Theorem unitmulclb 20346

Description: Reversal of unitmulcl 20345 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
2		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		unitmulclb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
6		unitmulcl.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	4, 5, 6	dvdsrmul 20329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
9	4, 6	crngcom 20216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
10	8, 9	breqtrrd 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
11		unitmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
12	11, 5	dvdsunit 20344	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
13	12	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
14	1, 10, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
15	4, 5, 6	dvdsrmul 20329	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
16	3, 2, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
17	11, 5	dvdsunit 20344	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	17	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
19	1, 16, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
20	14, 19	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))
21		crngring 20210	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	11, 6	unitmulcl 20345	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
24	23	3expib 1122	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
26	20, 25	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  ∥_rcdsr 20319  Unitcui 20320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323

This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27206  dvdsruasso  33405  unitprodclb  33409  unitpidl1  33444  mxidlirredi  33491  1arithidom  33557  1arithufdlem3  33566