Theorem dprdff 20234

Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdff.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dprdff.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐼   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(ℎ, 𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdff.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
2		dprdff.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		dprdff.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		dprdff.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdw 20232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
6	1, 5	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
7	6	simp1d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	6	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9	3, 4	dprdf2 20229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		dprdff.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	subgss 19343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3907	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
15	14	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
16	8, 15	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
17		ffnfv 7120	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
18	7, 16, 17	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  Xcixp 8929   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17393  SubGrpcsubg 19336   DProd cdprd 20215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-ixp 8930  df-subg 19339  df-dprd 20217

This theorem is used by:  dprdfcntz  20237  dprdssv  20238  dprdfid  20239  dprdfinv  20241  dprdfadd  20242  dprdfsub  20243  dprdfeq0  20244  dprdf11  20245  dprdlub  20248  dmdprdsplitlem  20259  dprddisj2  20261  dpjidcl  20280