MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsfnn0gsumfsffz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsfnn0gsumfsffz 19099
Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0 0 = (0g𝐺)
nn0gsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
fsfnn0gsumfsffz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
Assertion
Ref Expression
fsfnn0gsumfsffz (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz
StepHypRef Expression
1 fsfnn0gsumfsffz.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
21oveq2i 7156 . . 3 (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3 nn0gsumfz.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 nn0gsumfz.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
5 nn0gsumfz.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
65adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7 nn0ex 11896 . . . . 5 0 ∈ V
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9 nn0gsumfz.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
10 elmapi 8418 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ0𝐵)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0𝐵)
134fvexi 6672 . . . . . 6 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
159adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
16 fsfnn0gsumfsffz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
1914, 15, 17, 18suppssfz 13362 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20 elmapfun 8420 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → Fun 𝐹)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
2213a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑0 ∈ V)
239, 21, 223jca 1125 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V))
24 fzfid 13341 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
2524anim1i 617 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26 suppssfifsupp 8839 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ Fun 𝐹0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
2723, 25, 26syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
2819, 27syldan 594 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
293, 4, 6, 8, 12, 19, 28gsumres 19029 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
302, 29syl5req 2872 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
3130ex 416 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480  wss 3919   class class class wbr 5052  cres 5544  Fun wfun 6337  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145   supp csupp 7820  m cmap 8396  Fincfn 8499   finSupp cfsupp 8824  0cc0 10529   < clt 10667  0cn0 11890  ...cfz 12890  Basecbs 16479  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  CMndccmn 18902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-cntz 18443  df-cmn 18904
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  19100  gsummptnn0fz  19102
  Copyright terms: Public domain W3C validator