MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem invrvald 22522
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
invrvald.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
invrvald.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
invrvald.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
invrvald.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
invrvald.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
invrvald.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
invrvald.xy (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 1 )
invrvald.yx (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ))
Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 invrvald.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2724 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
5 invrvald.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
63, 4, 5dvdsrmul 20262 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 5165 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 )
10 eqid 2724 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
1110, 3opprbas 20239 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
12 eqid 2724 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
13 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
1411, 12, 13dvdsrmul 20262 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 20235 . . . . 5 (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ)
17 invrvald.xy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 1 )
1816, 17eqtrid 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 5165 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 20271 . . 3 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
24 invrvald.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2724 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
2620, 25, 21unitgrpid 20283 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2817, 27eqtrd 2764 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2920, 25unitgrp 20281 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 20262 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
322, 1, 31syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
3332, 17breqtrd 5165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 20262 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ))
352, 1, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ))
363, 5, 10, 13opprmul 20235 . . . . . . 7 (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ) = (π‘Œ Β· 𝑋)
3736, 8eqtrid 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ) = 1 )
3835, 37breqtrd 5165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 20271 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4120, 25unitgrpbas 20280 . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
4220fvexi 6896 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ V
43 eqid 2724 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4443, 5mgpplusg 20039 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4525, 44ressplusg 17240 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4642, 45ax-mp 5 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
47 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
48 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
4920, 25, 48invrfval 20287 . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
5041, 46, 47, 49grpinvid1 18917 . . . 4 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
5130, 23, 40, 50syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
5228, 51mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ)
5323, 52jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  mulGrpcmgp 20035  1rcur 20082  Ringcrg 20134  opprcoppr 20231  βˆ₯rcdsr 20252  Unitcui 20253  invrcinvr 20285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286
This theorem is referenced by:  matinv  22523  matunit  22524  extdg1id  33249
  Copyright terms: Public domain W3C validator