MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdff 20032
Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdff.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdff (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐼   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
2 dprdff.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 dprdff.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
52, 3, 4dprdw 20030 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
61, 5mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
76simp1d 1143 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
86simp2d 1144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
93, 4dprdf2 20027 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 dprdff.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 19145 . . . . . 6 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1413sseld 3982 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1514ralimdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
168, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
17 ffnfv 7139 . 2 (𝐹:𝐼𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
187, 16, 17sylanbrc 583 1 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Xcixp 8937   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  SubGrpcsubg 19138   DProd cdprd 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-ixp 8938  df-subg 19141  df-dprd 20015
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  20035  dprdssv  20036  dprdfid  20037  dprdfinv  20039  dprdfadd  20040  dprdfsub  20041  dprdfeq0  20042  dprdf11  20043  dprdlub  20046  dmdprdsplitlem  20057  dprddisj2  20059  dpjidcl  20078
  Copyright terms: Public domain W3C validator