Theorem fsfnn0gsumfsffz 20227

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
fsfnn0gsumfsffz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))

Assertion

Ref	Expression
fsfnn0gsumfsffz	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsfnn0gsumfsffz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
2	1	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3		nn0gsumfz.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		nn0gsumfz.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		nn0gsumfz.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7		nn0ex 12639	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9		nn0gsumfz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
10		elmapi 8897	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
13	4	fvexi 6922	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
15	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
16		fsfnn0gsumfsffz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
19	14, 15, 17, 18	suppssfz 14164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
20		elmapfun 8916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → Fun 𝐹)
21	9, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
22	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9, 21, 22	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
24		fzfid 14143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
25	24	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
26		suppssfifsupp 9399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
27	23, 25, 26	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
28	19, 27	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
29	3, 4, 6, 8, 12, 19, 28	gsumres 20157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
30	2, 29	eqtr2id 2811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
31	30	ex 418	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↾ cres 5657  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   supp csupp 8204   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001   finSupp cfsupp 9381  0cc0 11227   < clt 11370  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  Basecbs 17416  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640  CMndccmn 20024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-cntz 19561  df-cmn 20026

This theorem is used by:  nn0gsumfz  20228  gsummptnn0fz  20230