MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsfnn0gsumfsffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsfnn0gsumfsffz 19768
Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0 0 = (0g𝐺)
nn0gsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
fsfnn0gsumfsffz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
Assertion
Ref Expression
fsfnn0gsumfsffz (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz
StepHypRef Expression
1 fsfnn0gsumfsffz.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
21oveq2i 7372 . . 3 (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3 nn0gsumfz.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 nn0gsumfz.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
5 nn0gsumfz.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
65adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7 nn0ex 12427 . . . . 5 0 ∈ V
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9 nn0gsumfz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
10 elmapi 8793 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ0𝐵)
1211adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0𝐵)
134fvexi 6860 . . . . . 6 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
159adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
16 fsfnn0gsumfsffz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
1914, 15, 17, 18suppssfz 13908 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20 elmapfun 8810 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → Fun 𝐹)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
2213a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
239, 21, 223jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V))
24 fzfid 13887 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
2524anim1i 616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26 suppssfifsupp 9328 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
2723, 25, 26syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
2819, 27syldan 592 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
293, 4, 6, 8, 12, 19, 28gsumres 19698 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
302, 29eqtr2id 2786 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
3130ex 414 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109  cres 5639  Fun wfun 6494  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  0cc0 11059   < clt 11197  0cn0 12421  ...cfz 13433  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  19769  gsummptnn0fz  19771
  Copyright terms: Public domain W3C validator