Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26a 42452
Description: Lemma for jm2.26 42454. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12632 . . . . 5 2 ∈ β„€
2 simplr 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 zmulcl 12649 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
41, 2, 3sylancr 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
5 zsubcl 12642 . . . . 5 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
65adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
7 divides 16240 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
84, 6, 7syl2anc 582 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
9 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
10 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
12 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
13 jm2.25 42451 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1514adantr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16 oveq2 7434 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)))
1716oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))))
18 zcn 12601 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
19 zcn 12601 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
20 pncan3 11506 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2118, 19, 20syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2221ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀)) = 𝐾)
2322oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾 βˆ’ 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
2417, 23sylan9eqr 2790 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25 eqidd 2729 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2624, 25acongeq12d 42431 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2715, 26mpbid 231 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827rexlimdva2 3154 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
298, 28sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
30 simprl 769 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
31 znegcl 12635 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3231ad2antll 727 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
3330, 32zsubcld 12709 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€)
34 divides 16240 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
354, 33, 34syl2anc 582 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
36 frmx 42365 . . . . . . . . . 10 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
3736fovcl 7555 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
3837nn0zd 12622 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
399, 11, 38syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
40 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
41 frmy 42366 . . . . . . . . 9 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
4241fovcl 7555 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
439, 40, 42syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
4441fovcl 7555 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
459, 10, 44syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
4639, 43, 453jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4746adantr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€))
4832adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
49 jm2.25 42451 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (-𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
509, 48, 11, 12, 49syl121anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
5150adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))))
52 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
5352oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))))
5418negcld 11596 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ -𝑀 ∈ β„‚)
55 pncan3 11506 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5654, 19, 55syl2anr 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5756ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀)) = 𝐾)
5857oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 βˆ’ -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
5953, 58sylan9eqr 2790 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
60 rmyneg 42380 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
619, 10, 60syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6261adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6359, 62acongeq12d 42431 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)))) βˆ’ -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6451, 63mpbid 231 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀))))
65 acongneg2 42429 . . . . 5 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ --(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6647, 64, 65syl2anc 582 . . . 4 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ π‘Ž ∈ β„€) ∧ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6766rexlimdva2 3154 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· (2 Β· 𝑁)) = (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6835, 67sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6929, 68jaod 857 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860   βˆ₯ cdvds 16238   Xrm crmx 42351   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by:  jm2.26  42454
  Copyright terms: Public domain W3C validator