Theorem invrvald 22723

Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrvald.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
invrvald.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
invrvald.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invrvald.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
invrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrvald.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		invrvald.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		invrvald.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5		invrvald.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	dvdsrmul 20399	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8		invrvald.yx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
9	7, 8	breqtrd 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅) 1 )
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 3	opprbas 20378	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 12, 13	dvdsrmul 20399	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
15	1, 2, 14	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
16	3, 5, 10, 13	opprmul 20375	. . . . 5 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17		invrvald.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
18	16, 17	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 )
19	15, 18	breqtrd 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
20		invrvald.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21		invrvald.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20408	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
23	9, 19, 22	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
24		invrvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
26	20, 25, 21	unitgrpid 20420	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
27	24, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
28	17, 27	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
29	20, 25	unitgrp 20418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	24, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	3, 4, 5	dvdsrmul 20399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
32	2, 1, 31	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
33	32, 17	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅) 1 )
34	11, 12, 13	dvdsrmul 20399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
35	2, 1, 34	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
36	3, 5, 10, 13	opprmul 20375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
37	36, 8	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = 1 )
38	35, 37	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
39	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20408	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
40	33, 38, 39	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
41	20, 25	unitgrpbas 20417	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42	20	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
43		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
44	43, 5	mgpplusg 20180	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
45	25, 44	ressplusg 17310	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48		invrvald.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
49	20, 25, 48	invrfval 20424	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
50	41, 46, 47, 49	grpinvid1 19023	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
51	30, 23, 40, 50	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
52	28, 51	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = 𝑌)
53	23, 52	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18965  mulGrpcmgp 20176  1_rcur 20217  Ringcrg 20269  opp_rcoppr 20371  ∥_rcdsr 20389  Unitcui 20390  inv_rcinvr 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-invr 20423

This theorem is referenced by:  matinv  22724  matunit  22725  extdg1id  33923