Theorem divalglem4 16372

Description: Lemma for divalg 16379. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		nn0z 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
6		divides 16232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
7	1, 5, 6	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
8		nn0cn 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
9		zmulcl 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
10	1, 9	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12		zcn 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
14		subadd 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	13, 14	mp3an1 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
17	16	eqeq1d 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
18	15, 17	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
19	8, 11, 18	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧))
21		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
22	19, 20, 21	3bitr3g 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
23	22	rexbidva 3167	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
24	7, 23	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
25	24	pm5.32i 573	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑧))
27	26	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
28		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
29	27, 28	elrab2 3677	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
30		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
31	30	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
32	31	rexbidv 3169	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
33	32	elrab 3674	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
34	25, 29, 33	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
35	34	eqriv 2722	1 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  0cc0 11138   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588   ∥ cdvds 16230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-dvds 16231

This theorem is referenced by:  divalglem10  16378