Theorem dprdff 19943

Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdff.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dprdff.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐼   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdff.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
2		dprdff.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		dprdff.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		dprdff.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdw 19941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
6	1, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
7	6	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	6	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9	3, 4	dprdf2 19938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		dprdff.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	subgss 19057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
15	14	ralimdva 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
16	8, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
17		ffnfv 7064	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
18	7, 16, 17	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  dom cdm 5624   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Xcixp 8835   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  SubGrpcsubg 19050   DProd cdprd 19924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ixp 8836  df-subg 19053  df-dprd 19926

This theorem is referenced by:  dprdfcntz  19946  dprdssv  19947  dprdfid  19948  dprdfinv  19950  dprdfadd  19951  dprdfsub  19952  dprdfeq0  19953  dprdf11  19954  dprdlub  19957  dmdprdsplitlem  19968  dprddisj2  19970  dpjidcl  19989