Theorem unctb 10244

Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 9004	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2		ctex 9004	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
3		undjudom 10208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
5		djudom1 10223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
6	2, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ≼ ω)
8		omex 9683	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
9		djudom2 10224	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ ω ∧ ω ∈ V) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
11		domtr 9047	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ 𝐵) ∧ (ω ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω))
13	8, 8	xpex 7773	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ∈ V
14		xp2dju 10217	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) = (ω ⊔ ω)
15		ordom 7897	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
16		2onn 8680	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
17		ordelss 6400	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 2o ∈ ω) → 2o ⊆ ω)
18	15, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 2o ⊆ ω
19		xpss1 5704	. . . . . . 7 ⊢ (2o ⊆ ω → (2o × ω) ⊆ (ω × ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2o × ω) ⊆ (ω × ω)
21	14, 20	eqsstrri 4031	. . . . 5 ⊢ (ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω)
22		ssdomg 9040	. . . . 5 ⊢ ((ω × ω) ∈ V → ((ω ⊔ ω) ⊆ (ω × ω) → (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)))
23	13, 21, 22	mp2 9	. . . 4 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω)
24		xpomen 10055	. . . 4 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
25		domentr 9053	. . . 4 ⊢ (((ω ⊔ ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω ⊔ ω) ≼ ω)
26	23, 24, 25	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ω ⊔ ω) ≼ ω
27		domtr 9047	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (ω ⊔ ω) ∧ (ω ⊔ ω) ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
28	12, 26, 27	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω)
29		domtr 9047	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Ord word 6383  ωcom 7887  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ⊔ cdju 9938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979

This theorem is referenced by:  cctop  23013  2ndcdisj2  23465  ovolctb2  25527  uniiccdif  25613  prct  32726  pibt2  37418