Theorem dprdff 20056

Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdff.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dprdff.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐼   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdff.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
2		dprdff.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		dprdff.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		dprdff.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdw 20054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
6	1, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
7	6	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	6	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9	3, 4	dprdf2 20051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		dprdff.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	subgss 19167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 4007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
15	14	ralimdva 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
16	8, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
17		ffnfv 7153	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
18	7, 16, 17	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  Xcixp 8955   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  SubGrpcsubg 19160   DProd cdprd 20037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-ixp 8956  df-subg 19163  df-dprd 20039

This theorem is referenced by:  dprdfcntz  20059  dprdssv  20060  dprdfid  20061  dprdfinv  20063  dprdfadd  20064  dprdfsub  20065  dprdfeq0  20066  dprdf11  20067  dprdlub  20070  dmdprdsplitlem  20081  dprddisj2  20083  dpjidcl  20102