Theorem jm2.26a 40822

Description: Lemma for jm2.26 40824. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26a	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12369	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		zsubcl 12362	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		divides 15965	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)))
9		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
10		simplrr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		jm2.25 40821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl121anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)))
17	16	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 − 𝑀))))
18		zcn 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19		zcn 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
20		pncan3 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
21	18, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
22	21	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾 − 𝑀)) = 𝐾)
23	22	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 − 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
24	17, 23	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
26	24, 25	acongeq12d 40801	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
27	15, 26	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
28	27	rexlimdva2 3216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − 𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
29	8, 28	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
30		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		znegcl 12355	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
32	31	ad2antll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
33	30, 32	zsubcld 12431	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ)
34		divides 15965	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
35	4, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
36		frmx 40735	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
37	36	fovcl 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
39	9, 11, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
40		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41		frmy 40736	. . . . . . . . 9 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
42	41	fovcl 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
43	9, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
44	41	fovcl 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
45	9, 10, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
46	39, 43, 45	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
47	46	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
48	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → -𝑀 ∈ ℤ)
49		jm2.25 40821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
50	9, 48, 11, 12, 49	syl121anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
51	50	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
52		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)))
53	52	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))))
54	18	negcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
55		pncan3 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
56	54, 19, 55	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
57	56	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
58	57	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
59	53, 58	sylan9eqr 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
60		rmyneg 40750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
61	9, 10, 60	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
63	59, 62	acongeq12d 40801	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
64	51, 63	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀))))
65		acongneg2 40799	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
66	47, 64, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
67	66	rexlimdva2 3216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
68	35, 67	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	29, 68	jaod 856	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ∥ cdvds 15963   X_rm crmx 40722   Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-squarenn 40663  df-pell1qr 40664  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666  df-pellfund 40667  df-rmx 40724  df-rmy 40725

This theorem is referenced by:  jm2.26  40824