MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul1 20083
Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsrmul1.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘))

Proof of Theorem dvdsrmul1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 dvdsr.2 . . . 4 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
3 dvdsrmul1.3 . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3dvdsr 20076 . . 3 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
5 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
81, 3ringcl 19982 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
95, 6, 7, 8syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
101, 2, 3dvdsrmul 20078 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
119, 10sylancom 589 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
12 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
131, 3ringass 19985 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
145, 12, 6, 7, 13syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
1511, 14breqtrrd 5134 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘))
16 oveq1 7365 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘Œ ยท ๐‘))
1716breq2d 5118 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
1815, 17syl5ibcom 244 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
1918rexlimdva 3153 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
2019expimpd 455 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
214, 20biimtrid 241 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
22213impia 1118 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  Ringcrg 19965  โˆฅrcdsr 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mgp 19898  df-ring 19967  df-dvdsr 20071
This theorem is referenced by:  unitmulcl  20094
  Copyright terms: Public domain W3C validator