Theorem pr2dom 43517

Description: An unordered pair is dominated by ordinal two. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2dom	⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Proof of Theorem pr2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4634	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snex 5442	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		snex 5442	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		undjudom 10206	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵})
6		sn1dom 43516	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ≼ 1o
7		djudom1 10221	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}))
8	6, 3, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵})
9		sn1dom 43516	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ≼ 1o
10		1on 8517	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11		djudom2 10222	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ≼ 1o ∧ 1o ∈ On) → (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
13		domtr 9046	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}) ∧ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
15		dju1p1e2 10212	. . . 4 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
16		domentr 9052	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o)
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o
18		domtr 9046	. . 3 ⊢ ((({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ∧ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o)
19	5, 17, 18	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o
20	1, 19	eqbrtri 5169	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ⊔ cdju 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-dju 9939

This theorem is referenced by:  tr3dom  43518