Theorem lnincplng 29066

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 intersect, then 𝐵 is in a plane defined by 𝐴 and any point of 𝐵. Lemma 9.22 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lnincplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
lnincplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lnincplng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
lnincplng.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnincplng.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
lnincplng	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Proof of Theorem lnincplng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
2		plngval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		plngval.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		plngval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		plngval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
6		plngval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		lnincplng.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		lnincplng.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		lnincplng.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4, 3, 6, 8, 9	tglnpt 28818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		lnincplng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	11	neneqd 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
13		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
14	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	13, 14	elind 4153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16		lnincplng.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
18	15, 17	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ {𝑌})
19	18	elsnd 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = 𝑌)
20	12, 19	mtand 827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
21	10, 20	eldifd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 21	elplngid 29064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
23	22	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
24	1, 23	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)
26	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
29	2, 3, 4, 5, 26, 27, 28	elplnglnid 29065	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝐴 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))
30		lnincplng.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
31		snidg 4626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ {𝑌})
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
33	32, 16	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
34	33	elin1d 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
35	34	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
36	29, 35	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
37	25, 36	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 = 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
38		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑌)
39	38	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
40		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
43	40, 42	elind 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	16	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑌})
45	43, 44	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ {𝑌})
46	45	elsnd 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 = 𝑌)
47	39, 46	mtand 827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
48	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
50	8	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
51	2, 4, 3, 48, 50, 41	tglnpt 28818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ 𝑃)
52		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
53		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)))
54	52, 53	bi2anan9 649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))))
55		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
56	55	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
57		oveq12 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎𝐼𝑏) = (𝑐𝐼𝑑))
58	57	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
59	58	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
60	56, 59	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
61	54, 60	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))))
62	61	cbvopabv 5184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
63	10	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
64	34	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐴)
65	30	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
66		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ≠ 𝑋)
67	33	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
68	67	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	66	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑧)
70	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	2, 3, 4, 48, 63, 51, 69, 69, 50, 70, 41	tglinethru 28909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑧))
72	68, 71	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑧))
73	2, 3, 4, 48, 51, 63, 65, 66, 72	lncom 28895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋))
74	73	orcd 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ (𝑧𝐿𝑋) ∨ 𝑧 = 𝑋))
75		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
76	2, 3, 4, 48, 49, 51, 62, 63, 64, 74, 75	colhp 29052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)))
77	47, 76	mpbiran2d 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋))
78	77	biimpar 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋) → 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
79		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
80	51	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
81	63	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
82	64	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
83	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
84	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
85	84	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
86	48	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
87	65	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
88		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))
89	2, 79, 3, 86, 81, 87, 80, 88	tgbtwncom 28757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑌 ∈ (𝑧𝐼𝑋))
90	2, 79, 3, 62, 80, 81, 82, 83, 85, 89	islnoppd 29021	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) → 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)
91	2, 3, 4, 6, 10, 30, 11, 11, 8, 9, 67	tglinethru 28909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
92	91	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝐵 = (𝑋𝐿𝑌))
93	41, 92	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
94	2, 3, 75, 63, 65, 51, 48, 63, 4, 93	lnhl 28887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑋 ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
95	78, 90, 94	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
96	95	olcd 887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
97		3orass 1106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ (𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋))
99	21	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
100	2, 3, 4, 5, 48, 49, 99, 62, 51	elplng 29062	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ∨ 𝑧{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}𝑋)))
101	98, 100	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
102	37, 101	pm2.61dane 3045	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
103	24, 102	pm2.61dane 3045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋))
104	103	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴𝐸𝑋)))
105	104	ssrdv 3943	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109  {copab 5173  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hlGchlg 28869  hpGchpg 29039  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-hlg 28870  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-hpg 29040  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  plngrotlem1  29069