MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrng2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrng2 20280
Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng2.z 0 = (0g𝑅)
isdrng2.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
isdrng2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Proof of Theorem isdrng2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2732 . . 3 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 isdrng2.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 20271 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
5 oveq2 7402 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
7 isdrng2.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
86, 7eqtr4di 2790 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
9 eqid 2732 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
102, 9unitgrp 20151 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
128, 11eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
131, 2unitcl 20143 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥𝐵)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥𝐵)
15 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1716, 1mgpbas 19954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
187, 17ressbas2 17166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2119, 20grpidcl 18827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23 eldifsn 4784 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝐺) ≠ 0 ))
2524simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ≠ 0 )
26 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2722eldifad 3957 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑅) = (/r𝑅)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
311, 2, 29, 30dvrcan1 20175 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
3226, 27, 28, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
331, 2, 29dvrcl 20170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
3426, 27, 28, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
351, 30, 3ringrz 20067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥) ∈ 𝐵) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3626, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3725, 32, 363netr4d 3018 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
38 oveq2 7402 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ))
3938necon3i 2973 . . . . . . . . 9 ((((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑥) ≠ (((0g𝐺)(/r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 0 ) → 𝑥0 )
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥0 )
41 eldifsn 4784 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
4214, 40, 41sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4342ex 413 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4443ssrdv 3985 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
45 eldifi 4123 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
47 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4819, 47grpinvcl 18849 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
4948adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5049eldifad 3957 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
521, 51, 30dvdsrmul 20132 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
5346, 50, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥))
541fvexi 6893 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
55 difexg 5321 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
5616, 30mgpplusg 19952 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
577, 56ressplusg 17219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
5854, 55, 57mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g𝐺)
5919, 58, 20, 47grplinv 18851 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
6059adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝐺))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑅) = (1r𝑅)
621, 61ringidcl 20042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
631, 30, 61ringlidm 20045 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6462, 63mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6564adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
672, 611unit 20142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
6944, 68sseldd 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7019, 58, 20grpid 18837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7166, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅) ↔ (0g𝐺) = (1r𝑅)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7372adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (0g𝐺) = (1r𝑅))
7460, 73eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
7553, 74breqtrd 5168 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
76 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
7776, 1opprbas 20111 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
78 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
79 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
8077, 78, 79dvdsrmul 20132 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
8146, 50, 80syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
821, 30, 76, 79opprmul 20107 . . . . . . . 8 (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥))
8319, 58, 20, 47grprinv 18852 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8483adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (0g𝐺))
8584, 73eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)((invg𝐺)‘𝑥)) = (1r𝑅))
8682, 85eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
8781, 86breqtrd 5168 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
882, 61, 51, 76, 78isunit 20141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
8975, 87, 88sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
9044, 89eqelssd 4000 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
9112, 90impbida 799 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
9291pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
934, 92bitri 274 1 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  cdif 3942  wss 3945  {csn 4623   class class class wbr 5142  cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  s cress 17157  +gcplusg 17181  .rcmulr 17182  0gc0g 17369  Grpcgrp 18796  invgcminusg 18797  mulGrpcmgp 19948  1rcur 19965  Ringcrg 20016  opprcoppr 20103  rcdsr 20122  Unitcui 20123  /rcdvr 20166  DivRingcdr 20267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-dvr 20167  df-drng 20269
This theorem is referenced by:  drngmgp  20282  isdrngd  20299  isdrngdOLD  20301  subdrgint  20370
  Copyright terms: Public domain W3C validator