Theorem dvdsrneg 20514

Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrneg.5	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrneg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem dvdsrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ringgrp 20380	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		dvdsr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5	3, 4	ringidcl 20409	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		dvdsrneg.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
7	3, 6	grpinvcl 19114	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	2, 5, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	3, 9, 10	dvdsrmul 20508	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋))
12	1, 8, 11	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋))
13		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	3, 10, 4, 6, 13, 14	ringnegl 20447	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
16	12, 15	breqtrd 5131	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  Grpcgrp 19060  inv_gcminusg 19061  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  ∥_rcdsr 20498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-dvdsr 20501

This theorem is used by:  unitnegcl  20541