Theorem unctb 9309

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8195	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelexi 5355	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3	1	brrelexi 5355	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
4		uncdadom 9275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2an 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6		cdadom1 9290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵))
7		cdadom2 9291	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
8		domtr 8242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵) ∧ (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
9	6, 7, 8	syl2an 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
10		omex 8784	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
11	10, 10	xpex 7189	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
12		xp2cda 9284	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω))
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω)
14		ordom 7301	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
15		2onn 7954	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
16		ordelss 5949	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
17	14, 15, 16	mp2an 675	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ⊆ ω
18		xpss2 5327	. . . . . . 7 ⊢ (2𝑜 ⊆ ω → (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω)
20	13, 19	eqsstr3i 3830	. . . . 5 ⊢ (ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω)
21		ssdomg 8235	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)))
22	11, 20, 21	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)
23		xpomen 9118	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
24		domentr 8248	. . . 4 ⊢ (((ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ ω)
25	22, 23, 24	mp2an 675	. . 3 ⊢ (ω +𝑐 ω) ≼ ω
26		domtr 8242	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω) ∧ (ω +𝑐 ω) ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
27	9, 25, 26	sylancl 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
28		domtr 8242	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
29	5, 27, 28	syl2anc 575	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2158  Vcvv 3390   ∪ cun 3764   ⊆ wss 3766   class class class wbr 4840   × cxp 5306  Ord word 5932  (class class class)co 6871  ωcom 7292  2_𝑜c2o 7787   ≈ cen 8186   ≼ cdom 8187   +_𝑐 ccda 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272

This theorem is referenced by:  cctop  21020  2ndcdisj2  21470  ovolctb2  23469  uniiccdif  23555  prct  29816