Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26a 42299
Description: Lemma for jm2.26 42301. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12595 . . . . 5 2 ∈ β„€
2 simplr 766 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 zmulcl 12612 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
41, 2, 3sylancr 586 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
5 zsubcl 12605 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
65adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
7 divides 16203 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
84, 6, 7syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
9 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
10 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
13 jm2.25 42298 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1514adantr 480 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16 oveq2 7412 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
1716oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))))
18 zcn 12564 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
19 zcn 12564 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
20 pncan3 11469 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2118, 19, 20syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2221ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2322oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
2417, 23sylan9eqr 2788 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25 eqidd 2727 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2624, 25acongeq12d 42278 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2715, 26mpbid 231 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827rexlimdva2 3151 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
298, 28sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
30 simprl 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31 znegcl 12598 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3231ad2antll 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3330, 32zsubcld 12672 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€)
34 divides 16203 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
354, 33, 34syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
36 frmx 42212 . . . . . . . . . 10 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
3736fovcl 7532 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
3837nn0zd 12585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
399, 11, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
40 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
41 frmy 42213 . . . . . . . . 9 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
4241fovcl 7532 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
439, 40, 42syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
4441fovcl 7532 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
459, 10, 44syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
4639, 43, 453jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4746adantr 480 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4832adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
49 jm2.25 42298 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (-𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
509, 48, 11, 12, 49syl121anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
5150adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
52 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
5352oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))))
5418negcld 11559 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„‚)
55 pncan3 11469 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5654, 19, 55syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5756ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5857oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
5953, 58sylan9eqr 2788 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
60 rmyneg 42227 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
619, 10, 60syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6261adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6359, 62acongeq12d 42278 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6451, 63mpbid 231 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀))))
65 acongneg2 42276 . . . . 5 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6647, 64, 65syl2anc 583 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6766rexlimdva2 3151 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6835, 67sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6929, 68jaod 856 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823   βˆ₯ cdvds 16201   Xrm crmx 42198   Yrm crmy 42199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16677  df-denom 16678  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-squarenn 42139  df-pell1qr 42140  df-pell14qr 42141  df-pell1234qr 42142  df-pellfund 42143  df-rmx 42200  df-rmy 42201
This theorem is referenced by:  jm2.26  42301
  Copyright terms: Public domain W3C validator