Theorem entri 8989

Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
entri.1	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
entri.2	⊢ 𝐵 ≈ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
entri	⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Proof of Theorem entri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entri.1	. 2 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
2		entri.2	. 2 ⊢ 𝐵 ≈ 𝐶
3		entr 8987	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Syntax hints:   class class class wbr 5100   ≈ cen 8924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-er 8678  df-en 8928

This theorem is referenced by:  entr2i  8990  entr3i  8991  entr4i  8992  infxpenc2  9978  cfpwsdom  10542  hashxplem  14446  xpnnen  16243  qnnen  16245  rpnnen  16259  rexpen  16260  odhash  19614  cygctb  19932  met2ndci  24582  re2ndc  24861  iscmet3  25355  dyadmbl  25662  opnmblALT  25665  mbfimaopnlem  25717  aannenlem3  26394  mblfinlem1  38156  heiborlem3  38312  heibor  38320  irrapx1  43405  zenom  45632  qenom  45937