MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsexp2im Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsexp2im 16144
Description: If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp2im ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))

Proof of Theorem dvdsexp2im
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16073 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€))
213adant3 1133 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€))
3 simpl1 1192 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 nnnn0 12354 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
543ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
65adantr 482 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 zexpcl 13911 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
83, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
9 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
10 zexpcl 13911 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
119, 6, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
1211, 8zmulcld 12546 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ค)
13 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
14 iddvdsexp 16097 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พโ†‘๐‘))
153, 13, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พโ†‘๐‘))
16 dvdsmul2 16096 . . . . . . 7 (((๐‘šโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
1711, 8, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
183, 8, 12, 15, 17dvdstrd 16112 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
19 zcn 12438 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2019adantl 483 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
21 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2420, 23, 6mulexpd 13993 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) = ((๐‘šโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
2518, 24breqtrrd 5132 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘))
26 oveq1 7357 . . . . 5 ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) = (๐‘€โ†‘๐‘))
2726breq2d 5116 . . . 4 ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ (๐พ โˆฅ ((๐‘š ยท ๐พ)โ†‘๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
2825, 27syl5ibcom 245 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
2928rexlimdva 3151 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
302, 29sylbid 239 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983   ยท cmul 10990  โ„•cn 12087  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433  โ†‘cexp 13896   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-seq 13836  df-exp 13897  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  flt4lem5  40822  flt4lem7  40831  nna4b4nsq  40832
  Copyright terms: Public domain W3C validator