MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 16283
Description: Lemma for divalg 16290. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
divalglem2.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘Ÿ,๐‘ž)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„ค
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 nn0z 12529 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4 zsubcl 12550 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16143 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
71, 5, 6sylancr 588 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
8 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
9 zmulcl 12557 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
101, 9mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12613 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12509 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ โ„‚
14 subadd 11409 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1513, 14mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11346 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
1716eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
1815, 17bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
198, 11, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
20 eqcom 2740 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
21 eqcom 2740 . . . . . . 7 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2322rexbidva 3170 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
247, 23bitrd 279 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2524pm5.32i 576 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
26 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
2726breq2d 5118 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
28 divalglem2.4 . . . 4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
2927, 28elrab2 3649 . . 3 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
30 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
3130eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3231rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3332elrab 3646 . . 3 (๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3425, 29, 333bitr4i 303 . 2 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)})
3534eqriv 2730 1 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  divalglem10  16289
  Copyright terms: Public domain W3C validator