Theorem lnincplng 29255

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 intersect, then 𝐵 is in a plane defined by 𝐴 and any point of 𝐵. Lemma 9.22 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnincplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lnincplng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
lnincplng.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnincplng.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
lnincplng	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Proof of Theorem lnincplng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
2		plngval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		plngval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		plngval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		plngval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
6		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		lnincplng.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		lnincplng.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		lnincplng.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4, 3, 6, 8, 9	tglnpt 29005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		lnincplng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	11	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	13, 14	elind 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16		lnincplng.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
18	15, 17	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ {𝑌})
19	18	elsnd 4602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
20	12, 19	mtand 828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
21	10, 20	eldifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 21	elplngid 29253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
23	22	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
24	1, 23	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)
26	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
29	2, 3, 4, 5, 26, 27, 28	elplnglnid 29254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
30		lnincplng.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
31		snidg 4621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ {𝑌})
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
33	32, 16	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
34	33	elin1d 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
35	34	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
36	29, 35	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
37	25, 36	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑌)
39	38	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
43	40, 42	elind 4146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
45	43, 44	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ {𝑌})
46	45	elsnd 4602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑌)
47	39, 46	mtand 828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
48	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
50	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
51	2, 4, 3, 48, 50, 41	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝑃)
52		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
53		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
54	52, 53	bi2anan9 650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))))
55		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56	55	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
57		oveq12 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎𝐼𝑏) = (𝑐𝐼𝑑))
58	57	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
59	58	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
60	56, 59	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
61	54, 60	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))))
62	61	cbvopabv 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
63	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
65	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑋)
67	33	elin2d 4151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
68	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	66	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑧)
70	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	2, 3, 4, 48, 63, 51, 69, 69, 50, 70, 41	tglinethru 29097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑧))
72	68, 71	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑧))
73	2, 3, 4, 48, 51, 63, 65, 66, 72	lncom 29083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋))
74	73	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋) ∨ 𝑧 = 𝑋))
75		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
76	2, 3, 4, 48, 49, 51, 62, 63, 64, 74, 75	colhp 29241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)))
77	47, 76	mpbiran2d 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋))
78	77	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋) → 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
79		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
80	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
81	63	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
82	64	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
83	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
84	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	48	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	65	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
88		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))
89	2, 79, 3, 86, 81, 87, 80, 88	tgbtwncom 28944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐼𝑋))
90	2, 79, 3, 62, 80, 81, 82, 83, 85, 89	islnoppd 29209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)
91	2, 3, 4, 6, 10, 30, 11, 11, 8, 9, 67	tglinethru 29097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
92	91	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
93	41, 92	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
94	2, 3, 75, 63, 65, 51, 48, 63, 4, 93	lnhl 29074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
95	78, 90, 94	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
96	95	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
97		3orass 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
99	21	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
100	2, 3, 4, 5, 48, 49, 99, 62, 51	elplng 29251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
102	37, 101	pm2.61dane 3043	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
103	24, 102	pm2.61dane 3043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
104	103	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋)))
105	104	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hlGchlg 29056  hpGchpg 29228  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245

This theorem is used by:  plngrotlem1  29258