MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrguss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrguss 20515
Description: A unit of a subring is a unit of the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrguss.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrguss.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrguss.3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrguss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)

Proof of Theorem subrguss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
2 subrguss.3 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Unit‘𝑆)
3 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (∥r𝑆) = (∥r𝑆)
5 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (oppr𝑆) = (oppr𝑆)
6 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (∥r‘(oppr𝑆)) = (∥r‘(oppr𝑆))
72, 3, 4, 5, 6isunit 20301 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 ↔ (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑆))(1r𝑆)))
81, 7sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑆))(1r𝑆)))
98simpld 494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑆)(1r𝑆))
10 subrguss.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
11 eqid 2727 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1210, 11subrg1 20510 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
149, 13breqtrrd 5170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑆)(1r𝑅))
15 eqid 2727 . . . . . . . 8 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
1610, 15, 4subrgdvds 20514 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∥r𝑆) ⊆ (∥r𝑅))
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (∥r𝑆) ⊆ (∥r𝑅))
1817ssbrd 5185 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(∥r𝑆)(1r𝑅) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅)))
1914, 18mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
2010subrgbas 20509 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
22 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2322subrgss 20500 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2521, 24eqsstrrd 4017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
26 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2726, 2unitcl 20303 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
2925, 28sseldd 3979 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3010subrgring 20502 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
31 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (invr𝑆) = (invr𝑆)
322, 31, 26ringinvcl 20320 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
3330, 32sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
3425, 33sseldd 3979 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2727 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
3635, 22opprbas 20269 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
37 eqid 2727 . . . . . . 7 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
38 eqid 2727 . . . . . . 7 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3936, 37, 38dvdsrmul 20292 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
4029, 34, 39syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
41 eqid 2727 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4222, 41, 35, 38opprmul 20265 . . . . . 6 (((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥))
43 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
442, 31, 43, 3unitrinv 20322 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑆))
4530, 44sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑆))
4610, 41ressmulr 17279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
4847oveqd 7431 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥)) = (𝑥(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑥)))
4945, 48, 133eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑥)) = (1r𝑅))
5042, 49eqtrid 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (((invr𝑆)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
5140, 50breqtrd 5168 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
52 subrguss.2 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5352, 11, 15, 35, 37isunit 20301 . . . 4 (𝑥𝑈 ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
5419, 51, 53sylanbrc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑈)
5554ex 412 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝑉𝑥𝑈))
5655ssrdv 3984 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3944   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  s cress 17200  .rcmulr 17225  1rcur 20112  Ringcrg 20164  opprcoppr 20261  rcdsr 20282  Unitcui 20283  invrcinvr 20315  SubRingcsubrg 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrg 20497
This theorem is referenced by:  subrginv  20516  subrgdv  20517  subrgunit  20518  subrgugrp  20519  issubdrg  20657  zringunit  21379
  Copyright terms: Public domain W3C validator