Theorem dvdsrtr 20598

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20592	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑍 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍))
5	1, 2, 3	dvdsr 20592	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∥ 𝑋 ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
6	4, 5	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
7		an4 669	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
8	6, 7	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9		reeanv 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
10		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	1, 3	ringcl 20477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3	dvdsrmul 20594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
17	10, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
18	1, 3	ringass 20480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
19	11, 12, 13, 10, 18	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
20	17, 19	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
21		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑍))
22		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
23	21, 22	sylan9eq 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
24	23	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 ∥ 𝑋))
25	20, 24	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
26	25	rexlimdvva 3220	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
27	9, 26	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
28	27	expimpd 459	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 ∥ 𝑋))
29	8, 28	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
30	29	3impib 1134	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Ringcrg 20459  ∥_rcdsr 20584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mgp 20361  df-ring 20461  df-dvdsr 20587

This theorem is used by:  dvdsunit  20609  unitmulcl  20610  unitnegcl  20627  rprmndvdsru  34061