Theorem dvdsrtr 20095

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20089	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑍 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍))
5	1, 2, 3	dvdsr 20089	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∥ 𝑋 ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
6	4, 5	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
7		an4 654	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
8	6, 7	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)))
9		reeanv 3215	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋))
10		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	1, 3	ringcl 19995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3	dvdsrmul 20091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
17	10, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌))
18	1, 3	ringass 19998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
19	11, 12, 13, 10, 18	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
20	17, 19	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)))
21		oveq2 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑍))
22		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
23	21, 22	sylan9eq 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
24	23	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → (𝑌 ∥ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑌)) ↔ 𝑌 ∥ 𝑋))
25	20, 24	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
26	25	rexlimdvva 3201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
27	9, 26	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
28	27	expimpd 454	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)) → 𝑌 ∥ 𝑋))
29	8, 28	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋))
30	29	3impib 1116	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑍 ∧ 𝑍 ∥ 𝑋) → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  ._rcmulr 17148  Ringcrg 19978  ∥_rcdsr 20081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mgp 19911  df-ring 19980  df-dvdsr 20084

This theorem is referenced by:  dvdsunit  20106  unitmulcl  20107  unitnegcl  20124