Theorem invrvald 22997

Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrvald.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
invrvald.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
invrvald.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invrvald.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
invrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrvald.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		invrvald.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		invrvald.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5		invrvald.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	dvdsrmul 20600	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8		invrvald.yx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
9	7, 8	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅) 1 )
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 3	opprbas 20579	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 12, 13	dvdsrmul 20600	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
15	1, 2, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
16	3, 5, 10, 13	opprmul 20576	. . . . 5 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17		invrvald.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
18	16, 17	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 )
19	15, 18	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
20		invrvald.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21		invrvald.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20609	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
23	9, 19, 22	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
24		invrvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
26	20, 25, 21	unitgrpid 20621	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
27	24, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
28	17, 27	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
29	20, 25	unitgrp 20619	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	24, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	3, 4, 5	dvdsrmul 20600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
32	2, 1, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
33	32, 17	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅) 1 )
34	11, 12, 13	dvdsrmul 20600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
35	2, 1, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
36	3, 5, 10, 13	opprmul 20576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
37	36, 8	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = 1 )
38	35, 37	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
39	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20609	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
40	33, 38, 39	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
41	20, 25	unitgrpbas 20618	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42	20	fvexi 6900	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
43		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
44	43, 5	mgpplusg 20370	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
45	25, 44	ressplusg 17468	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48		invrvald.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
49	20, 25, 48	invrfval 20625	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
50	41, 46, 47, 49	grpinvid1 19208	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
51	30, 23, 40, 50	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
52	28, 51	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = 𝑌)
53	23, 52	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  opp_rcoppr 20572  ∥_rcdsr 20590  Unitcui 20591  inv_rcinvr 20623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624

This theorem is used by:  matinv  22998  matunit  22999  extdg1id  34345