Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsexpim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexpim 40905
Description: dvdssqim 16461 generalized to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexpim ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem dvdsexpim
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16164 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต))
213adant3 1132 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต))
3 zexpcl 14007 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
43ancoms 459 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
54adantll 712 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
6 zexpcl 14007 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
76adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
8 dvdsmul2 16187 . . . . . . 7 (((๐‘˜โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘˜โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘˜โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
10 zcn 12528 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
1110adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12528 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1511, 13, 14mulexpd 14091 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐‘˜โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
169, 15breqtrrd 5153 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘˜ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
17 oveq1 7384 . . . . . 6 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = (๐ตโ†‘๐‘))
1817breq2d 5137 . . . . 5 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘˜ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))
1916, 18syl5ibcom 244 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))
2019rexlimdva 3154 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))
21203adant2 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))
222, 21sylbid 239 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆฅ (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073   ยท cmul 11080  โ„•0cn0 12437  โ„คcz 12523  โ†‘cexp 13992   โˆฅ cdvds 16162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-seq 13932  df-exp 13993  df-dvds 16163
This theorem is referenced by:  dvdsexpad  40909  expgcd  40911  dvdsexpnn  40917  fltaccoprm  41069
  Copyright terms: Public domain W3C validator