Theorem entri 9004

Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
entri.1	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
entri.2	⊢ 𝐵 ≈ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
entri	⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Proof of Theorem entri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entri.1	. 2 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
2		entri.2	. 2 ⊢ 𝐵 ≈ 𝐶
3		entr 9002	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Syntax hints:   class class class wbr 5113   ≈ cen 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8693  df-en 8943

This theorem is referenced by:  entr2i  9005  entr3i  9006  entr4i  9007  infxpenc2  10005  cfpwsdom  10568  hashxplem  14469  xpnnen  16266  qnnen  16268  rpnnen  16282  rexpen  16283  odhash  19643  cygctb  19961  met2ndci  24647  re2ndc  24926  iscmet3  25420  dyadmbl  25727  opnmblALT  25730  mbfimaopnlem  25782  aannenlem3  26459  mblfinlem1  38195  heiborlem3  38351  heibor  38359  irrapx1  43446  zenom  45663  qenom  45968