![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dvdsexpim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: dvdssqim 16461 generalized to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsexpim | โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ด โฅ ๐ต โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divides 16164 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด โฅ ๐ต โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ด) = ๐ต)) | |
2 | 1 | 3adant3 1132 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ด โฅ ๐ต โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ด) = ๐ต)) |
3 | zexpcl 14007 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐โ๐) โ โค) | |
4 | 3 | ancoms 459 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (๐โ๐) โ โค) |
5 | 4 | adantll 712 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ (๐โ๐) โ โค) |
6 | zexpcl 14007 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ดโ๐) โ โค) | |
7 | 6 | adantr 481 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ (๐ดโ๐) โ โค) |
8 | dvdsmul2 16187 | . . . . . . 7 โข (((๐โ๐) โ โค โง (๐ดโ๐) โ โค) โ (๐ดโ๐) โฅ ((๐โ๐) ยท (๐ดโ๐))) | |
9 | 5, 7, 8 | syl2anc 584 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ (๐ดโ๐) โฅ ((๐โ๐) ยท (๐ดโ๐))) |
10 | zcn 12528 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
11 | 10 | adantl 482 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ) |
12 | zcn 12528 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
13 | 12 | ad2antrr 724 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ ๐ด โ โ) |
14 | simplr 767 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ0) | |
15 | 11, 13, 14 | mulexpd 14091 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐ด)โ๐) = ((๐โ๐) ยท (๐ดโ๐))) |
16 | 9, 15 | breqtrrd 5153 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ (๐ดโ๐) โฅ ((๐ ยท ๐ด)โ๐)) |
17 | oveq1 7384 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐ด) = ๐ต โ ((๐ ยท ๐ด)โ๐) = (๐ตโ๐)) | |
18 | 17 | breq2d 5137 | . . . . 5 โข ((๐ ยท ๐ด) = ๐ต โ ((๐ดโ๐) โฅ ((๐ ยท ๐ด)โ๐) โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
19 | 16, 18 | syl5ibcom 244 | . . . 4 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐ด) = ๐ต โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
20 | 19 | rexlimdva 3154 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0) โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ด) = ๐ต โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
21 | 20 | 3adant2 1131 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0) โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ด) = ๐ต โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
22 | 2, 21 | sylbid 239 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ด โฅ ๐ต โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ตโ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3069 class class class wbr 5125 (class class class)co 7377 โcc 11073 ยท cmul 11080 โ0cn0 12437 โคcz 12523 โcexp 13992 โฅ cdvds 16162 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-sep 5276 ax-nul 5283 ax-pow 5340 ax-pr 5404 ax-un 7692 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3365 df-rab 3419 df-v 3461 df-sbc 3758 df-csb 3874 df-dif 3931 df-un 3933 df-in 3935 df-ss 3945 df-pss 3947 df-nul 4303 df-if 4507 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4886 df-iun 4976 df-br 5126 df-opab 5188 df-mpt 5209 df-tr 5243 df-id 5551 df-eprel 5557 df-po 5565 df-so 5566 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5659 df-rel 5660 df-cnv 5661 df-co 5662 df-dm 5663 df-rn 5664 df-res 5665 df-ima 5666 df-pred 6273 df-ord 6340 df-on 6341 df-lim 6342 df-suc 6343 df-iota 6468 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7333 df-ov 7380 df-oprab 7381 df-mpo 7382 df-om 7823 df-2nd 7942 df-frecs 8232 df-wrecs 8263 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-er 8670 df-en 8906 df-dom 8907 df-sdom 8908 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11411 df-neg 11412 df-nn 12178 df-n0 12438 df-z 12524 df-uz 12788 df-seq 13932 df-exp 13993 df-dvds 16163 |
This theorem is referenced by: dvdsexpad 40909 expgcd 40911 dvdsexpnn 40917 fltaccoprm 41069 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |