Theorem dvdsexpim 16591

Description: If two numbers are divisible, so are their nonnegative exponents. Similar to dvdssqim 16590 for nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
2	1	3adant3 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
3		zexpcl 14091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
5	4	adantll 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
6		zexpcl 14091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 16314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
9	5, 7, 8	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
10		zcn 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11	10	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		zcn 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	11, 13, 14	mulexpd 14176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
16	9, 15	breqtrrd 5130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁))
17		oveq1 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
18	17	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
19	16, 18	syl5ibcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
20	19	rexlimdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
21	20	3adant2 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	2, 21	sylbid 242	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℂcc 11073   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ↑cexp 14076   ∥ cdvds 16288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-seq 14017  df-exp 14077  df-dvds 16289

This theorem is referenced by:  expgcd  16599  dvdsexpad  42946  dvdsexpnn  42947  fltaccoprm  43227