MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isdrng2 20514
Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdrng2.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdrng2.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
isdrng2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3 isdrng2.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdrng 20504 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })))
5 oveq2 7419 . . . . . . 7 ((Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 })))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 })))
7 isdrng2.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
86, 7eqtr4di 2790 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = 𝐺)
9 eqid 2732 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
102, 9unitgrp 20274 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) ∈ Grp)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) ∈ Grp)
128, 11eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
131, 2unitcl 20266 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
15 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
1716, 1mgpbas 20034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
187, 17ressbas2 17186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜πΊ))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜πΊ)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
2119, 20grpidcl 18886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
23 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 ))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 ))
2524simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) β‰  0 )
26 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2722eldifad 3960 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
311, 2, 29, 30dvrcan1 20300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
3226, 27, 28, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
331, 2, 29dvrcl 20295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡)
3426, 27, 28, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡)
351, 30, 3ringrz 20182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
3626, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
3725, 32, 363netr4d 3018 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) β‰  (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
38 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
3938necon3i 2973 . . . . . . . . 9 ((((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) β‰  (((0gβ€˜πΊ)(/rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 0 ) β†’ π‘₯ β‰  0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ β‰  0 )
41 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
4214, 40, 41sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
4342ex 413 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4443ssrdv 3988 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– { 0 }))
45 eldifi 4126 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
47 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
4819, 47grpinvcl 18908 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
4948adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
5049eldifad 3960 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
51 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
521, 51, 30dvdsrmul 20255 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
5346, 50, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
541fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
55 difexg 5327 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
5616, 30mgpplusg 20032 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
577, 56ressplusg 17239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
5854, 55, 57mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ)
5919, 58, 20, 47grplinv 18910 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
6059adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (0gβ€˜πΊ))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
621, 61ringidcl 20154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
631, 30, 61ringlidm 20157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6462, 63mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
6564adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
672, 611unit 20265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6944, 68sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
7019, 58, 20grpid 18896 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…)))
7166, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…))
7372adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (1rβ€˜π‘…))
7460, 73eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
7553, 74breqtrd 5174 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
76 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
7776, 1opprbas 20232 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
78 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
79 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
8077, 78, 79dvdsrmul 20255 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
8146, 50, 80syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
821, 30, 76, 79opprmul 20228 . . . . . . . 8 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
8319, 58, 20, 47grprinv 18911 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜πΊ))
8483adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜πΊ))
8584, 73eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘…))
8682, 85eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
8781, 86breqtrd 5174 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
882, 61, 51, 76, 78isunit 20264 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
8975, 87, 88sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9044, 89eqelssd 4003 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }))
9112, 90impbida 799 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
9291pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
934, 92bitri 274 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  opprcoppr 20224  βˆ₯rcdsr 20245  Unitcui 20246  /rcdvr 20291  DivRingcdr 20500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502
This theorem is referenced by:  drngmgp  20516  isdrngd  20533  isdrngdOLD  20535  subdrgint  20562
  Copyright terms: Public domain W3C validator