Theorem unctb 9892

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8708	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		ctex 8708	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3		undjudom 9854	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		djudom1 9869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
6	2, 5	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8		omex 9331	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
9		djudom2 9870	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
10	7, 8, 9	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11		domtr 8748	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
12	6, 10, 11	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
13	8, 8	xpex 7581	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
14		xp2dju 9863	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15		ordom 7697	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
16		2onn 8433	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
17		ordelss 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
18	15, 16, 17	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ 2o ⊆ ω
19		xpss1 5599	. . . . . . 7 ⊢ (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
21	14, 20	eqsstrri 3952	. . . . 5 ⊢ (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22		ssdomg 8741	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
23	13, 21, 22	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24		xpomen 9702	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
25		domentr 8754	. . . 4 ⊢ (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
26	23, 24, 25	mp2an 688	. . 3 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ ω
27		domtr 8748	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
28	12, 26, 27	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
29		domtr 8748	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
30	4, 28, 29	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Ord word 6250  ωcom 7687  2_oc2o 8261   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628

This theorem is referenced by:  cctop  22064  2ndcdisj2  22516  ovolctb2  24561  uniiccdif  24647  prct  30951  pibt2  35515