MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 16335
Description: Lemma for divalg 16342. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℤ
3 nn0z 12579 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
4 zsubcl 12600 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑧) ∈ ℤ)
6 divides 16195 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
71, 5, 6sylancr 588 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧)))
8 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
9 zmulcl 12607 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
101, 9mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
1110zcnd 12663 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12 zcn 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
14 subadd 11459 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
1513, 14mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16 addcom 11396 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
1716eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
1815, 17bitrd 279 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
198, 11, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20 eqcom 2740 . . . . . . 7 ((𝑁𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧))
21 eqcom 2740 . . . . . . 7 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2322rexbidva 3177 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
247, 23bitrd 279 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
2524pm5.32i 576 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26 oveq2 7412 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑧))
2726breq2d 5159 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
28 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2927, 28elrab2 3685 . . 3 (𝑧𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑧)))
30 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
3130eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3231rexbidv 3179 . . . 4 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3332elrab 3682 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
3425, 29, 333bitr4i 303 . 2 (𝑧𝑆𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
3534eqriv 2730 1 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  {crab 3433   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  0cn0 12468  cz 12554  cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  divalglem10  16341
  Copyright terms: Public domain W3C validator