MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrvald 20888
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t · = (.r𝑅)
invrvald.o 1 = (1r𝑅)
invrvald.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i 𝐼 = (invr𝑅)
invrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
invrvald.y (𝜑𝑌𝐵)
invrvald.xy (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2 invrvald.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2778 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
5 invrvald.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
63, 4, 5dvdsrmul 19035 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 4912 . . 3 (𝜑𝑋(∥r𝑅) 1 )
10 eqid 2778 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 3opprbas 19016 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
12 eqid 2778 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
13 eqid 2778 . . . . . 6 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
1411, 12, 13dvdsrmul 19035 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 19013 . . . . 5 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17 invrvald.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
1816, 17syl5eq 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 4912 . . 3 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 19044 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 578 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
24 invrvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2778 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
2620, 25, 21unitgrpid 19056 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2817, 27eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2920, 25unitgrp 19054 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 19035 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
322, 1, 31syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
3332, 17breqtrd 4912 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r𝑅) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 19035 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
352, 1, 34syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
363, 5, 10, 13opprmul 19013 . . . . . . 7 (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
3736, 8syl5eq 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = 1 )
3835, 37breqtrd 4912 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 19044 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅) 1𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 578 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4120, 25unitgrpbas 19053 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4220fvexi 6460 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
43 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4443, 5mgpplusg 18880 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4525, 44ressplusg 16385 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4642, 45ax-mp 5 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47 eqid 2778 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
4920, 25, 48invrfval 19060 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5041, 46, 47, 49grpinvid1 17857 . . . 4 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5130, 23, 40, 50syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5228, 51mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = 𝑌)
5323, 52jca 507 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  mulGrpcmgp 18876  1rcur 18888  Ringcrg 18934  opprcoppr 19009  rcdsr 19025  Unitcui 19026  invrcinvr 19058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059
This theorem is referenced by:  matinv  20889  matunit  20890
  Copyright terms: Public domain W3C validator