Theorem unctb 10319

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 9026	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		ctex 9026	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3		undjudom 10283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		djudom1 10298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
6	2, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8		omex 9679	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
9		djudom2 10299	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11		domtr 9070	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
12	6, 10, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
13	8, 8	xpex 7797	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
14		xp2dju 10292	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15		ordom 7919	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
16		2onn 8687	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
17		ordelss 6402	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
18	15, 16, 17	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ 2o ⊆ ω
19		xpss1 5675	. . . . . . 7 ⊢ (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
21	14, 20	eqsstrri 3960	. . . . 5 ⊢ (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22		ssdomg 9063	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
23	13, 21, 22	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24		xpomen 10131	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
25		domentr 9076	. . . 4 ⊢ (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
26	23, 24, 25	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ ω
27		domtr 9070	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
28	12, 26, 27	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
29		domtr 9070	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
30	4, 28, 29	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106   × cxp 5654  Ord word 6385  ωcom 7909  2_oc2o 8506   ≈ cen 9006   ≼ cdom 9007   ⊔ cdju 10014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055

This theorem is used by:  cctop  23368  2ndcdisj2  23820  ovolctb2  25857  uniiccdif  25943  prct  33393  pibt2  38601