Theorem entri 8930

Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
entri.1	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
entri.2	⊢ 𝐵 ≈ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
entri	⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Proof of Theorem entri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entri.1	. 2 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
2		entri.2	. 2 ⊢ 𝐵 ≈ 𝐶
3		entr 8928	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Syntax hints:   class class class wbr 5089   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-er 8622  df-en 8870

This theorem is referenced by:  entr2i  8931  entr3i  8932  entr4i  8933  infxpenc2  9913  cfpwsdom  10475  hashxplem  14340  xpnnen  16120  qnnen  16122  rpnnen  16136  rexpen  16137  odhash  19486  cygctb  19804  met2ndci  24437  re2ndc  24716  iscmet3  25220  dyadmbl  25528  opnmblALT  25531  mbfimaopnlem  25583  aannenlem3  26265  mblfinlem1  37707  heiborlem3  37863  heibor  37871  irrapx1  42931  zenom  45159  qenom  45470