Theorem dvdsrid 20135

Description: An element in a (unital) ring divides itself. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem dvdsrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		dvdsr.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20042	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 5, 6	dvdsrmul 20132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
8	1, 4, 7	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
9	2, 6, 3	ringlidm 20045	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
10	8, 9	breqtrd 5168	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5142  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  ._rcmulr 17182  1_rcur 19965  Ringcrg 20016  ∥_rcdsr 20122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-plusg 17194  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-dvdsr 20125

This theorem is referenced by:  1unit  20142