Theorem unctb 10106

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8896	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		ctex 8896	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3		undjudom 10070	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		djudom1 10085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
6	2, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8		omex 9544	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
9		djudom2 10086	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11		domtr 8940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
13	8, 8	xpex 7695	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
14		xp2dju 10079	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15		ordom 7815	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
16		2onn 8566	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
17		ordelss 6330	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
18	15, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 2o ⊆ ω
19		xpss1 5640	. . . . . . 7 ⊢ (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
21	14, 20	eqsstrri 3978	. . . . 5 ⊢ (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22		ssdomg 8933	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
23	13, 21, 22	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24		xpomen 9917	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
25		domentr 8946	. . . 4 ⊢ (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ ω
27		domtr 8940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
28	12, 26, 27	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
29		domtr 8940	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   × cxp 5619  Ord word 6313  ωcom 7805  2_oc2o 8388   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877   ⊔ cdju 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843

This theorem is referenced by:  cctop  22941  2ndcdisj2  23392  ovolctb2  25440  uniiccdif  25526  prct  32720  pibt2  37534