MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrvald 21288
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t · = (.r𝑅)
invrvald.o 1 = (1r𝑅)
invrvald.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i 𝐼 = (invr𝑅)
invrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
invrvald.y (𝜑𝑌𝐵)
invrvald.xy (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2 invrvald.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
5 invrvald.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
63, 4, 5dvdsrmul 19404 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 5079 . . 3 (𝜑𝑋(∥r𝑅) 1 )
10 eqid 2824 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 3opprbas 19385 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
12 eqid 2824 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
13 eqid 2824 . . . . . 6 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
1411, 12, 13dvdsrmul 19404 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 19382 . . . . 5 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17 invrvald.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
1816, 17syl5eq 2871 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 5079 . . 3 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 19413 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
24 invrvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2824 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
2620, 25, 21unitgrpid 19425 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2817, 27eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2920, 25unitgrp 19423 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 19404 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
322, 1, 31syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
3332, 17breqtrd 5079 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r𝑅) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 19404 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
352, 1, 34syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
363, 5, 10, 13opprmul 19382 . . . . . . 7 (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
3736, 8syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = 1 )
3835, 37breqtrd 5079 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 19413 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅) 1𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4120, 25unitgrpbas 19422 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4220fvexi 6676 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
43 eqid 2824 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4443, 5mgpplusg 19246 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4525, 44ressplusg 16615 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4642, 45ax-mp 5 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47 eqid 2824 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
4920, 25, 48invrfval 19429 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5041, 46, 47, 49grpinvid1 18157 . . . 4 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5130, 23, 40, 50syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5228, 51mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = 𝑌)
5323, 52jca 515 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3481   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  s cress 16487  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  0gc0g 16716  Grpcgrp 18106  mulGrpcmgp 19242  1rcur 19254  Ringcrg 19300  opprcoppr 19378  rcdsr 19394  Unitcui 19395  invrcinvr 19427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428
This theorem is referenced by:  matinv  21289  matunit  21290  extdg1id  31116
  Copyright terms: Public domain W3C validator