Theorem divalglem4 16321

Description: Lemma for divalg 16328. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		nn0z 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
6		divides 16179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
8		nn0cn 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
9		zmulcl 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
10	1, 9	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12		zcn 12491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
14		subadd 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	13, 14	mp3an1 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
17	16	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
18	15, 17	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
19	8, 11, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20		eqcom 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧))
21		eqcom 2741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
22	19, 20, 21	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
23	22	rexbidva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
24	7, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
25	24	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑧))
27	26	breq2d 5108	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
28		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
29	27, 28	elrab2 3647	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
30		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
31	30	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
32	31	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
33	32	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
34	25, 29, 33	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
35	34	eqriv 2731	1 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  {crab 3397   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486   ∥ cdvds 16177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-dvds 16178

This theorem is referenced by:  divalglem10  16327