Theorem entri 8957

Description: A chained equinumerosity inference. (Contributed by NM, 25-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
entri.1	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
entri.2	⊢ 𝐵 ≈ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
entri	⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Proof of Theorem entri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entri.1	. 2 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵
2		entri.2	. 2 ⊢ 𝐵 ≈ 𝐶
3		entr 8955	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐶

Syntax hints:   class class class wbr 5100   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-er 8645  df-en 8896

This theorem is referenced by:  entr2i  8958  entr3i  8959  entr4i  8960  infxpenc2  9944  cfpwsdom  10507  hashxplem  14368  xpnnen  16148  qnnen  16150  rpnnen  16164  rexpen  16165  odhash  19515  cygctb  19833  met2ndci  24478  re2ndc  24757  iscmet3  25261  dyadmbl  25569  opnmblALT  25572  mbfimaopnlem  25624  aannenlem3  26306  mblfinlem1  37908  heiborlem3  38064  heibor  38072  irrapx1  43185  zenom  45412  qenom  45720