Theorem dvdsexp2im 16371

Description: If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp2im	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexp2im

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16298	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
2	1	3adant3 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
3		simpl1 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnnn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant3 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
9		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		zexpcl 14099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
11	9, 6, 10	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
12	11, 8	zmulcld 12693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		simpl3 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		iddvdsexp 16323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
15	3, 13, 14	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
16		dvdsmul2 16322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
17	11, 8, 16	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
18	3, 8, 12, 15, 17	dvdstrd 16339	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
19		zcn 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
20	19	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
21		zcn 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
24	20, 23, 6	mulexpd 14184	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
25	18, 24	breqtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁))
26		oveq1 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = (𝑀↑𝑁))
27	26	breq2d 5113	. . . 4 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
28	25, 27	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
29	28	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
30	2, 29	sylbid 242	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087   class class class wbr 5101  (class class class)co 7396  ℂcc 11082   · cmul 11089  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-seq 14025  df-exp 14085  df-dvds 16297

This theorem is referenced by:  flt4lem5  43237  flt4lem7  43246  nna4b4nsq  43247