Theorem dvdsexpim 16458

Description: If two numbers are divisible, so are their nonnegative exponents. Similar to dvdssqim 16457 for nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵))
3		zexpcl 13975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
5	4	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑𝑁) ∈ ℤ)
6		zexpcl 13975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 16181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
10		zcn 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		zcn 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	11, 13, 14	mulexpd 14060	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑘↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
16	9, 15	breqtrrd 5117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁))
17		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
18	17	breq2d 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁) ∥ ((𝑘 · 𝐴)↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
19	16, 18	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
20	19	rexlimdva 3131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
21	20	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
22	2, 21	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  ℂcc 10996   · cmul 11003  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ↑cexp 13960   ∥ cdvds 16155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-exp 13961  df-dvds 16156

This theorem is referenced by:  expgcd  16466  dvdsexpad  42344  dvdsexpnn  42345  fltaccoprm  42652