Theorem dvdsrneg 20162

Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrneg.5	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrneg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem dvdsrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ringgrp 20043	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		dvdsr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20064	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		dvdsrneg.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
7	3, 6	grpinvcl 18859	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	2, 5, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 9, 10	dvdsrmul 20156	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋))
12	1, 8, 11	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋))
13		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	3, 10, 4, 6, 13, 14	ringnegl 20095	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
16	12, 15	breqtrd 5170	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  ._rcmulr 17185  Grpcgrp 18806  inv_gcminusg 18807  1_rcur 19987  Ringcrg 20038  ∥_rcdsr 20146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-dvdsr 20149

This theorem is referenced by:  unitnegcl  20189