Theorem jm2.26a 43012

Description: Lemma for jm2.26 43014. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26a	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12666	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		zsubcl 12659	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		divides 16292	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)))
9		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
10		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		jm2.25 43011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)))
17	16	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 − 𝑀))))
18		zcn 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19		zcn 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
20		pncan3 11516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
23	22	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 − 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
24	17, 23	sylan9eqr 2799	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
26	24, 25	acongeq12d 42991	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
27	15, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
28	27	rexlimdva2 3157	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29	8, 28	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
30		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		znegcl 12652	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
33	30, 32	zsubcld 12727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ)
34		divides 16292	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
35	4, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
36		frmx 42925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
37	36	fovcl 7561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
39	9, 11, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
40		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41		frmy 42926	. . . . . . . . 9 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
42	41	fovcl 7561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
43	9, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
44	41	fovcl 7561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
45	9, 10, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
46	39, 43, 45	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
48	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → -𝑀 ∈ ℤ)
49		jm2.25 43011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
50	9, 48, 11, 12, 49	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
52		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)))
53	52	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))))
54	18	negcld 11607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
55		pncan3 11516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
56	54, 19, 55	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
59	53, 58	sylan9eqr 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
60		rmyneg 42940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
61	9, 10, 60	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
62	61	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
63	59, 62	acongeq12d 42991	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
64	51, 63	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀))))
65		acongneg2 42989	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
66	47, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
67	66	rexlimdva2 3157	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
68	35, 67	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	29, 68	jaod 860	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16290   X_rm crmx 42911   Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914

This theorem is referenced by:  jm2.26  43014