Theorem fsfnn0gsumfsffz 20116

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
fsfnn0gsumfsffz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))

Assertion

Ref	Expression
fsfnn0gsumfsffz	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsfnn0gsumfsffz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
2	1	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3		nn0gsumfz.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		nn0gsumfz.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		nn0gsumfz.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7		nn0ex 12538	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9		nn0gsumfz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
10		elmapi 8852	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
13	4	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
15	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
16		fsfnn0gsumfsffz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
19	14, 15, 17, 18	suppssfz 14062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20		elmapfun 8871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → Fun 𝐹)
21	9, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
22	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9, 21, 22	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
24		fzfid 14041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
25	24	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26		suppssfifsupp 9354	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
27	23, 25, 26	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
28	19, 27	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
29	3, 4, 6, 8, 12, 19, 28	gsumres 20046	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
30	2, 29	eqtr2id 2810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
31	30	ex 418	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↾ cres 5661  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   supp csupp 8162   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956   finSupp cfsupp 9335  0cc0 11128   < clt 11271  ℕ₀cn0 12532  ...cfz 13565  Basecbs 17307  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  CMndccmn 19913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-cntz 19450  df-cmn 19915

This theorem is used by:  nn0gsumfz  20117  gsummptnn0fz  20119