MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrng2 20232
Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdrng2.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdrng2.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
isdrng2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . 3 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3 isdrng2.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdrng 20223 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })))
5 oveq2 7369 . . . . . . 7 ((Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 })))
65adantl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 })))
7 isdrng2.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
86, 7eqtr4di 2791 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = 𝐺)
9 eqid 2733 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
102, 9unitgrp 20104 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) ∈ Grp)
1110adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) ∈ Grp)
128, 11eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
131, 2unitcl 20096 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
15 difss 4095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
1716, 1mgpbas 19910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
187, 17ressbas2 17128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜πΊ))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜πΊ)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
2119, 20grpidcl 18786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
23 eldifsn 4751 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 ))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 ))
2524simprd 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 )
26 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2722eldifad 3926 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
311, 2, 29, 30dvrcan1 20128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
3226, 27, 28, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
331, 2, 29dvrcl 20123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡)
3426, 27, 28, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡)
351, 30, 3ringrz 20020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
3626, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
3725, 32, 363netr4d 3018 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) β‰  (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
38 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
3938necon3i 2973 . . . . . . . . 9 ((((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) β‰  (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) β†’ π‘₯ β‰  0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ β‰  0 )
41 eldifsn 4751 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
4214, 40, 41sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
4342ex 414 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4443ssrdv 3954 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– { 0 }))
45 eldifi 4090 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
4819, 47grpinvcl 18806 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
4948adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
5049eldifad 3926 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
51 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
521, 51, 30dvdsrmul 20085 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
5346, 50, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
541fvexi 6860 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
55 difexg 5288 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
5616, 30mgpplusg 19908 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
577, 56ressplusg 17179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
5854, 55, 57mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ)
5919, 58, 20, 47grplinv 18808 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
6059adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
621, 61ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
631, 30, 61ringlidm 20000 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6462, 63mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6564adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
672, 611unit 20095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6944, 68sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
7019, 58, 20grpid 18794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…)))
7166, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…))
7372adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…))
7460, 73eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
7553, 74breqtrd 5135 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
76 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
7776, 1opprbas 20064 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
78 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
79 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
8077, 78, 79dvdsrmul 20085 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
8146, 50, 80syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
821, 30, 76, 79opprmul 20060 . . . . . . . 8 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
8319, 58, 20, 47grprinv 18809 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜πΊ))
8483adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜πΊ))
8584, 73eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
8682, 85eqtrid 2785 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
8781, 86breqtrd 5135 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
882, 61, 51, 76, 78isunit 20094 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
8975, 87, 88sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9044, 89eqelssd 3969 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }))
9112, 90impbida 800 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
9291pm5.32i 576 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
934, 92bitri 275 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  opprcoppr 20056  βˆ₯rcdsr 20075  Unitcui 20076  /rcdvr 20119  DivRingcdr 20219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221
This theorem is referenced by:  drngmgp  20234  isdrngd  20249  isdrngdOLD  20251  subdrgint  20313
  Copyright terms: Public domain W3C validator