Theorem elmapfun 8906

Description: A mapping is always a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfun	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → Fun 𝐴)

Proof of Theorem elmapfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffund 6740	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → Fun 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Fun wfun 6555  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868

This theorem is referenced by:  mndpsuppss  18778  fsfnn0gsumfsffz  20001  frlmbas  21775  islindf4  21858  ltbwe  22062  mbfmfun  34254  eulerpartgbij  34374  uncf  37606  pwfi2f1o  43108  hoicvr  46563  ovnovollem1  46671  ovnovollem2  46672  domnmsuppn0  48285  rmsuppss  48286  scmsuppss  48287  lincext2  48372