MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsle 16257
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†” ๐‘ < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)))
2 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) = (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)))
32neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘ โ†” (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  ๐‘))
41, 3imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ = if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ ((๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘) โ†” (๐‘ < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  ๐‘)))
5 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ (๐‘ < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†” if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)))
6 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  ๐‘ โ†” (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
75, 6imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†’ ((๐‘ < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  ๐‘) โ†” (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
8 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) โ†’ (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) = (if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)))
98neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) โ†’ ((๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โ†” (if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)))
109imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) โ†’ ((if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (๐‘› ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1)) โ†” (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))))
11 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
1211elimel 4597 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โˆˆ โ„ค
13 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•
1413elimel 4597 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) โˆˆ โ„•
1511elimel 4597 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) โˆˆ โ„ค
1612, 14, 15dvdslelem 16256 . . . . . . . . . . . 12 (if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1) < if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1) โ†’ (if(๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘›, 1) ยท if(๐‘€ โˆˆ โ„ค, ๐‘€, 1)) โ‰  if(๐‘ โˆˆ โ„•, ๐‘, 1))
174, 7, 10, 16dedth3h 4588 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘))
18173expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)))
1918com23 86 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)))
20193impia 1117 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘))
2120imp 407 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
2221neneqd 2945 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘)
2322nrexdv 3149 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘)
24 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25 divides 16203 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
2624, 25sylan2 593 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
27263adant3 1132 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
2823, 27mtbird 324 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ < ๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
29283expia 1121 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
3029con2d 134 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ < ๐‘€))
31 zre 12566 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
32 nnre 12223 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
33 lenlt 11296 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ < ๐‘€))
3431, 32, 33syl2an 596 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ < ๐‘€))
3530, 34sylibrd 258 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  16258  dvdsssfz1  16265  fzm1ndvds  16269  fzo0dvdseq  16270  gcd1  16473  bezoutlem4  16488  dfgcd2  16492  gcdzeq  16498  bezoutr1  16510  lcmgcdlem  16547  qredeq  16598  isprm3  16624  prmdvdsfz  16646  isprm5  16648  maxprmfct  16650  isprm6  16655  prmfac1  16662  ncoprmlnprm  16668  pcpre1  16779  pcidlem  16809  pcprod  16832  pcfac  16836  pockthg  16843  prmreclem1  16853  prmreclem3  16855  prmreclem5  16857  1arith  16864  4sqlem11  16892  prmolelcmf  16985  gexcl2  19498  sylow1lem1  19507  sylow1lem5  19511  gexex  19762  ablfac1eu  19984  ablfaclem3  19998  znidomb  21336  dvdsflsumcom  26916  chtublem  26938  vmasum  26943  logfac2  26944  bposlem6  27016  lgsdir  27059  lgsdilem2  27060  lgsne0  27062  lgsqrlem2  27074  lgsquadlem2  27108  2sqlem8  27153  2sqblem  27158  2sqmod  27163  oddpwdc  33639  nn0prpw  35511  lcmineqlem20  41219  lcmineqlem22  41221  aks4d1p3  41249  aks4d1p6  41252  aks4d1p8d2  41256  aks4d1p8  41258  gcdle1d  41523  gcdle2d  41524  nznngen  43377  etransclem41  45290
  Copyright terms: Public domain W3C validator