Theorem prlnghpg 29289

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 are parallel, then any two points 𝑋 and 𝑌 of 𝐵 lie on the same half-plane limited by 𝐴. Theorem 12.6 of [Schwabhauser] p. 122. . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnghpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnghpg.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnghpg.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnghpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnghpg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnghpg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prlnghpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlnghpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlnghpg	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

Proof of Theorem prlnghpg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		prlnghpg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnghpg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlnghpg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6		prlnghpg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlnghpg.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8	3, 6, 7, 4	brprlng 29281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))))
9	5, 8	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))))
10	9	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿))
11	10	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12	10	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
13		prlnghpg.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 4, 12, 13	tglnpt 28889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
15		eleq1w 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
16		eleq1w 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
17	15, 16	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))))
18		oveq12 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
19	18	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
20	19	rexbidv 3188	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
21		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
22	21	cbvrexvw 3243	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
23	20, 22	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
24	17, 23	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
25	24	cbvopabv 5182	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
26		prlnghpg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 2, 4, 12, 26	tglnpt 28889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
28	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
31	9	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))
32		prlnghpg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	neneqd 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
34	31, 33	orcnd 892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	34	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
38	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
39		inelcm 4421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
41	40	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42	36, 41	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
44	1, 2, 3, 28, 29, 30, 25, 43	hpgid 29121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)
45		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 = 𝑋)
46	44, 45	breqtrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
47	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
48	35	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
49		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
50	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51	14	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
52	27	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
53	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
54	1, 3, 2, 50, 53, 49	tglnpt 28889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))
55		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
56		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
57	1, 2, 3, 50, 51, 52, 54, 55, 56	btwnlng1 28964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
58	12	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
59	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
60	26	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	1, 2, 3, 50, 51, 52, 55, 55, 58, 59, 60	tglinethru 28981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 = (𝑌𝐿𝑋))
62	57, 61	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
63		inelcm 4421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
64	49, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
65		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
66	1, 65, 2, 25, 14, 27	islnopp 29092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
67	66	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
68	67	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
69	64, 68	r19.29a 3172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
70	69	neneqd 2962	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
71	48, 70	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)
72		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ ℎ)
73	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ ∈ ran 𝐸)
75	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
76	26	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	72, 76	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ ℎ)
78	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
79		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
80	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
81		inelcm 4421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
82	79, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
83	82	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
84	78, 83	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	77, 85	eldifd 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ (ℎ ∖ 𝐴))
87		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ⊆ ℎ)
88	1, 3, 6, 73, 74, 75, 86, 87	plng3p 29152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ = (𝐴𝐸𝑋))
89	72, 88	sseqtrd 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
90	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
91	89, 90	sseldd 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
92	91	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ (𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ)) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
93	34	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ))
94	92, 93	r19.29a 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
95	27, 84	eldifd 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))
96	1, 2, 3, 6, 4, 11, 95, 25, 14	elplng 29135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)))
97	94, 96	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
99	47, 71, 98	ecase13d 1502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
100	46, 99	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
101	1, 2, 3, 4, 11, 14, 25, 27, 100	hpgcom 29122	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  {copab 5171  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  hpGchpg 29112  hlGcplng 29128  parlnGcprlng 29279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkgld 28791  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-leg 28923  df-hlg 28941  df-mir 29002  df-rag 29046  df-perpg 29048  df-hpg 29113  df-plng 29129  df-prlng 29280

This theorem is used by:  dfprlng2  29290  prlngpln3  29292  prlngmolem1  29295  prlngmolem2  29296