Theorem prlnghpg 29303

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 are parallel, then any two points 𝑋 and 𝑌 of 𝐵 lie on the same half-plane limited by 𝐴. Theorem 12.6 of [Schwabhauser] p. 122. . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prlnghpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlnghpg.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
prlnghpg.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlnghpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlnghpg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
prlnghpg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prlnghpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prlnghpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prlnghpg	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

Proof of Theorem prlnghpg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		prlnghpg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		prlnghpg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		prlnghpg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
6		prlnghpg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		prlnghpg.p	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
8	3, 6, 7, 4	brprlng 29295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))))
9	5, 8	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))))
10	9	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐿))
11	10	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12	10	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
13		prlnghpg.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 3, 2, 4, 12, 13	tglnpt 28891	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
15		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
16		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)))
17	15, 16	bi2anan9 650	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))))
18		oveq12 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
19	18	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
20	19	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
21		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
22	21	cbvrexvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
23	20, 22	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
24	17, 23	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
25	24	cbvopabv 5178	. 2 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
26		prlnghpg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 2, 4, 12, 26	tglnpt 28891	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
28	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
31	9	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)))
32		prlnghpg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
34	31, 33	orcnd 892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	34	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
38	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
39		inelcm 4418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
41	40	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42	36, 41	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
44	1, 2, 3, 28, 29, 30, 25, 43	hpgid 29123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)
45		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌 = 𝑋)
46	44, 45	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
47	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
48	35	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
49		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
50	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51	14	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
52	27	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
53	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
54	1, 3, 2, 50, 53, 49	tglnpt 28891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))
55		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
56		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
57	1, 2, 3, 50, 51, 52, 54, 55, 56	btwnlng1 28966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
58	12	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
59	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
60	26	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	1, 2, 3, 50, 51, 52, 55, 55, 58, 59, 60	tglinethru 28983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐵 = (𝑌𝐿𝑋))
62	57, 61	eleqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
63		inelcm 4418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
64	49, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
65		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
66	1, 65, 2, 25, 14, 27	islnopp 29094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
67	66	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋 ↔ ((¬ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
68	67	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
69	64, 68	r19.29a 3170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
70	69	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ∧ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
71	48, 70	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → ¬ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)
72		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ ℎ)
73	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ ∈ ran 𝐸)
75	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
76	26	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	72, 76	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ ℎ)
78	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
79		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
80	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
81		inelcm 4418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
82	79, 80, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
83	82	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
84	78, 83	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	77, 85	eldifd 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑋 ∈ (ℎ ∖ 𝐴))
87		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐴 ⊆ ℎ)
88	1, 3, 6, 73, 74, 75, 86, 87	plng3p 29154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → ℎ = (𝐴𝐸𝑋))
89	72, 88	sseqtrd 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
90	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
91	89, 90	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ 𝐴 ⊆ ℎ) ∧ 𝐵 ⊆ ℎ) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
92	91	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ran 𝐸) ∧ (𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ)) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
93	34	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ran 𝐸(𝐴 ⊆ ℎ ∧ 𝐵 ⊆ ℎ))
94	92, 93	r19.29a 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
95	27, 84	eldifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴))
96	1, 2, 3, 6, 4, 11, 95, 25, 14	elplng 29137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋)))
97	94, 96	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 ∨ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑌{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝐺) ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑋))
99	47, 71, 98	ecase13d 1502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
100	46, 99	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
101	1, 2, 3, 4, 11, 14, 25, 27, 100	hpgcom 29124	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  LineGclng 28775  hpGchpg 29114  hlGcplng 29130  parlnGcprlng 29293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkgld 28793  df-trkg 28794  df-cgrg 28853  df-leg 28925  df-hlg 28943  df-mir 29004  df-rag 29048  df-perpg 29050  df-hpg 29115  df-plng 29131  df-prlng 29294

This theorem is used by:  dfprlng2  29304  prlngpln3  29306  prlngmolem1  29309  prlngmolem2  29310