MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem4 16346
Description: Lemma for divalg 16353. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
divalglem2.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
Assertion
Ref Expression
divalglem4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘Ÿ,๐‘ž)

Proof of Theorem divalglem4
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„ค
2 divalglem0.1 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 nn0z 12587 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4 zsubcl 12608 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16206 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
71, 5, 6sylancr 586 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
8 nn0cn 12486 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
9 zmulcl 12615 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
101, 9mpan2 688 . . . . . . . . 9 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ โ„‚
14 subadd 11467 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1513, 14mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11404 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
1716eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ง + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
1815, 17bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
198, 11, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘))
20 eqcom 2733 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
21 eqcom 2733 . . . . . . 7 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
2219, 20, 213bitr3g 313 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2322rexbidva 3170 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
247, 23bitrd 279 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
2524pm5.32i 574 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
26 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ง))
2726breq2d 5153 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
28 divalglem2.4 . . . 4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
2927, 28elrab2 3681 . . 3 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ง)))
30 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง))
3130eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3231rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3332elrab 3678 . . 3 (๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘ง)))
3425, 29, 333bitr4i 303 . 2 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)})
3534eqriv 2723 1 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  divalglem10  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator