Theorem dvdsexp2im 16298

Description: If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp2im	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexp2im

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16225	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀))
3		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nnnn0 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		zexpcl 14040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
11	9, 6, 10	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑𝑁) ∈ ℤ)
12	11, 8	zmulcld 12641	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)) ∈ ℤ)
13		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		iddvdsexp 16250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
15	3, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾↑𝑁))
16		dvdsmul2 16249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
17	11, 8, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝑁) ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
18	3, 8, 12, 15, 17	dvdstrd 16266	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
19		zcn 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
21		zcn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
24	20, 23, 6	mulexpd 14125	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = ((𝑚↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
25	18, 24	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁))
26		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) = (𝑀↑𝑁))
27	26	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐾 ∥ ((𝑚 · 𝐾)↑𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
28	25, 27	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
29	28	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝐾) = 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))
30	2, 29	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7369  ℂcc 11038   · cmul 11045  ℕcn 12176  ℕ₀cn0 12439  ℤcz 12526  ↑cexp 14025   ∥ cdvds 16223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-seq 13966  df-exp 14026  df-dvds 16224

This theorem is referenced by:  flt4lem5  43085  flt4lem7  43094  nna4b4nsq  43095