Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26a 41353
Description: Lemma for jm2.26 41355. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ β„€
2 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 zmulcl 12559 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
41, 2, 3sylancr 588 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
5 zsubcl 12552 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
65adantl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
7 divides 16145 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
84, 6, 7syl2anc 585 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
9 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
10 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
13 jm2.25 41352 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1514adantr 482 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16 oveq2 7370 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
1716oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))))
18 zcn 12511 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
19 zcn 12511 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
20 pncan3 11416 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2118, 19, 20syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2221ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2322oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
2417, 23sylan9eqr 2799 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25 eqidd 2738 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2624, 25acongeq12d 41332 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2715, 26mpbid 231 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827rexlimdva2 3155 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
298, 28sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
30 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31 znegcl 12545 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3231ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3330, 32zsubcld 12619 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€)
34 divides 16145 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
354, 33, 34syl2anc 585 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
36 frmx 41266 . . . . . . . . . 10 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
3736fovcl 7489 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
3837nn0zd 12532 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
399, 11, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
40 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
41 frmy 41267 . . . . . . . . 9 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
4241fovcl 7489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
439, 40, 42syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
4441fovcl 7489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
459, 10, 44syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
4639, 43, 453jca 1129 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4746adantr 482 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4832adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
49 jm2.25 41352 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (-𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
509, 48, 11, 12, 49syl121anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
5150adantr 482 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
52 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
5352oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))))
5418negcld 11506 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„‚)
55 pncan3 11416 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5654, 19, 55syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5857oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
5953, 58sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
60 rmyneg 41281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
619, 10, 60syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6261adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6359, 62acongeq12d 41332 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6451, 63mpbid 231 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀))))
65 acongneg2 41330 . . . . 5 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6647, 64, 65syl2anc 585 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6766rexlimdva2 3155 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6835, 67sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6929, 68jaod 858 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   βˆ₯ cdvds 16143   Xrm crmx 41252   Yrm crmy 41253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41193  df-pell1qr 41194  df-pell14qr 41195  df-pell1234qr 41196  df-pellfund 41197  df-rmx 41254  df-rmy 41255
This theorem is referenced by:  jm2.26  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator