MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 15741
Description: Lemma for divalg 15748. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 nn0z 11998 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
4 zsubcl 12017 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 590 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
6 divides 15605 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
71, 5, 6sylancr 590 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
8 nn0cn 11900 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
9 zmulcl 12024 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
101, 9mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
1110zcnd 12081 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12 zcn 11979 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
14 subadd 10881 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
1513, 14mp3an1 1445 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16 addcom 10818 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
1716eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
1815, 17bitrd 282 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
198, 11, 18syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20 eqcom 2831 . . . . . . 7 ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧))
21 eqcom 2831 . . . . . . 7 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
2219, 20, 213bitr3g 316 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2322rexbidva 3289 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
247, 23bitrd 282 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2524pm5.32i 578 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑧))
2726breq2d 5064 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
28 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2927, 28elrab2 3669 . . 3 (𝑧𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
30 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
3130eqeq2d 2835 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3231rexbidv 3290 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3332elrab 3666 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3425, 29, 333bitr4i 306 . 2 (𝑧𝑆𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
3534eqriv 2821 1 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  {crab 3137   class class class wbr 5052  (class class class)co 7145  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  0cn0 11890  cz 11974  cdvds 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-dvds 15604
This theorem is referenced by:  divalglem10  15747
  Copyright terms: Public domain W3C validator