Theorem prlnghpg 29430

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 are parallel, then any two points 𝑋 and 𝑌 of 𝐵 lie on the same half-plane limited by 𝐴. Theorem 12.6 of [Schwabhauser] p. 122. . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnghpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnghpg.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnghpg.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnghpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnghpg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnghpg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prlnghpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlnghpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlnghpg	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

Proof of Theorem prlnghpg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		prlnghpg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnghpg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlnghpg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6		prlnghpg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlnghpg.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8	3, 6, 7, 4	brprlng 29422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))))
9	5, 8	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))))
10	9	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿))
11	10	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12	10	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
13		prlnghpg.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 4, 12, 13	tglnpt 29018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
15		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
16		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
17	15, 16	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))))
18		oveq12 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
19	18	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
20	19	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
21		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
22	21	cbvrexvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
23	20, 22	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
24	17, 23	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
25	24	cbvopabv 5177	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
26		prlnghpg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 2, 4, 12, 26	tglnpt 29018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
28	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
31	9	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))
32		prlnghpg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
34	31, 33	orcnd 892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	34	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
38	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
39		inelcm 4417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
41	40	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42	36, 41	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
44	1, 2, 3, 28, 29, 30, 25, 43	hpgid 29250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)
45		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 = 𝑋)
46	44, 45	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
47	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
48	35	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
49		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
50	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51	14	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
52	27	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
53	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
54	1, 3, 2, 50, 53, 49	tglnpt 29018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))
55		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
56		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
57	1, 2, 3, 50, 51, 52, 54, 55, 56	btwnlng1 29093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
58	12	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
59	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
60	26	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	1, 2, 3, 50, 51, 52, 55, 55, 58, 59, 60	tglinethru 29110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 = (𝑌𝐿𝑋))
62	57, 61	eleqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
63		inelcm 4417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
64	49, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
65		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
66	1, 65, 2, 25, 14, 27	islnopp 29221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
67	66	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
68	67	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
69	64, 68	r19.29a 3170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
70	69	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
71	48, 70	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)
72		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ ℎ)
73	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ ∈ ran 𝐸)
75	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
76	26	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	72, 76	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ ℎ)
78	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
79		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
80	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
81		inelcm 4417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
82	79, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
83	82	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
84	78, 83	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	77, 85	eldifd 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ (ℎ ∖ 𝐴))
87		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ⊆ ℎ)
88	1, 3, 6, 73, 74, 75, 86, 87	plng3p 29281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ = (𝐴𝐸𝑋))
89	72, 88	sseqtrd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
90	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
91	89, 90	sseldd 3909	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
92	91	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ (𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ)) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
93	34	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ))
94	92, 93	r19.29a 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
95	27, 84	eldifd 4050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))
96	1, 2, 3, 6, 4, 11, 95, 25, 14	elplng 29264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)))
97	94, 96	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
99	47, 71, 98	ecase13d 1502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
100	46, 99	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
101	1, 2, 3, 4, 11, 14, 25, 27, 100	hpgcom 29251	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  LineGclng 28902  hpGchpg 29241  hlGcplng 29257  parlnGcprlng 29420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkgld 28920  df-trkg 28921  df-cgrg 28980  df-leg 29052  df-hlg 29070  df-mir 29131  df-rag 29175  df-perpg 29177  df-hpg 29242  df-plng 29258  df-prlng 29421

This theorem is used by:  dfprlng2  29431  prlngpln3  29433  prlngmolem1  29436  prlngmolem2  29437