MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmbl 24964
Description: Any union of dyadic rational intervals is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmbl.2 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
dyadmbl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dyadmbl (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   𝑧,𝑀,πœ‘   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐺   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem dyadmbl
Dummy variables 𝑓 π‘Ž 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2 dyadmbl.2 . . 3 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
3 dyadmbl.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
41, 2, 3dyadmbllem 24963 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
5 isfinite 9588 . . . 4 (𝐺 ∈ Fin ↔ 𝐺 β‰Ί Ο‰)
6 iccf 13365 . . . . . 6 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
7 ffun 6671 . . . . . 6 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
8 funiunfv 7195 . . . . . 6 (Fun [,] β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)
10 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ Fin)
112ssrab3 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 βŠ† 𝐴
1211, 3sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
131dyadf 24955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
14 frn 6675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
16 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
1715, 16sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝐹 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
1812, 17sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
2019sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ 𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
21 1st2nd2 7960 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ 𝑛 = ⟨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ 𝑛 = ⟨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2322fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) = ([,]β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩))
24 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) = ([,]β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2523, 24eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) = ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)))
26 xp1st 7953 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘›) ∈ ℝ)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ (1st β€˜π‘›) ∈ ℝ)
28 xp2nd 7954 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ)
30 iccmbl 24930 . . . . . . . . 9 (((1st β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ) β†’ ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
3225, 31eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
3332ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
34 finiunmbl 24908 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
3510, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
369, 35eqeltrrid 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
375, 36sylan2br 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‰Ί Ο‰) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
38 rnco2 6205 . . . . . . . . 9 ran ([,] ∘ 𝑓) = ([,] β€œ ran 𝑓)
39 f1ofo 6791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:ℕ–onto→𝐺)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:ℕ–onto→𝐺)
41 forn 6759 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐺 β†’ ran 𝑓 = 𝐺)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ran 𝑓 = 𝐺)
4342imaeq2d 6013 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ([,] β€œ ran 𝑓) = ([,] β€œ 𝐺))
4438, 43eqtrid 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ran ([,] ∘ 𝑓) = ([,] β€œ 𝐺))
4544unieqd 4879 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝑓) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
46 f1of 6784 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπΊ)
4712, 15sstrdi 3956 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
48 fss 6685 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝐺 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4946, 47, 48syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
50 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝐺 βŠ† ran 𝐹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝐹)
5146, 12, 50syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝐹)
52 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
53 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝐹 ∧ π‘Ž ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹)
5451, 52, 53syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
56 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
5751, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
581dyaddisj 24960 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹 ∧ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
5954, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
60 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ([,]β€˜π‘€) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)))
6160sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘))))
62 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
6361, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))))
6446adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπΊ)
65 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ π‘Ž ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺)
6664, 52, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺)
67 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
6867sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
69 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
7068, 69imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7170ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7271, 2elrab2 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺 ↔ ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7372simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
7466, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
75 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺)
7664, 55, 75syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺)
7711, 76sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴)
7863, 74, 77rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
79 f1of1 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:ℕ–1-1→𝐺)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:ℕ–1-1→𝐺)
81 f1fveq 7209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:ℕ–1-1→𝐺 ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
8280, 81sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
83 orc 865 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
8482, 83syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
8578, 84syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
86 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ([,]β€˜π‘€) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
8786sseq2d 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž))))
88 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘) = (π‘“β€˜π‘Ž)))
89 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) = (π‘“β€˜π‘Ž) ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))
9088, 89bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
9187, 90imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))))
92 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)))
9392sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
94 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
9593, 94imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9695ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9796, 2elrab2 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺 ↔ ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9897simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
9976, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
10011, 66sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
10191, 99, 100rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
102101, 84syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
103 olc 866 . . . . . . . . . . . . 13 ((((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ… β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ… β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
10585, 102, 1043jaod 1428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
10659, 105mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
107106ralrimivva 3197 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ β„• (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
108 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) = ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
109108disjor 5085 . . . . . . . . 9 (Disj π‘Ž ∈ β„• ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ β„• (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
110107, 109sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ Disj π‘Ž ∈ β„• ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
111 eqid 2736 . . . . . . . 8 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
11249, 110, 111uniiccmbl 24954 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝑓) ∈ dom vol)
11345, 112eqeltrrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
114113ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol))
115114exlimdv 1936 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol))
116 nnenom 13885 . . . . . 6 β„• β‰ˆ Ο‰
117 ensym 8943 . . . . . 6 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ Ο‰ β‰ˆ 𝐺)
118 entr 8946 . . . . . 6 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ 𝐺) β†’ β„• β‰ˆ 𝐺)
119116, 117, 118sylancr 587 . . . . 5 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰ˆ 𝐺)
120 bren 8893 . . . . 5 (β„• β‰ˆ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺)
121119, 120sylib 217 . . . 4 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺)
122115, 121impel 506 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‰ˆ Ο‰) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
123 reex 11142 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
124123, 123xpex 7687 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
125124inex2 5275 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V
126125, 15ssexi 5279 . . . . . 6 ran 𝐹 ∈ V
127 ssdomg 8940 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ V β†’ (𝐺 βŠ† ran 𝐹 β†’ 𝐺 β‰Ό ran 𝐹))
128126, 12, 127mpsyl 68 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰Ό ran 𝐹)
129 omelon 9582 . . . . . . . 8 Ο‰ ∈ On
130 znnen 16094 . . . . . . . . . . . 12 β„€ β‰ˆ β„•
131130, 116entri 8948 . . . . . . . . . . 11 β„€ β‰ˆ Ο‰
132 nn0ennn 13884 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 β‰ˆ β„•
133132, 116entri 8948 . . . . . . . . . . 11 β„•0 β‰ˆ Ο‰
134 xpen 9084 . . . . . . . . . . 11 ((β„€ β‰ˆ Ο‰ ∧ β„•0 β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
135131, 133, 134mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
136 xpomen 9951 . . . . . . . . . 10 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
137135, 136entri 8948 . . . . . . . . 9 (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ Ο‰
138137ensymi 8944 . . . . . . . 8 Ο‰ β‰ˆ (β„€ Γ— β„•0)
139 isnumi 9882 . . . . . . . 8 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„€ Γ— β„•0)) β†’ (β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card)
140129, 138, 139mp2an 690 . . . . . . 7 (β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card
141 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0))
14213, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0)
143 dffn4 6762 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0) ↔ 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹)
144142, 143mpbi 229 . . . . . . 7 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹
145 fodomnum 9993 . . . . . . 7 ((β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card β†’ (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0)))
146140, 144, 145mp2 9 . . . . . 6 ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0)
147 domentr 8953 . . . . . 6 ((ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0) ∧ (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
148146, 137, 147mp2an 690 . . . . 5 ran 𝐹 β‰Ό Ο‰
149 domtr 8947 . . . . 5 ((𝐺 β‰Ό ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐺 β‰Ό Ο‰)
150128, 148, 149sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰Ό Ο‰)
151 brdom2 8922 . . . 4 (𝐺 β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐺 β‰Ί Ο‰ ∨ 𝐺 β‰ˆ Ο‰))
152150, 151sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰Ί Ο‰ ∨ 𝐺 β‰ˆ Ο‰))
15337, 122, 152mpjaodan 957 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
1544, 153eqeltrd 2837 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   βŠ† wss 3910  βˆ…c0 4282  π’« cpw 4560  βŸ¨cop 4592  βˆͺ cuni 4865  βˆͺ ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105   Γ— cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634   β€œ cima 5636   ∘ ccom 5637  Oncon0 6317  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  βŸΆwf 6492  β€“1-1β†’wf1 6493  β€“ontoβ†’wfo 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6495  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Ο‰com 7802  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920   β‰ˆ cen 8880   β‰Ό cdom 8881   β‰Ί csdm 8882  Fincfn 8883  cardccrd 9871  β„cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  β„*cxr 11188   ≀ cle 11190   βˆ’ cmin 11385   / cdiv 11812  β„•cn 12153  2c2 12208  β„•0cn0 12413  β„€cz 12499  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  β†‘cexp 13967  abscabs 15119  volcvol 24827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829
This theorem is referenced by:  opnmbllem  24965
  Copyright terms: Public domain W3C validator