Theorem dvdsrmul1 20307

Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrmul1.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmul1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem dvdsrmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsrmul1.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20300	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌))
5		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 3	ringcl 20189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3	dvdsrmul 20302	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
11	9, 10	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3	ringass 20192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
14	5, 12, 6, 7, 13	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
15	11, 14	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍))
16		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
17	16	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) ↔ (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
18	15, 17	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
19	18	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
20	19	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
21	4, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
22	21	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  Ringcrg 20172  ∥_rcdsr 20292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mgp 20080  df-ring 20174  df-dvdsr 20295

This theorem is referenced by:  unitmulcl  20318