Theorem dvdsexpim 16728

Description: If two numbers are divisible, so are their nonnegative exponents. Similar to dvdssqim 16727 for nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
3		zexpcl 14219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
5	4	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
6		zexpcl 14219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 16448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
9	5, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
10		zcn 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		zcn 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	11, 13, 14	mulexpd 14304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
16	9, 15	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁))
17		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
18	17	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
19	16, 18	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
20	19	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
21	20	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	2, 21	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   · cmul 11205  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ↑cexp 14204   ∥ cdvds 16422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205  df-dvds 16423

This theorem is used by:  dvdsexpad  16729  expgcd  16737  dvdsexpnn  16740  fltaccoprm  27972