Theorem isdrng2 20760

Description: A division ring can equivalently be defined as a ring such that the nonzero elements form a group under multiplication (from which it follows that this is the same group as the group of units). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng2.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
isdrng2	⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Proof of Theorem isdrng2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		isdrng2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20750	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })))
5		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
7		isdrng2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
8	6, 7	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = 𝐺)
9		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
10	2, 9	unitgrp 20400	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
12	8, 11	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
13	1, 2	unitcl 20392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		difss 4146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17	16, 1	mgpbas 20158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 17	ressbas2 17283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺))
19	15, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝐺)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	19, 20	grpidcl 18996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g‘𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
23		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ≠ 0 ))
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ≠ 0 ))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g‘𝐺) ≠ 0 )
26		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27	22	eldifad 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
30		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
31	1, 2, 29, 30	dvrcan1 20426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝐺))
32	26, 27, 28, 31	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝐺))
33	1, 2, 29	dvrcl 20421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
34	26, 27, 28, 33	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐵)
35	1, 30, 3	ringrz 20308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐵) → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
36	26, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	25, 32, 36	3netr4d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 0 ))
38		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 0 ))
39	38	necon3i 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ (((0g‘𝐺)(/r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ≠ 0 )
41		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
42	14, 40, 41	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
43	42	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
44	43	ssrdv 4001	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
45		eldifi 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
47		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
48	19, 47	grpinvcl 19018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
49	48	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
50	49	eldifad 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
51		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
52	1, 51, 30	dvdsrmul 20381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r‘𝑅)(((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥))
53	46, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘𝑅)(((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥))
54	1	fvexi 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
55		difexg 5335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
56	16, 30	mgpplusg 20156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
57	7, 56	ressplusg 17336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
58	54, 55, 57	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
59	19, 58, 20, 47	grplinv 19020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝐺))
60	59	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝐺))
61		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
62	1, 61	ringidcl 20280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
63	1, 30, 61	ringlidm 20283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
64	62, 63	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
67	2, 61	1unit 20391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
69	44, 68	sseldd 3996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
70	19, 58, 20	grpid 19006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)))
71	66, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅) ↔ (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅)))
72	65, 71	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
73	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
74	60, 73	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
75	53, 74	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
76		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
77	76, 1	opprbas 20358	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
78		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
79		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
80	77, 78, 79	dvdsrmul 20381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
81	46, 50, 80	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
82	1, 30, 76, 79	opprmul 20354	. . . . . . . 8 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝐺)‘𝑥))
83	19, 58, 20, 47	grprinv 19021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (0g‘𝐺))
84	83	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (0g‘𝐺))
85	84, 73	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
86	82, 85	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))
87	81, 86	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
88	2, 61, 51, 76, 78	isunit 20390	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
89	75, 87, 88	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
90	44, 89	eqelssd 4017	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }))
91	12, 90	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝐺 ∈ Grp))
92	91	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))
93	4, 92	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ Grp))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  opp_rcoppr 20350  ∥_rcdsr 20371  Unitcui 20372  /_rcdvr 20417  DivRingcdr 20746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748

This theorem is referenced by:  drngmgp  20762  isdrngd  20782  isdrngdOLD  20784  subdrgint  20821