Theorem invrvald 22790

Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrvald.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
invrvald.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
invrvald.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invrvald.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
invrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrvald.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		invrvald.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		invrvald.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5		invrvald.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	dvdsrmul 20434	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8		invrvald.yx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
9	7, 8	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅) 1 )
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 3	opprbas 20413	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 12, 13	dvdsrmul 20434	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
15	1, 2, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
16	3, 5, 10, 13	opprmul 20410	. . . . 5 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17		invrvald.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
18	16, 17	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 )
19	15, 18	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
20		invrvald.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21		invrvald.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20443	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
23	9, 19, 22	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
24		invrvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
26	20, 25, 21	unitgrpid 20455	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
27	24, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
28	17, 27	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
29	20, 25	unitgrp 20453	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	24, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	3, 4, 5	dvdsrmul 20434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
32	2, 1, 31	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
33	32, 17	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅) 1 )
34	11, 12, 13	dvdsrmul 20434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
35	2, 1, 34	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
36	3, 5, 10, 13	opprmul 20410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
37	36, 8	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = 1 )
38	35, 37	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
39	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20443	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
40	33, 38, 39	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
41	20, 25	unitgrpbas 20452	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42	20	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
43		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
44	43, 5	mgpplusg 20208	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
45	25, 44	ressplusg 17332	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48		invrvald.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
49	20, 25, 48	invrfval 20459	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
50	41, 46, 47, 49	grpinvid1 19046	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
51	30, 23, 40, 50	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
52	28, 51	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = 𝑌)
53	23, 52	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17480  Grpcgrp 18988  mulGrpcmgp 20204  1_rcur 20251  Ringcrg 20303  opp_rcoppr 20406  ∥_rcdsr 20424  Unitcui 20425  inv_rcinvr 20457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458

This theorem is referenced by:  matinv  22791  matunit  22792  extdg1id  33968