MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsfnn0gsumfsffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsfnn0gsumfsffz 19929
Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0 0 = (0g𝐺)
nn0gsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
fsfnn0gsumfsffz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
Assertion
Ref Expression
fsfnn0gsumfsffz (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz
StepHypRef Expression
1 fsfnn0gsumfsffz.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
21oveq2i 7425 . . 3 (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3 nn0gsumfz.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 nn0gsumfz.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
5 nn0gsumfz.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7 nn0ex 12500 . . . . 5 0 ∈ V
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9 nn0gsumfz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
10 elmapi 8859 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ0𝐵)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0𝐵)
134fvexi 6905 . . . . . 6 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
159adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
16 fsfnn0gsumfsffz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
1914, 15, 17, 18suppssfz 13983 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20 elmapfun 8876 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → Fun 𝐹)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
2213a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
239, 21, 223jca 1126 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V))
24 fzfid 13962 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
2524anim1i 614 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26 suppssfifsupp 9395 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
2723, 25, 26syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
2819, 27syldan 590 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
293, 4, 6, 8, 12, 19, 28gsumres 19859 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
302, 29eqtr2id 2780 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
3130ex 412 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  wss 3944   class class class wbr 5142  cres 5674  Fun wfun 6536  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159  m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  0cc0 11130   < clt 11270  0cn0 12494  ...cfz 13508  Basecbs 17171  0gc0g 17412   Σg cgsu 17413  CMndccmn 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-cntz 19259  df-cmn 19728
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  19930  gsummptnn0fz  19932
  Copyright terms: Public domain W3C validator