MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdff 20012
Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdff.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdff (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐼   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
2 dprdff.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 dprdff.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
52, 3, 4dprdw 20010 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
61, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
76simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
86simp2d 1140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
93, 4dprdf2 20007 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109ffvelcdmda 7098 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 dprdff.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 19121 . . . . . 6 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1413sseld 3978 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1514ralimdva 3157 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
168, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
17 ffnfv 7133 . 2 (𝐹:𝐼𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
187, 16, 17sylanbrc 581 1 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  wss 3947   class class class wbr 5153  dom cdm 5682   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  Xcixp 8926   finSupp cfsupp 9405  Basecbs 17213  SubGrpcsubg 19114   DProd cdprd 19993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-ixp 8927  df-subg 19117  df-dprd 19995
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  20015  dprdssv  20016  dprdfid  20017  dprdfinv  20019  dprdfadd  20020  dprdfsub  20021  dprdfeq0  20022  dprdf11  20023  dprdlub  20026  dmdprdsplitlem  20037  dprddisj2  20039  dpjidcl  20058
  Copyright terms: Public domain W3C validator