MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 10199
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 ctex 8958 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2 ctex 8958 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3 undjudom 10161 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵))
5 djudom1 10176 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
62, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8 omex 9637 . . . . 5 ω ∈ V
9 djudom2 10177 . . . . 5 ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11 domtr 9002 . . . 4 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
126, 10, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
138, 8xpex 7739 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
14 xp2dju 10170 . . . . . 6 (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15 ordom 7864 . . . . . . . 8 Ord ω
16 2onn 8640 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
17 ordelss 6380 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
1815, 16, 17mp2an 690 . . . . . . 7 2o ⊆ ω
19 xpss1 5695 . . . . . . 7 (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
2114, 20eqsstrri 4017 . . . . 5 (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22 ssdomg 8995 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
2313, 21, 22mp2 9 . . . 4 (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24 xpomen 10009 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
25 domentr 9008 . . . 4 (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
2623, 24, 25mp2an 690 . . 3 (ω ⊔ ω) ≼ ω
27 domtr 9002 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
2812, 26, 27sylancl 586 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
29 domtr 9002 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
304, 28, 29syl2anc 584 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3946  wss 3948   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Ord word 6363  ωcom 7854  2oc2o 8459  cen 8935  cdom 8936  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933
This theorem is referenced by:  cctop  22508  2ndcdisj2  22960  ovolctb2  25008  uniiccdif  25094  prct  31934  pibt2  36293
  Copyright terms: Public domain W3C validator