MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncongr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncongr2 15868
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 15869. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 11798 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
21mul01d 10639 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) = 0)
323ad2ant1 1113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = 0)
4 zcn 11798 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
54mul01d 10639 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) = 0)
653ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
73, 6eqtr4d 2817 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
87adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
98oveq1d 6991 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
109adantr 473 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
11 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0))
1211oveq1d 6991 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁))
13 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0))
1413oveq1d 6991 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
1512, 14eqeq12d 2793 . . . 4 (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)))
1610, 15syl5ibr 238 . . 3 (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
17 oveq2 6984 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
18 oveq2 6984 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
1917, 18eqeq12d 2793 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2019adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2120adantl 474 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
22 simpl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 simp3 1118 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
24 divgcdnnr 15724 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
2522, 23, 24syl2anr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
26 simpl1 1171 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
27 simpl2 1172 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
28 moddvds 15478 . . . . . . . 8 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1351 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3025nnzd 11899 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
31 zsubcl 11837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
32313adant3 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3332adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3430, 33jca 504 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
35 divides 15469 . . . . . . . 8 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
3721, 29, 363bitrd 297 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
3930adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4039adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4138, 40zmulcld 11906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
4241zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ)
4331zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
44433adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4544ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4623zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4746ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
4948adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
5042, 45, 47, 49mulcan2d 11075 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
51 zcn 11798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
52 subdir 10875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
531, 4, 51, 52syl3an 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5453ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5554eqeq2d 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
5650, 55bitr3d 273 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
57 nnz 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5857adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
59 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
6059zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6160adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6246adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
63 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6463nnzd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6523, 64anim12i 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
66 gcdcl 15715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6867nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
69 nnne0 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
7069neneqd 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
7170adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 = 0)
7271adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑁 = 0)
7372intnand 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
74 gcdeq0 15725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7565, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7675necon3abid 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7773, 76mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
7861, 62, 68, 77divassd 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))))
7959adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8057, 69jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8180adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8223, 81anim12i 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
83 3anass 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8482, 83sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
85 divgcdz 15720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
8779, 86zmulcld 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
8878, 87eqeltrd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 15491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9058, 88, 89syl2an2 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9163nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9291adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
93 divmulasscom 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9461, 92, 62, 68, 77, 93syl32anc 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
9590, 94breqtrrd 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
9695exp32 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
9796adantrd 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
9897imp 398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
9998adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
10099imp 398 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
101 breq2 4933 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
102100, 101syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
10356, 102sylbid 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
104103rexlimdva 3229 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
10522adantl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
106 zmulcl 11844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
1071063adant2 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
108107adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
109 zmulcl 11844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
1101093adant1 1110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
111110adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
112 moddvds 15478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
113105, 108, 111, 112syl3anc 1351 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
114113adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
115104, 114sylibrd 251 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
116115ex 405 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
117116com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
11837, 117sylbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
119118imp 398 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
120119com12 32 . . 3 (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
12116, 120pm2.61ine 3051 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))
122121ex 405 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wrex 3089   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793   mod cmo 13052  cdvds 15467   gcd cgcd 15703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704
This theorem is referenced by:  cncongr  15869
  Copyright terms: Public domain W3C validator