Theorem unctb 10090

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8881	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		ctex 8881	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3		undjudom 10054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		djudom1 10069	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
6	2, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8		omex 9528	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
9		djudom2 10070	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11		domtr 8924	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
13	8, 8	xpex 7681	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
14		xp2dju 10063	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15		ordom 7801	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
16		2onn 8552	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
17		ordelss 6317	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
18	15, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 2o ⊆ ω
19		xpss1 5630	. . . . . . 7 ⊢ (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
21	14, 20	eqsstrri 3977	. . . . 5 ⊢ (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22		ssdomg 8917	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
23	13, 21, 22	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24		xpomen 9901	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
25		domentr 8930	. . . 4 ⊢ (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ ω
27		domtr 8924	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
28	12, 26, 27	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
29		domtr 8924	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   × cxp 5609  Ord word 6300  ωcom 7791  2_oc2o 8374   ≈ cen 8861   ≼ cdom 8862   ⊔ cdju 9786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827

This theorem is referenced by:  cctop  22916  2ndcdisj2  23367  ovolctb2  25415  uniiccdif  25501  prct  32688  pibt2  37451