Theorem lnincplng 29269

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 intersect, then 𝐵 is in a plane defined by 𝐴 and any point of 𝐵. Lemma 9.22 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnincplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lnincplng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
lnincplng.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnincplng.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
lnincplng	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Proof of Theorem lnincplng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
2		plngval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		plngval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		plngval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		plngval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
6		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		lnincplng.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		lnincplng.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		lnincplng.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4, 3, 6, 8, 9	tglnpt 29019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		lnincplng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	11	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	13, 14	elind 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16		lnincplng.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
18	15, 17	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ {𝑌})
19	18	elsnd 4598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
20	12, 19	mtand 828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
21	10, 20	eldifd 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 21	elplngid 29267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
23	22	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
24	1, 23	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)
26	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
29	2, 3, 4, 5, 26, 27, 28	elplnglnid 29268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
30		lnincplng.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
31		snidg 4617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ {𝑌})
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
33	32, 16	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
34	33	elin1d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
35	34	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
36	29, 35	sseldd 3910	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
37	25, 36	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑌)
39	38	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
43	40, 42	elind 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
45	43, 44	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ {𝑌})
46	45	elsnd 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑌)
47	39, 46	mtand 828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
48	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
50	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
51	2, 4, 3, 48, 50, 41	tglnpt 29019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝑃)
52		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
53		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
54	52, 53	bi2anan9 650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))))
55		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56	55	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
57		oveq12 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎𝐼𝑏) = (𝑐𝐼𝑑))
58	57	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
59	58	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
60	56, 59	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
61	54, 60	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))))
62	61	cbvopabv 5177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
63	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
65	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑋)
67	33	elin2d 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
68	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	66	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑧)
70	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	2, 3, 4, 48, 63, 51, 69, 69, 50, 70, 41	tglinethru 29111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑧))
72	68, 71	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑧))
73	2, 3, 4, 48, 51, 63, 65, 66, 72	lncom 29097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋))
74	73	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋) ∨ 𝑧 = 𝑋))
75		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
76	2, 3, 4, 48, 49, 51, 62, 63, 64, 74, 75	colhp 29255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)))
77	47, 76	mpbiran2d 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋))
78	77	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋) → 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
79		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
80	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
81	63	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
82	64	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
83	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
84	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	48	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	65	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
88		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))
89	2, 79, 3, 86, 81, 87, 80, 88	tgbtwncom 28958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐼𝑋))
90	2, 79, 3, 62, 80, 81, 82, 83, 85, 89	islnoppd 29223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)
91	2, 3, 4, 6, 10, 30, 11, 11, 8, 9, 67	tglinethru 29111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
92	91	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
93	41, 92	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
94	2, 3, 75, 63, 65, 51, 48, 63, 4, 93	lnhl 29088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
95	78, 90, 94	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
96	95	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
97		3orass 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
99	21	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
100	2, 3, 4, 5, 48, 49, 99, 62, 51	elplng 29265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
102	37, 101	pm2.61dane 3042	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
103	24, 102	pm2.61dane 3042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
104	103	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋)))
105	104	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  {csn 4584   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hlGchlg 29070  hpGchpg 29242  hlGcplng 29258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-plng 29259

This theorem is used by:  plngrotlem1  29272