MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 9309
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 8195 . . . 4 Rel ≼
21brrelexi 5355 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
31brrelexi 5355 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
4 uncdadom 9275 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
52, 3, 4syl2an 585 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 cdadom1 9290 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵))
7 cdadom2 9291 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
8 domtr 8242 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵) ∧ (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
96, 7, 8syl2an 585 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
10 omex 8784 . . . . . 6 ω ∈ V
1110, 10xpex 7189 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
12 xp2cda 9284 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω)
14 ordom 7301 . . . . . . . 8 Ord ω
15 2onn 7954 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
16 ordelss 5949 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1714, 15, 16mp2an 675 . . . . . . 7 2𝑜 ⊆ ω
18 xpss2 5327 . . . . . . 7 (2𝑜 ⊆ ω → (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω)
2013, 19eqsstr3i 3830 . . . . 5 (ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω)
21 ssdomg 8235 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)))
2211, 20, 21mp2 9 . . . 4 (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)
23 xpomen 9118 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
24 domentr 8248 . . . 4 (((ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ ω)
2522, 23, 24mp2an 675 . . 3 (ω +𝑐 ω) ≼ ω
26 domtr 8242 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω) ∧ (ω +𝑐 ω) ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
279, 25, 26sylancl 576 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
28 domtr 8242 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
295, 27, 28syl2anc 575 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  Vcvv 3390  cun 3764  wss 3766   class class class wbr 4840   × cxp 5306  Ord word 5932  (class class class)co 6871  ωcom 7292  2𝑜c2o 7787  cen 8186  cdom 8187   +𝑐 ccda 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272
This theorem is referenced by:  cctop  21020  2ndcdisj2  21470  ovolctb2  23469  uniiccdif  23555  prct  29816
  Copyright terms: Public domain W3C validator