Theorem divalglem4 16342

Description: Lemma for divalg 16349. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		nn0z 12530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
6		divides 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
8		nn0cn 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
9		zmulcl 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
10	1, 9	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12		zcn 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
14		subadd 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	13, 14	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
17	16	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
18	15, 17	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
19	8, 11, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20		eqcom 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧))
21		eqcom 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
22	19, 20, 21	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
23	22	rexbidva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
24	7, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
25	24	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑧))
27	26	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
28		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
29	27, 28	elrab2 3659	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
30		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
31	30	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
32	31	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
33	32	elrab 3656	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
34	25, 29, 33	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
35	34	eqriv 2726	1 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505   ∥ cdvds 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-dvds 16199

This theorem is referenced by:  divalglem10  16348