Theorem dvdsrtr 19670

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 19664	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑍 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍))
5	1, 2, 3	dvdsr 19664	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∥ 𝑋 ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
6	4, 5	anbi12i 630	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
7		an4 656	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
8	6, 7	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9		reeanv 3279	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
10		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	1, 3	ringcl 19579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3	dvdsrmul 19666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
17	10, 15, 16	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
18	1, 3	ringass 19582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
19	11, 12, 13, 10, 18	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
20	17, 19	breqtrd 5079	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
21		oveq2 7221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑍))
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
23	21, 22	sylan9eq 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
24	23	breq2d 5065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 ∥ 𝑋))
25	20, 24	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
26	25	rexlimdvva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
27	9, 26	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
28	27	expimpd 457	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 ∥ 𝑋))
29	8, 28	syl5bi 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
30	29	3impib 1118	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  Ringcrg 19562  ∥_rcdsr 19656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-dvdsr 19659

This theorem is referenced by:  dvdsunit  19681  unitmulcl  19682  unitnegcl  19699