MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrng2 19487
Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng2.z 0 = (0g𝑅)
isdrng2.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
isdrng2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2821 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 isdrng2.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 19481 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
5 oveq2 7138 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
7 isdrng2.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
86, 7syl6eqr 2874 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
9 eqid 2821 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
102, 9unitgrp 19395 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
128, 11eqeltrrd 2913 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
131, 2unitcl 19387 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥𝐵)
1413adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥𝐵)
15 difss 4084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
16 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1716, 1mgpbas 19223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
187, 17ressbas2 16533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺)
20 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2119, 20grpidcl 18109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23 eldifsn 4692 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2422, 23sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2524simprd 499 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ≠ 0 )
26 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2722eldifad 3922 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
28 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
29 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑅) = (/r𝑅)
30 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
311, 2, 29, 30dvrcan1 19419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
3226, 27, 28, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
331, 2, 29dvrcl 19414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
3426, 27, 28, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
351, 30, 3ringrz 19316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3626, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3725, 32, 363netr4d 3084 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
38 oveq2 7138 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
3938necon3i 3039 . . . . . . . . 9 ((((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) → 𝑥0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥0 )
41 eldifsn 4692 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
4214, 40, 41sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4342ex 416 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4443ssrdv 3949 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
45 eldifi 4079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
4645adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
47 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4819, 47grpinvcl 18129 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4948adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5049eldifad 3922 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
521, 51, 30dvdsrmul 19376 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
5346, 50, 52syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
541fvexi 6657 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
55 difexg 5204 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
5616, 30mgpplusg 19221 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
577, 56ressplusg 16590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
5854, 55, 57mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g𝐺)
5919, 58, 20, 47grplinv 18130 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
6059adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
61 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑅) = (1r𝑅)
621, 61ringidcl 19296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
631, 30, 61ringlidm 19299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6462, 63mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6564adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
66 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
672, 611unit 19386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
6867adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
6944, 68sseldd 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7019, 58, 20grpid 18117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7166, 69, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7265, 71mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7372adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7460, 73eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
7553, 74breqtrd 5065 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
76 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
7776, 1opprbas 19357 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
78 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
79 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
8077, 78, 79dvdsrmul 19376 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
8146, 50, 80syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
821, 30, 76, 79opprmul 19354 . . . . . . . 8 (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥))
8319, 58, 20, 47grprinv 18131 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8483adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8584, 73eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (1r𝑅))
8682, 85syl5eq 2868 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
8781, 86breqtrd 5065 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
882, 61, 51, 76, 78isunit 19385 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
8975, 87, 88sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
9044, 89eqelssd 3964 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
9112, 90impbida 800 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
9291pm5.32i 578 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
934, 92bitri 278 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  Vcvv 3471  cdif 3907  wss 3910  {csn 4540   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  s cress 16462  +gcplusg 16543  .rcmulr 16544  0gc0g 16691  Grpcgrp 18081  invgcminusg 18082  mulGrpcmgp 19217  1rcur 19229  Ringcrg 19275  opprcoppr 19350  rcdsr 19366  Unitcui 19367  /rcdvr 19410  DivRingcdr 19477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-drng 19479
This theorem is referenced by:  drngmgp  19489  isdrngd  19502  subdrgint  19557
  Copyright terms: Public domain W3C validator