MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp2im Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexp2im 16143
Description: If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp2im ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))

Proof of Theorem dvdsexp2im
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16072 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€))
213adant3 1132 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€))
3 simpl1 1191 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 nnnn0 12353 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
543ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
65adantr 481 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 zexpcl 13910 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
83, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
10 zexpcl 13910 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
119, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
1211, 8zmulcld 12545 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค)
13 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
14 iddvdsexp 16096 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พโ†‘๐‘))
153, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พโ†‘๐‘))
16 dvdsmul2 16095 . . . . . . 7 (((๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
1711, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
183, 8, 12, 15, 17dvdstrd 16111 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
19 zcn 12437 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2019adantl 482 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
21 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2322adantr 481 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2420, 23, 6mulexpd 13992 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) = ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
2518, 24breqtrrd 5131 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘))
26 oveq1 7356 . . . . 5 ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) = (๐‘€โ†‘๐‘))
2726breq2d 5115 . . . 4 ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ (๐พ โˆฅ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
2825, 27syl5ibcom 244 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
2928rexlimdva 3150 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
302, 29sylbid 239 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982   ยท cmul 10989  โ„•cn 12086  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432  โ†‘cexp 13895   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-seq 13835  df-exp 13896  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  flt4lem5  40853  flt4lem7  40862  nna4b4nsq  40863
  Copyright terms: Public domain W3C validator