Theorem dvdsle 16320

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
2		oveq2 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · 𝑀) = (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
3	2	neeq1d 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁))
4	1, 3	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → ((𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁) ↔ (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁)))
5		breq1 5097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ↔ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
6		neeq2 3014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁 ↔ (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
7	5, 6	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ 𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
8		oveq1 7392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) = (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)))
9	8	neeq1d 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ↔ (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
10	9	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (𝑛 · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)) ↔ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
11		1z 12591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
12	11	elimel 4544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) ∈ ℤ
13		1nn 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	13	elimel 4544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
15	11	elimel 4544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) ∈ ℤ
16	12, 14, 15	dvdslelem 16319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) < if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1) → (if(𝑛 ∈ ℤ, 𝑛, 1) · if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 1)) ≠ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))
17	4, 7, 10, 16	dedth3h 4535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
18	17	3expia 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
19	18	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)))
20	19	3impia 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁))
21	20	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
22	21	neneqd 2956	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	22	nrexdv 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24		nnz 12579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
25		divides 16264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	24, 25	sylan2 601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27	26	3adant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
28	23, 27	mtbird 327	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)
29	28	3expia 1130	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	con2d 134	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
31		zre 12562	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32		nnre 12207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
33		lenlt 11251	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
34	31, 32, 33	syl2an 604	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
35	30, 34	sylibrd 261	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  ifcif 4474   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  1c1 11064   · cmul 11068   < clt 11206   ≤ cle 11207  ℕcn 12200  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-dvds 16263

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  16321  dvdsssfz1  16328  fzm1ndvds  16332  fzo0dvdseq  16333  gcd1  16538  bezoutlem4  16552  dfgcd2  16556  gcdzeq  16562  bezoutr1  16579  lcmgcdlem  16616  qredeq  16667  isprm3  16693  prmdvdsfz  16716  isprm5  16718  maxprmfct  16720  isprm6  16725  prmfac1  16731  ncoprmlnprm  16739  pcpre1  16854  pcidlem  16884  pcprod  16907  pcfac  16911  pockthg  16918  prmreclem1  16928  prmreclem3  16930  prmreclem5  16932  1arith  16939  4sqlem11  16967  prmolelcmf  17060  gexcl2  19605  sylow1lem1  19614  sylow1lem5  19618  gexex  19869  ablfac1eu  20091  ablfaclem3  20105  znidomb  21586  dvdsflsumcom  27222  chtublem  27245  vmasum  27250  logfac2  27251  bposlem6  27323  lgsdir  27366  lgsdilem2  27367  lgsne0  27369  lgsqrlem2  27381  lgsquadlem2  27415  2sqlem8  27460  2sqblem  27465  2sqmod  27470  oddpwdc  34605  nn0prpw  36631  lcmineqlem20  42613  lcmineqlem22  42615  aks4d1p3  42643  aks4d1p6  42646  aks4d1p8d2  42650  aks4d1p8  42652  primrootlekpowne0  42670  aks6d1c2lem4  42692  grpods  42759  unitscyglem2  42761  unitscyglem4  42763  gcdle1d  42887  gcdle2d  42888  nznngen  44840  etransclem41  46797