MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulclb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitmulclb 20283
Description: Reversal of unitmulcl 20282 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitmulclb.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 unitmulclb.1 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
6 unitmulcl.2 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
74, 5, 6dvdsrmul 20266 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
82, 3, 7syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
94, 6crngcom 20156 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (π‘Œ Β· 𝑋))
108, 9breqtrrd 5169 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
11 unitmulcl.1 . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
1211, 5dvdsunit 20281 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
13123expia 1118 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
141, 10, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
154, 5, 6dvdsrmul 20266 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
163, 2, 15syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
1711, 5dvdsunit 20281 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
18173expia 1118 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
191, 16, 18syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
2014, 19jcad 512 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
21 crngring 20150 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2311, 6unitmulcl 20282 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
24233expib 1119 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2522, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2620, 25impbid 211 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  βˆ₯rcdsr 20256  Unitcui 20257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260
This theorem is referenced by:  dchrelbas3  27126  dvdsruasso  32996  unitpidl1  33048  mxidlirredi  33093
  Copyright terms: Public domain W3C validator