MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 10244
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 ctex 9004 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2 ctex 9004 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3 undjudom 10208 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
5 djudom1 10223 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
62, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8 omex 9683 . . . . 5 ω ∈ V
9 djudom2 10224 . . . . 5 ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11 domtr 9047 . . . 4 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
126, 10, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
138, 8xpex 7773 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
14 xp2dju 10217 . . . . . 6 (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15 ordom 7897 . . . . . . . 8 Ord ω
16 2onn 8680 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
17 ordelss 6400 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
1815, 16, 17mp2an 692 . . . . . . 7 2o ⊆ ω
19 xpss1 5704 . . . . . . 7 (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
2114, 20eqsstrri 4031 . . . . 5 (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22 ssdomg 9040 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
2313, 21, 22mp2 9 . . . 4 (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24 xpomen 10055 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
25 domentr 9053 . . . 4 (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
2623, 24, 25mp2an 692 . . 3 (ω ⊔ ω) ≼ ω
27 domtr 9047 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
2812, 26, 27sylancl 586 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
29 domtr 9047 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
304, 28, 29syl2anc 584 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Ord word 6383  ωcom 7887  2oc2o 8500  cen 8982  cdom 8983  cdju 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979
This theorem is referenced by:  cctop  23013  2ndcdisj2  23465  ovolctb2  25527  uniiccdif  25613  prct  32726  pibt2  37418
  Copyright terms: Public domain W3C validator