Theorem pr2dom 43551

Description: An unordered pair is dominated by ordinal two. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2dom	⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Proof of Theorem pr2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4604	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snex 5406	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		snex 5406	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		undjudom 10182	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵})
6		sn1dom 43550	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ≼ 1o
7		djudom1 10197	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}))
8	6, 3, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵})
9		sn1dom 43550	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ≼ 1o
10		1on 8492	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11		djudom2 10198	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ≼ 1o ∧ 1o ∈ On) → (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
13		domtr 9021	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}) ∧ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
15		dju1p1e2 10188	. . . 4 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
16		domentr 9027	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o)
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o
18		domtr 9021	. . 3 ⊢ ((({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ∧ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o)
19	5, 17, 18	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o
20	1, 19	eqbrtri 5140	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∪ cun 3924  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  Oncon0 6352  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ⊔ cdju 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-dju 9915

This theorem is referenced by:  tr3dom  43552