Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26a 38347
Description: Lemma for jm2.26 38349. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11698 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 simplr 786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11715 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancr 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5 zsubcl 11708 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
65adantl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
7 divides 15320 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)))
84, 6, 7syl2anc 580 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)))
9 simplll 792 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
10 simplrr 797 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 simpllr 794 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 simpr 478 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
13 jm2.25 38346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1495 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1514adantr 473 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16 oveq2 6887 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾𝑀)))
1716oveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾𝑀))))
18 zcn 11670 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19 zcn 11670 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
20 pncan3 10581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2118, 19, 20syl2anr 591 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2221ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2322oveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
2417, 23sylan9eqr 2856 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25 eqidd 2801 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2624, 25acongeq12d 38326 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2715, 26mpbid 224 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827ex 402 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2928rexlimdva 3213 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
308, 29sylbid 232 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
31 simprl 788 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
32 znegcl 11701 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
3332ad2antll 721 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
3431, 33zsubcld 11776 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ)
35 divides 15320 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
364, 34, 35syl2anc 580 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
37 frmx 38258 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3837fovcl 7000 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11769 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
409, 11, 39syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
41 simplrl 796 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
42 frmy 38259 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
4342fovcl 7000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
449, 41, 43syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
4542fovcl 7000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
469, 10, 45syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
4740, 44, 463jca 1159 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
4847adantr 473 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
4933adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → -𝑀 ∈ ℤ)
50 jm2.25 38346 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1495 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
5251adantr 473 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
53 oveq2 6887 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)))
5453oveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))))
5518negcld 10672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
56 pncan3 10581 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5755, 19, 56syl2anr 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5857ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5958oveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
6054, 59sylan9eqr 2856 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
61 rmyneg 38273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
629, 10, 61syl2anc 580 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6362adantr 473 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6460, 63acongeq12d 38326 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6552, 64mpbid 224 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀))))
66 acongneg2 38324 . . . . . 6 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6748, 65, 66syl2anc 580 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6867ex 402 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6968rexlimdva 3213 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
7036, 69sylbid 232 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
7130, 70jaod 886 1 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3091   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223   + caddc 10228   · cmul 10230  cmin 10557  -cneg 10558  2c2 11367  0cn0 11579  cz 11665  cuz 11929  cdvds 15318   Xrm crmx 38245   Yrm crmy 38246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-omul 7805  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-acn 9055  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-xnn0 11652  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-dvds 15319  df-gcd 15551  df-numer 15775  df-denom 15776  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643  df-squarenn 38186  df-pell1qr 38187  df-pell14qr 38188  df-pell1234qr 38189  df-pellfund 38190  df-rmx 38247  df-rmy 38248
This theorem is referenced by:  jm2.26  38349
  Copyright terms: Public domain W3C validator