MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrvald 22411
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t · = (.r𝑅)
invrvald.o 1 = (1r𝑅)
invrvald.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i 𝐼 = (invr𝑅)
invrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
invrvald.y (𝜑𝑌𝐵)
invrvald.xy (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2 invrvald.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
5 invrvald.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
63, 4, 5dvdsrmul 20259 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 5174 . . 3 (𝜑𝑋(∥r𝑅) 1 )
10 eqid 2731 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 3opprbas 20236 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
12 eqid 2731 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
13 eqid 2731 . . . . . 6 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
1411, 12, 13dvdsrmul 20259 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 20232 . . . . 5 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17 invrvald.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
1816, 17eqtrid 2783 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 5174 . . 3 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 20268 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 582 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
24 invrvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2731 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
2620, 25, 21unitgrpid 20280 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2817, 27eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2920, 25unitgrp 20278 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 20259 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
322, 1, 31syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
3332, 17breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r𝑅) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 20259 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
352, 1, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
363, 5, 10, 13opprmul 20232 . . . . . . 7 (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
3736, 8eqtrid 2783 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = 1 )
3835, 37breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 20268 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅) 1𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 582 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4120, 25unitgrpbas 20277 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4220fvexi 6905 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
43 eqid 2731 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4443, 5mgpplusg 20036 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4525, 44ressplusg 17242 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4642, 45ax-mp 5 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47 eqid 2731 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
4920, 25, 48invrfval 20284 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5041, 46, 47, 49grpinvid1 18916 . . . 4 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5130, 23, 40, 50syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5228, 51mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = 𝑌)
5323, 52jca 511 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  s cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18858  mulGrpcmgp 20032  1rcur 20079  Ringcrg 20131  opprcoppr 20228  rcdsr 20249  Unitcui 20250  invrcinvr 20282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283
This theorem is referenced by:  matinv  22412  matunit  22413  extdg1id  33045
  Copyright terms: Public domain W3C validator