130
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