Theorem lnincplng 29023

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 intersect, then 𝐵 is in a plane defined by 𝐴 and any point of 𝐵. Lemma 9.22 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnincplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lnincplng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
lnincplng.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnincplng.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
lnincplng	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Proof of Theorem lnincplng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
2		plngval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		plngval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		plngval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		plngval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
6		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		lnincplng.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		lnincplng.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		lnincplng.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4, 3, 6, 8, 9	tglnpt 28783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		lnincplng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	11	neneqd 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
13		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	13, 14	elind 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16		lnincplng.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
18	15, 17	eleqtrd 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ {𝑌})
19	18	elsnd 4612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
20	12, 19	mtand 827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
21	10, 20	eldifd 3924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 21	elplngid 29021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
23	22	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
24	1, 23	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)
26	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
29	2, 3, 4, 5, 26, 27, 28	elplnglnid 29022	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
30		lnincplng.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
31		snidg 4631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ {𝑌})
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
33	32, 16	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
34	33	elin1d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
35	34	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
36	29, 35	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
37	25, 36	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
38		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑌)
39	38	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
43	40, 42	elind 4161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	16	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
45	43, 44	eleqtrd 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ {𝑌})
46	45	elsnd 4612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑌)
47	39, 46	mtand 827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
48	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
50	8	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
51	2, 4, 3, 48, 50, 41	tglnpt 28783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝑃)
52		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
53		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
54	52, 53	bi2anan9 649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))))
55		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56	55	cbvrexvw 3250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
57		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎𝐼𝑏) = (𝑐𝐼𝑑))
58	57	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
59	58	rexbidv 3195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
60	56, 59	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
61	54, 60	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))))
62	61	cbvopabv 5188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
63	10	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	34	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
65	30	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑋)
67	33	elin2d 4166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
68	67	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	66	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑧)
70	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	2, 3, 4, 48, 63, 51, 69, 69, 50, 70, 41	tglinethru 28870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑧))
72	68, 71	eleqtrd 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑧))
73	2, 3, 4, 48, 51, 63, 65, 66, 72	lncom 28856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋))
74	73	orcd 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋) ∨ 𝑧 = 𝑋))
75		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
76	2, 3, 4, 48, 49, 51, 62, 63, 64, 74, 75	colhp 29010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)))
77	47, 76	mpbiran2d 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋))
78	77	biimpar 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋) → 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
79		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
80	51	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
81	63	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
82	64	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
83	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
84	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	48	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	65	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
88		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))
89	2, 79, 3, 86, 81, 87, 80, 88	tgbtwncom 28722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐼𝑋))
90	2, 79, 3, 62, 80, 81, 82, 83, 85, 89	islnoppd 28979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)
91	2, 3, 4, 6, 10, 30, 11, 11, 8, 9, 67	tglinethru 28870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
92	91	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
93	41, 92	eleqtrd 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
94	2, 3, 75, 63, 65, 51, 48, 63, 4, 93	lnhl 28849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
95	78, 90, 94	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
96	95	olcd 887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
97		3orass 1104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
99	21	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
100	2, 3, 4, 5, 48, 49, 99, 62, 51	elplng 29019	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
102	37, 101	pm2.61dane 3051	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
103	24, 102	pm2.61dane 3051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
104	103	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋)))
105	104	ssrdv 3951	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  {copab 5177  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  distcds 17318  TarskiGcstrkg 28661  Itvcitv 28667  LineGclng 28668  hlGchlg 28834  hpGchpg 28997  hlGcplng 29012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28682  df-trkgb 28683  df-trkgcb 28684  df-trkgld 28686  df-trkg 28687  df-cgrg 28745  df-leg 28817  df-hlg 28835  df-mir 28891  df-rag 28932  df-perpg 28934  df-hpg 28998  df-plng 29013

This theorem is referenced by:  plngrotlem1  29026