Theorem invrvald 23046

Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrvald.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
invrvald.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
invrvald.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invrvald.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
invrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrvald.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		invrvald.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		invrvald.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5		invrvald.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	dvdsrmul 20645	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8		invrvald.yx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
9	7, 8	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅) 1 )
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 3	opprbas 20624	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 12, 13	dvdsrmul 20645	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
15	1, 2, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
16	3, 5, 10, 13	opprmul 20621	. . . . 5 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17		invrvald.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
18	16, 17	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 )
19	15, 18	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
20		invrvald.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21		invrvald.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20654	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
23	9, 19, 22	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
24		invrvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
26	20, 25, 21	unitgrpid 20666	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
27	24, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
28	17, 27	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
29	20, 25	unitgrp 20664	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	24, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	3, 4, 5	dvdsrmul 20645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
32	2, 1, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
33	32, 17	breqtrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅) 1 )
34	11, 12, 13	dvdsrmul 20645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
35	2, 1, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
36	3, 5, 10, 13	opprmul 20621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
37	36, 8	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = 1 )
38	35, 37	breqtrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
39	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20654	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
40	33, 38, 39	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
41	20, 25	unitgrpbas 20663	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42	20	fvexi 6930	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
44	43, 5	mgpplusg 20415	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
45	25, 44	ressplusg 17508	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48		invrvald.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
49	20, 25, 48	invrfval 20670	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
50	41, 46, 47, 49	grpinvid1 19252	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
51	30, 23, 40, 50	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
52	28, 51	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = 𝑌)
53	23, 52	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  opp_rcoppr 20617  ∥_rcdsr 20635  Unitcui 20636  inv_rcinvr 20668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669

This theorem is used by:  matinv  23047  matunit  23048  extdg1id  34409