Theorem dvdsexpim 41521

Description: dvdssqim 16500 generalized to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
2	1	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
3		zexpcl 14046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
5	4	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
6		zexpcl 14046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7	6	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 16226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
9	5, 7, 8	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
10		zcn 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11	10	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		zcn 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	11, 13, 14	mulexpd 14130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
16	9, 15	breqtrrd 5175	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁))
17		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
18	17	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
19	16, 18	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
20	19	rexlimdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
21	20	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	2, 21	sylbid 239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   · cmul 11117  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ↑cexp 14031   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  dvdsexpad  41525  expgcd  41527  dvdsexpnn  41533  fltaccoprm  41684