Theorem dvdsrtr 20259

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20253	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑍 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍))
5	1, 2, 3	dvdsr 20253	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∥ 𝑋 ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
6	4, 5	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
7		an4 654	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
8	6, 7	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9		reeanv 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
10		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	1, 3	ringcl 20144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3	dvdsrmul 20255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
17	10, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
18	1, 3	ringass 20147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
19	11, 12, 13, 10, 18	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
20	17, 19	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
21		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑍))
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
23	21, 22	sylan9eq 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
24	23	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 ∥ 𝑋))
25	20, 24	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
26	25	rexlimdvva 3211	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
27	9, 26	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
28	27	expimpd 454	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 ∥ 𝑋))
29	8, 28	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
30	29	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  ._rcmulr 17202  Ringcrg 20127  ∥_rcdsr 20245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-dvdsr 20248

This theorem is referenced by:  dvdsunit  20270  unitmulcl  20271  unitnegcl  20288