Theorem fsfnn0gsumfsffz 19897

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
fsfnn0gsumfsffz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))

Assertion

Ref	Expression
fsfnn0gsumfsffz	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsfnn0gsumfsffz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
2	1	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3		nn0gsumfz.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		nn0gsumfz.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		nn0gsumfz.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7		nn0ex 12424	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9		nn0gsumfz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
10		elmapi 8799	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
13	4	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
15	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
16		fsfnn0gsumfsffz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
19	14, 15, 17, 18	suppssfz 13935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20		elmapfun 8816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → Fun 𝐹)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
22	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9, 21, 22	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
24		fzfid 13914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
25	24	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26		suppssfifsupp 9307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
27	23, 25, 26	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
28	19, 27	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
29	3, 4, 6, 8, 12, 19, 28	gsumres 19827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
30	2, 29	eqtr2id 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
31	30	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   supp csupp 8116   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  0cc0 11044   < clt 11184  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  CMndccmn 19694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-cntz 19231  df-cmn 19696

This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  19898  gsummptnn0fz  19900