Theorem fsfnn0gsumfsffz 19850

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
fsfnn0gsumfsffz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))

Assertion

Ref	Expression
fsfnn0gsumfsffz	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsfnn0gsumfsffz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
2	1	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3		nn0gsumfz.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		nn0gsumfz.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		nn0gsumfz.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7		nn0ex 12477	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9		nn0gsumfz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
10		elmapi 8842	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
13	4	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
15	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
16		fsfnn0gsumfsffz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
19	14, 15, 17, 18	suppssfz 13958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20		elmapfun 8859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → Fun 𝐹)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
22	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9, 21, 22	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
24		fzfid 13937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
25	24	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26		suppssfifsupp 9377	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
27	23, 25, 26	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
28	19, 27	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
29	3, 4, 6, 8, 12, 19, 28	gsumres 19780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
30	2, 29	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
31	30	ex 413	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↾ cres 5678  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109   < clt 11247  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13483  Basecbs 17143  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  CMndccmn 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-cntz 19180  df-cmn 19649

This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  19851  gsummptnn0fz  19853