Theorem pr2dom 44512

Description: An unordered pair is dominated by ordinal two. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2dom	⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

Proof of Theorem pr2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4587	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
4		undjudom 10239	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵})
6		sn1dom 44511	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ≼ 1o
7		djudom1 10254	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ≼ 1o ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}))
8	6, 3, 7	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵})
9		sn1dom 44511	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ≼ 1o
10		1on 8482	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11		djudom2 10255	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ≼ 1o ∧ 1o ∈ On) → (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
13		domtr 9027	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ {𝐵}) ∧ (1o ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o))
14	8, 12, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o)
15		dju1p1e2 10245	. . . 4 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
16		domentr 9033	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o
18		domtr 9027	. . 3 ⊢ ((({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ∧ ({𝐴} ⊔ {𝐵}) ≼ 2o) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o)
19	5, 17, 18	mp2an 705	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≼ 2o
20	1, 19	eqbrtri 5126	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ 2o

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  Oncon0 6361  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ⊔ cdju 9972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-dju 9975

This theorem is used by:  tr3dom  44513