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Theorem cncongr2 16607

Description: The other direction of the bicondition in cncongr 16608. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
cncongr2	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Proof of Theorem cncongr2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	mul01d 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) = 0)
3	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = 0)
4		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) = 0)
6	5	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
7	3, 6	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
9	8	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
11		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0))
12	11	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁))
13		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0))
14	13	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
15	12, 14	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)))
16	10, 15	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
17		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
18		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
19	17, 18	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
24		divgcdnnr 16455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
25	22, 23, 24	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
26		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		moddvds 16202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵)))
30	25	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
31		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
34	30, 33	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
35		divides 16193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵)))
37	21, 29, 36	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵)))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
39	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
41	38, 40	zmulcld 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ)
43	31	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
44	43	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
45	44	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
46	23	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	46	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
50	42, 45, 47, 49	mulcan2d 11783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵)))
51		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
52		subdir 11583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
53	1, 4, 51, 52	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
54	53	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
55	54	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
56	50, 55	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
57		nnz 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
59		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
62	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
63		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
65	23, 64	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
66		gcdcl 16445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
68	67	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
69		nnne0 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
70	69	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 = 0)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑁 = 0)
73	72	intnand 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
74		gcdeq0 16456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
75	65, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
76	75	necon3abid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
77	73, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
78	61, 62, 68, 77	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))))
79	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
80	57, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
82	23, 81	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
83		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
85		divgcdz 16450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
87	79, 86	zmulcld 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
88	78, 87	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
89		dvdsmul1 16216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
90	58, 88, 89	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
91	63	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
93		divmulasscom 11832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
94	61, 92, 62, 68, 77, 93	syl32anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
95	90, 94	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
96	95	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
97	96	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
98	97	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
100	99	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
101		breq2 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
102	100, 101	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
103	56, 102	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
104	103	rexlimdva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
105	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
106		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
107	106	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
109		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
110	109	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
112		moddvds 16202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
113	105, 108, 111, 112	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
115	104, 114	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
116	115	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
117	116	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
118	37, 117	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
119	118	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
120	119	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
121	16, 120	pm2.61ine 3016	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))
122	121	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 class class class wbr 5100 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 0cc0 11038 · cmul 11043 − cmin 11376 / cdiv 11806 ℕcn 12157 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 mod cmo 13801 ∥ cdvds 16191 gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-sup 9357 df-inf 9358 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fl 13724 df-mod 13802 df-seq 13937 df-exp 13997 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-dvds 16192 df-gcd 16434

This theorem is referenced by: cncongr 16608

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