Theorem unitmulclb 20352

Description: Reversal of unitmulcl 20351 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
2		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		unitmulclb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
6		unitmulcl.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	4, 5, 6	dvdsrmul 20335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
9	4, 6	crngcom 20223	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
10	8, 9	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
11		unitmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
12	11, 5	dvdsunit 20350	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
13	12	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
14	1, 10, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
15	4, 5, 6	dvdsrmul 20335	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
16	3, 2, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
17	11, 5	dvdsunit 20350	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	17	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
19	1, 16, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
20	14, 19	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))
21		crngring 20217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	11, 6	unitmulcl 20351	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
24	23	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
26	20, 25	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  ∥_rcdsr 20325  Unitcui 20326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329

This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27215  dvdsruasso  33460  unitprodclb  33464  unitpidl1  33499  mxidlirredi  33546  1arithidom  33612  1arithufdlem3  33621