MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 16338
Description: Lemma for divalg 16345. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
divalglem2.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘Ÿ,๐‘ž)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„ค
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 nn0z 12582 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4 zsubcl 12603 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16198 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
71, 5, 6sylancr 587 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
8 nn0cn 12481 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
9 zmulcl 12610 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
101, 9mpan2 689 . . . . . . . . 9 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12666 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12562 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ โ„‚
14 subadd 11462 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1513, 14mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11399 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
1716eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
1815, 17bitrd 278 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
198, 11, 18syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
20 eqcom 2739 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
21 eqcom 2739 . . . . . . 7 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
2219, 20, 213bitr3g 312 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2322rexbidva 3176 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
247, 23bitrd 278 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2524pm5.32i 575 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
26 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
2726breq2d 5160 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
28 divalglem2.4 . . . 4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
2927, 28elrab2 3686 . . 3 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
30 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
3130eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3231rexbidv 3178 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3332elrab 3683 . . 3 (๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3425, 29, 333bitr4i 302 . 2 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)})
3534eqriv 2729 1 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557   โˆฅ cdvds 16196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-dvds 16197
This theorem is referenced by:  divalglem10  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator