Theorem pr2dom 42835

Description: An unordered pair is dominated by ordinal two. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2dom	⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Proof of Theorem pr2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4626	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snex 5424	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		snex 5424	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		undjudom 10161	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵})
6		sn1dom 42834	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ≼ 1o
7		djudom1 10176	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}))
8	6, 3, 7	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵})
9		sn1dom 42834	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ≼ 1o
10		1on 8476	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11		djudom2 10177	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ≼ 1o ∧ 1o ∈ On) → (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
13		domtr 9002	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}) ∧ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
15		dju1p1e2 10167	. . . 4 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
16		domentr 9008	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o)
17	14, 15, 16	mp2an 689	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o
18		domtr 9002	. . 3 ⊢ ((({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ∧ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o)
19	5, 17, 18	mp2an 689	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o
20	1, 19	eqbrtri 5162	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∪ cun 3941  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  1_oc1o 8457  2_oc2o 8458   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ⊔ cdju 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-dju 9895

This theorem is referenced by:  tr3dom  42836