MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1resb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lo1resb 15508
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
lo1resb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
lo1resb.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lo1resb (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 15503 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1))
2 lo1resb.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
32feqmptd 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
43reseq1d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)))
5 resmpt3 6039 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
64, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
76eleq1d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1)))
8 inss1 4229 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† 𝐴
9 lo1resb.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
108, 9sstrid 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) βŠ† ℝ)
11 elinel1 4196 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
132, 11, 12syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1410, 13ello1mpt 15465 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
15 elin 3965 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)))
1615imbi1i 350 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
17 impexp 452 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
1816, 17bitri 275 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
19 impexp 452 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
229adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2322sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
24 elicopnf 13422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯)))
2524baibd 541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2621, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2726anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
28 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 13170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ ↔ (𝐡 ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
3127, 30bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) ↔ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯))
3231imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
3319, 32bitr3id 285 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
3433pm5.74da 803 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,)+∞) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
3518, 34bitrid 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧))))
3635ralbidv2 3174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)))
372adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
38 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ)
41 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
42 ello12r 15461 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧)) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1))
43423expia 1122 . . . . . . 7 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (if(𝐡 ≀ 𝑦, 𝑦, 𝐡) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4536, 44sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3212 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞))(𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑧) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
4714, 46sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐡[,)+∞)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
487, 47sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ ≀𝑂(1)))
491, 48impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐡[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  β‰€π‘‚(1)clo1 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-lo1 15435
This theorem is referenced by:  lo1eq  15512
  Copyright terms: Public domain W3C validator