MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1resb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lo1resb 15507
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
lo1resb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
lo1resb.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lo1resb (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 15502 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1))
2 lo1resb.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
32feqmptd 6960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
43reseq1d 5980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)))
5 resmpt3 6038 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
64, 5eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
76eleq1d 2818 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1)))
8 inss1 4228 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† 𝐴
9 lo1resb.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
108, 9sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† ℝ)
11 elinel1 4195 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
132, 11, 12syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1410, 13ello1mpt 15464 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
15 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)))
1615imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
17 impexp 451 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
1816, 17bitri 274 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
19 impexp 451 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2322sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
24 elicopnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯)))
2524baibd 540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2621, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2726anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
28 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 13169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3127, 30bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯))
3231imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
3319, 32bitr3id 284 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
3433pm5.74da 802 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
3518, 34bitrid 282 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
3635ralbidv2 3173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
372adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
38 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4574 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ)
41 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
42 ello12r 15460 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1))
43423expia 1121 . . . . . . 7 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4536, 44sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4714, 46sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
487, 47sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
491, 48impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  [,)cico 13325  β‰€π‘‚(1)clo1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329  df-lo1 15434
This theorem is referenced by:  lo1eq  15511
  Copyright terms: Public domain W3C validator