Theorem invrvald 22630

Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrvald.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
invrvald.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
invrvald.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invrvald.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invrvald.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
invrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrvald.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		invrvald.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		invrvald.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5		invrvald.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	dvdsrmul 20332	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8		invrvald.yx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
9	7, 8	breqtrd 5149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅) 1 )
10		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 3	opprbas 20309	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 12, 13	dvdsrmul 20332	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
16	3, 5, 10, 13	opprmul 20305	. . . . 5 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17		invrvald.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
18	16, 17	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 )
19	15, 18	breqtrd 5149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
20		invrvald.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21		invrvald.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20341	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
23	9, 19, 22	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
24		invrvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
26	20, 25, 21	unitgrpid 20353	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
27	24, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
28	17, 27	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
29	20, 25	unitgrp 20351	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
30	24, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
31	3, 4, 5	dvdsrmul 20332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
32	2, 1, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
33	32, 17	breqtrd 5149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘𝑅) 1 )
34	11, 12, 13	dvdsrmul 20332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
35	2, 1, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌))
36	3, 5, 10, 13	opprmul 20305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
37	36, 8	eqtrid 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = 1 )
38	35, 37	breqtrd 5149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
39	20, 21, 4, 10, 12	isunit 20341	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
40	33, 38, 39	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
41	20, 25	unitgrpbas 20350	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42	20	fvexi 6900	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
43		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
44	43, 5	mgpplusg 20109	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
45	25, 44	ressplusg 17307	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
47		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48		invrvald.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
49	20, 25, 48	invrfval 20357	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
50	41, 46, 47, 49	grpinvid1 18978	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
51	30, 23, 40, 50	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
52	28, 51	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = 𝑌)
53	23, 52	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  +_gcplusg 17273  ._rcmulr 17274  0_gc0g 17455  Grpcgrp 18920  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  opp_rcoppr 20301  ∥_rcdsr 20322  Unitcui 20323  inv_rcinvr 20355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356

This theorem is referenced by:  matinv  22631  matunit  22632  extdg1id  33653