Theorem dvdsle 16249

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
2		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · 𝑀) = (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
3	2	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁))
4	1, 3	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁) ↔ (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁)))
5		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ↔ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
6		neeq2 2996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
7	5, 6	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
8		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) = (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
9	8	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ↔ (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
10	9	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
11		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
12	11	elimel 4551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ∈ ℤ
13		1nn 12168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	13	elimel 4551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
15	11	elimel 4551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) ∈ ℤ
16	12, 14, 15	dvdslelem 16248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))
17	4, 7, 10, 16	dedth3h 4542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
18	17	3expia 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
19	18	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
20	19	3impia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
21	20	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
22	21	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	22	nrexdv 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24		nnz 12521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25		divides 16193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	24, 25	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27	26	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
28	23, 27	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)
29	28	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
31		zre 12504	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32		nnre 12164	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
33		lenlt 11223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
34	31, 32, 33	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
35	30, 34	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  16250  dvdsssfz1  16257  fzm1ndvds  16261  fzo0dvdseq  16262  gcd1  16467  bezoutlem4  16481  dfgcd2  16485  gcdzeq  16491  bezoutr1  16508  lcmgcdlem  16545  qredeq  16596  isprm3  16622  prmdvdsfz  16644  isprm5  16646  maxprmfct  16648  isprm6  16653  prmfac1  16659  ncoprmlnprm  16667  pcpre1  16782  pcidlem  16812  pcprod  16835  pcfac  16839  pockthg  16846  prmreclem1  16856  prmreclem3  16858  prmreclem5  16860  1arith  16867  4sqlem11  16895  prmolelcmf  16988  gexcl2  19530  sylow1lem1  19539  sylow1lem5  19543  gexex  19794  ablfac1eu  20016  ablfaclem3  20030  znidomb  21528  dvdsflsumcom  27166  chtublem  27190  vmasum  27195  logfac2  27196  bposlem6  27268  lgsdir  27311  lgsdilem2  27312  lgsne0  27314  lgsqrlem2  27326  lgsquadlem2  27360  2sqlem8  27405  2sqblem  27410  2sqmod  27415  oddpwdc  34531  nn0prpw  36536  lcmineqlem20  42407  lcmineqlem22  42409  aks4d1p3  42437  aks4d1p6  42440  aks4d1p8d2  42444  aks4d1p8  42446  primrootlekpowne0  42464  aks6d1c2lem4  42486  grpods  42553  unitscyglem2  42555  unitscyglem4  42557  gcdle1d  42689  gcdle2d  42690  nznngen  44661  etransclem41  46622