MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrguss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrguss 19273
Description: A unit of a subring is a unit of the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrguss.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrguss.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrguss.3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrguss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)

Proof of Theorem subrguss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
2 subrguss.3 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Unit‘𝑆)
3 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (∥r𝑆) = (∥r𝑆)
5 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (oppr𝑆) = (oppr𝑆)
6 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (∥r‘(oppr𝑆)) = (∥r‘(oppr𝑆))
72, 3, 4, 5, 6isunit 19130 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 ↔ (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑆))(1r𝑆)))
81, 7sylib 210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑆))(1r𝑆)))
98simpld 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆))
10 subrguss.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
11 eqid 2778 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1210, 11subrg1 19268 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
1312adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
149, 13breqtrrd 4957 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑆)(1r𝑅))
15 eqid 2778 . . . . . . . 8 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
1610, 15, 4subrgdvds 19272 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∥r𝑆) ⊆ (∥r𝑅))
1716adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (∥r𝑆) ⊆ (∥r𝑅))
1817ssbrd 4972 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑅) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅)))
1914, 18mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
2010subrgbas 19267 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
2120adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
22 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2322subrgss 19259 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2423adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2521, 24eqsstr3d 3896 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
26 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2726, 2unitcl 19132 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
2827adantl 474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
2925, 28sseldd 3859 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3010subrgring 19261 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
31 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (invr𝑆) = (invr𝑆)
322, 31, 26ringinvcl 19149 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
3330, 32sylan 572 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
3425, 33sseldd 3859 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2778 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3635, 22opprbas 19102 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
37 eqid 2778 . . . . . . 7 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
38 eqid 2778 . . . . . . 7 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3936, 37, 38dvdsrmul 19121 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
4029, 34, 39syl2anc 576 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
41 eqid 2778 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4222, 41, 35, 38opprmul 19099 . . . . . 6 (((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥))
43 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
442, 31, 43, 3unitrinv 19151 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑆))
4530, 44sylan 572 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑆))
4610, 41ressmulr 16481 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
4746adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
4847oveqd 6993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥)) = (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)))
4945, 48, 133eqtr4d 2824 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑅))
5042, 49syl5eq 2826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
5140, 50breqtrd 4955 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
52 subrguss.2 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5352, 11, 15, 35, 37isunit 19130 . . . 4 (𝑥𝑈 ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
5419, 51, 53sylanbrc 575 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑈)
5554ex 405 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝑉𝑥𝑈))
5655ssrdv 3864 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3829   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  s cress 16340  .rcmulr 16422  1rcur 18974  Ringcrg 19020  opprcoppr 19095  rcdsr 19111  Unitcui 19112  invrcinvr 19144  SubRingcsubrg 19254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-subg 18060  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-subrg 19256
This theorem is referenced by:  subrginv  19274  subrgdv  19275  subrgunit  19276  subrgugrp  19277  issubdrg  19283  zringunit  20337
  Copyright terms: Public domain W3C validator