MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulclb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitmulclb 20324
Description: Reversal of unitmulcl 20323 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitmulclb.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 unitmulclb.1 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
6 unitmulcl.2 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
74, 5, 6dvdsrmul 20307 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
82, 3, 7syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
94, 6crngcom 20195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (π‘Œ Β· 𝑋))
108, 9breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
11 unitmulcl.1 . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
1211, 5dvdsunit 20322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
13123expia 1118 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
141, 10, 13syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
154, 5, 6dvdsrmul 20307 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
163, 2, 15syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
1711, 5dvdsunit 20322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
18173expia 1118 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
191, 16, 18syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
2014, 19jcad 511 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
21 crngring 20189 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2311, 6unitmulcl 20323 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
24233expib 1119 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2522, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2620, 25impbid 211 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  βˆ₯rcdsr 20297  Unitcui 20298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27189  dvdsruasso  33138  unitpidl1  33188  mxidlirredi  33233
  Copyright terms: Public domain W3C validator