Theorem dfeven2 45353

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven2	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}

Proof of Theorem dfeven2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeven4 45342	. 2 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
2		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ (2 · 𝑖) = 𝑧)
3		2cnd 12124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
4		zcn 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcomd 11069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) = (𝑖 · 2))
7	6	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) = 𝑧 ↔ (𝑖 · 2) = 𝑧))
8	2, 7	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ (𝑖 · 2) = 𝑧))
9	8	rexbidva 3170	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
10		2z 12425	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		divides 16037	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑧 ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
12	10, 11	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑧 ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
13	9, 12	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 2 ∥ 𝑧))
14	13	rabbiia 3408	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}
15	1, 14	eqtri 2765	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  {crab 3404   class class class wbr 5087  (class class class)co 7315  ℂcc 10942   · cmul 10949  2c2 12101  ℤcz 12392   ∥ cdvds 16035   Even ceven 45328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-z 12393  df-dvds 16036  df-even 45330

This theorem is referenced by:  iseven2  45355