MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncongr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncongr2 16705
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 16706. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12618 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
21mul01d 11460 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) = 0)
323ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = 0)
4 zcn 12618 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
54mul01d 11460 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) = 0)
653ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
73, 6eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
87adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
98oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
109adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
11 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0))
1211oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0))
1413oveq1d 7446 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
1512, 14eqeq12d 2753 . . . 4 (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)))
1610, 15imbitrrid 246 . . 3 (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
17 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
18 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
1917, 18eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
22 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
24 divgcdnnr 16553 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
2522, 23, 24syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
26 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
27 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
28 moddvds 16301 . . . . . . . 8 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3025nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
31 zsubcl 12659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
32313adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3430, 33jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
35 divides 16292 . . . . . . . 8 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
3721, 29, 363bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
3930adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4138, 40zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
4241zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ)
4331zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
44433adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4544ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4623zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
5042, 45, 47, 49mulcan2d 11897 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
51 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
52 subdir 11697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
531, 4, 51, 52syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5453ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5554eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
5650, 55bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
57 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
6059zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
63 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6463nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6523, 64anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
66 gcdcl 16543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6867nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
69 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
7069neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 = 0)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑁 = 0)
7372intnand 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
74 gcdeq0 16554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7565, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7675necon3abid 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7773, 76mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
7861, 62, 68, 77divassd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))))
7959adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8057, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8223, 81anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
83 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8482, 83sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
85 divgcdz 16548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
8779, 86zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
8878, 87eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 16315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9058, 88, 89syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9163nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
93 divmulasscom 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9461, 92, 62, 68, 77, 93syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9590, 94breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
9695exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
9796adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
9897imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
10099imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
101 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
102100, 101syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
10356, 102sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
104103rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
10522adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
106 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
1071063adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
109 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
1101093adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
112 moddvds 16301 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
113105, 108, 111, 112syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
115104, 114sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
116115ex 412 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
117116com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
11837, 117sylbid 240 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
119118imp 406 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
120119com12 32 . . 3 (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
12116, 120pm2.61ine 3025 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))
122121ex 412 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613   mod cmo 13909  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  cncongr  16706
  Copyright terms: Public domain W3C validator