Theorem divalglem4 16373

Description: Lemma for divalg 16380. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		nn0z 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
6		divides 16231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
8		nn0cn 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
9		zmulcl 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
10	1, 9	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12		zcn 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
14		subadd 11431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	13, 14	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
17	16	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
18	15, 17	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
19	8, 11, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20		eqcom 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧))
21		eqcom 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
22	19, 20, 21	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
23	22	rexbidva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
24	7, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
25	24	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑧))
27	26	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
28		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
29	27, 28	elrab2 3665	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
30		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
31	30	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
32	31	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
33	32	elrab 3662	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
34	25, 29, 33	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
35	34	eqriv 2727	1 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  divalglem10  16379