MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1resb 14914
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
lo1resb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1resb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lo1resb (𝜑 → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 14909 . 2 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1resb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
32feqmptd 6729 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43reseq1d 5850 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5 resmpt3 5904 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
64, 5syl6eq 2876 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
76eleq1d 2901 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
8 inss1 4208 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9 lo1resb.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
108, 9sstrid 3981 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
11 elinel1 4175 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
12 ffvelrn 6844 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
132, 11, 12syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1410, 13ello1mpt 14871 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
15 elin 4172 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
1615imbi1i 351 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
17 impexp 451 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
1816, 17bitri 276 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
19 impexp 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2322sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24 elicopnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2524baibd 540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2621, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2726anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
28 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 12577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3127, 30bitr4d 283 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
3231imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
3319, 32syl5bbr 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
3433pm5.74da 800 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
3518, 34syl5bb 284 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
3635ralbidv2 3199 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
372adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
38 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4514 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42 ello12r 14867 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
43423expia 1115 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 836 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4536, 44sylbid 241 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3298 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4714, 46sylbid 241 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
487, 47sylbid 241 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
491, 48impbid2 227 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  cin 3938  wss 3939  ifcif 4469   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cres 5555  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  +∞cpnf 10664  cle 10668  [,)cico 12733  ≤𝑂(1)clo1 14837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ico 12737  df-lo1 14841
This theorem is referenced by:  lo1eq  14918
  Copyright terms: Public domain W3C validator