Theorem elmapfun 8892

Description: A mapping is always a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → Fun 𝐴)

Proof of Theorem elmapfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffund 6715	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → Fun 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Fun wfun 6533  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853

This theorem is used by:  uncf  8895  mndpsuppss  18965  fsfnn0gsumfsffz  20203  frlmbas  22067  islindf4  22150  ltbwe  22359  psrbasfsupp  34190  mbfmfun  34933  eulerpartgbij  35051  pwfi2f1o  44192  hoicvr  47652  ovnovollem1  47760  ovnovollem2  47761  domnmsuppn0  49575  rmsuppss  49576  scmsuppss  49577  lincext2  49661