MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem invrvald 22577
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
invrvald.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
invrvald.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
invrvald.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
invrvald.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
invrvald.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
invrvald.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
invrvald.xy (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 1 )
invrvald.yx (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ))
Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 invrvald.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
5 invrvald.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
63, 4, 5dvdsrmul 20302 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 5174 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 )
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
1110, 3opprbas 20279 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
1411, 12, 13dvdsrmul 20302 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 20275 . . . . 5 (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ)
17 invrvald.xy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 1 )
1816, 17eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 5174 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 20311 . . 3 (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
24 invrvald.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2728 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
2620, 25, 21unitgrpid 20323 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2817, 27eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
2920, 25unitgrp 20321 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 20302 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
322, 1, 31syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
3332, 17breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 20302 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ))
352, 1, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ))
363, 5, 10, 13opprmul 20275 . . . . . . 7 (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ) = (π‘Œ Β· 𝑋)
3736, 8eqtrid 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Œ) = 1 )
3835, 37breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 20311 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…) 1 ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4120, 25unitgrpbas 20320 . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
4220fvexi 6911 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ V
43 eqid 2728 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
4443, 5mgpplusg 20077 . . . . . . 7 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4525, 44ressplusg 17270 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4642, 45ax-mp 5 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
47 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
48 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
4920, 25, 48invrfval 20327 . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
5041, 46, 47, 49grpinvid1 18947 . . . 4 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
5130, 23, 40, 50syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
5228, 51mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ)
5323, 52jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ (πΌβ€˜π‘‹) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889  mulGrpcmgp 20073  1rcur 20120  Ringcrg 20172  opprcoppr 20271  βˆ₯rcdsr 20292  Unitcui 20293  invrcinvr 20325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326
This theorem is referenced by:  matinv  22578  matunit  22579  extdg1id  33351
  Copyright terms: Public domain W3C validator