Theorem dvdsrmul1 20629

Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrmul1.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmul1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem dvdsrmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsrmul1.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20622	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌))
5		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 3	ringcl 20507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3	dvdsrmul 20624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
11	9, 10	sylancom 600	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3	ringass 20510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
14	5, 12, 6, 7, 13	syl13anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
15	11, 14	breqtrrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍))
16		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
17	16	breq2d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) ↔ (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
18	15, 17	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
19	18	rexlimdva 3167	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
20	19	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
21	4, 20	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
22	21	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Ringcrg 20489  ∥_rcdsr 20614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mgp 20391  df-ring 20491  df-dvdsr 20617

This theorem is used by:  unitmulcl  20640