Theorem divalglem4 16335

Description: Lemma for divalg 16342. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem divalglem4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		divalglem0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
3		nn0z 12579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℤ)
4		zsubcl 12600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ)
6		divides 16195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
7	1, 5, 6	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧)))
8		nn0cn 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
9		zmulcl 12607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
10	1, 9	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
12		zcn 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
14		subadd 11459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	13, 14	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
17	16	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑧 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
18	15, 17	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
19	8, 11, 18	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁))
20		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑧) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧))
21		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑧) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
22	19, 20, 21	3bitr3g 313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
23	22	rexbidva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
24	7, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
25	24	pm5.32i 576	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
26		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑧))
27	26	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
28		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
29	27, 28	elrab2 3685	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
30		oveq2 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧))
31	30	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
32	31	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
33	32	elrab 3682	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)} ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑧)))
34	25, 29, 33	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)})
35	34	eqriv 2730	1 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  {crab 3433   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  divalglem10  16341