MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul1 19397
Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
dvdsrmul1.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑋 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem dvdsrmul1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr.2 . . . 4 = (∥r𝑅)
3 dvdsrmul1.3 . . . 4 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 19390 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌))
5 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑋𝐵)
7 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑍𝐵)
81, 3ringcl 19305 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
95, 6, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
101, 2, 3dvdsrmul 19392 . . . . . . . 8 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑍) (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
119, 10sylancom 591 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑍) (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
12 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
131, 3ringass 19308 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑋𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
145, 12, 6, 7, 13syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
1511, 14breqtrrd 5070 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍))
16 oveq1 7147 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
1716breq2d 5054 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑍) ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) ↔ (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
1815, 17syl5ibcom 248 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
1918rexlimdva 3270 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
2019expimpd 457 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
214, 20syl5bi 245 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
22213impia 1114 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑋 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  Ringcrg 19288  rcdsr 19382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mgp 19231  df-ring 19290  df-dvdsr 19385
This theorem is referenced by:  unitmulcl  19408
  Copyright terms: Public domain W3C validator