Theorem pr2dom 43954

Description: An unordered pair is dominated by ordinal two. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2dom	⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Proof of Theorem pr2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4571	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snex 5382	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		snex 5382	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		undjudom 10090	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵})
6		sn1dom 43953	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ≼ 1o
7		djudom1 10105	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}))
8	6, 3, 7	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵})
9		sn1dom 43953	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ≼ 1o
10		1on 8417	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11		djudom2 10106	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ≼ 1o ∧ 1o ∈ On) → (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
13		domtr 8954	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}) ∧ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
15		dju1p1e2 10096	. . . 4 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
16		domentr 8960	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o)
17	14, 15, 16	mp2an 693	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o
18		domtr 8954	. . 3 ⊢ ((({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ∧ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o)
19	5, 17, 18	mp2an 693	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o
20	1, 19	eqbrtri 5107	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  Oncon0 6324  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891   ⊔ cdju 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6327  df-on 6328  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-dju 9825

This theorem is referenced by:  tr3dom  43955