Theorem dvdsexp2im 16465

Description: If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp2im	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexp2im

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16392	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
3		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnnn0 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		zexpcl 14188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
11	9, 6, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
12	11, 8	zmulcld 12779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		iddvdsexp 16417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
15	3, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
16		dvdsmul2 16416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
17	11, 8, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
18	3, 8, 12, 15, 17	dvdstrd 16433	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
19		zcn 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
21		zcn 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
24	20, 23, 6	mulexpd 14273	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
25	18, 24	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁))
26		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = (𝑀↑𝑁))
27	26	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
28	25, 27	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
29	28	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
30	2, 29	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℂcc 11170   · cmul 11177  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ↑cexp 14173   ∥ cdvds 16390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-seq 14114  df-exp 14174  df-dvds 16391

This theorem is used by:  flt4lem5  43600  flt4lem7  43609  nna4b4nsq  43610