MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmbl 25109
Description: Any union of dyadic rational intervals is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmbl.2 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
dyadmbl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dyadmbl (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   𝑧,𝑀,πœ‘   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐴,𝑧   𝑧,𝐺   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem dyadmbl
Dummy variables 𝑓 π‘Ž 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2 dyadmbl.2 . . 3 𝐺 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀)}
3 dyadmbl.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝐹)
41, 2, 3dyadmbllem 25108 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
5 isfinite 9644 . . . 4 (𝐺 ∈ Fin ↔ 𝐺 β‰Ί Ο‰)
6 iccf 13422 . . . . . 6 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
7 ffun 6718 . . . . . 6 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
8 funiunfv 7244 . . . . . 6 (Fun [,] β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺)
10 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ Fin)
112ssrab3 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 βŠ† 𝐴
1211, 3sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
131dyadf 25100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
14 frn 6722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
16 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
1715, 16sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝐹 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
1812, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
2019sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ 𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
21 1st2nd2 8011 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ 𝑛 = ⟨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ 𝑛 = ⟨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2322fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) = ([,]β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩))
24 df-ov 7409 . . . . . . . . 9 ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) = ([,]β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘›), (2nd β€˜π‘›)⟩)
2523, 24eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) = ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)))
26 xp1st 8004 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘›) ∈ ℝ)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ (1st β€˜π‘›) ∈ ℝ)
28 xp2nd 8005 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ)
30 iccmbl 25075 . . . . . . . . 9 (((1st β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜π‘›) ∈ ℝ) β†’ ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
3127, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ((1st β€˜π‘›)[,](2nd β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
3225, 31eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝐺) β†’ ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
3332ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
34 finiunmbl 25053 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
3510, 33, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝐺 ([,]β€˜π‘›) ∈ dom vol)
369, 35eqeltrrid 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ Fin) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
375, 36sylan2br 596 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‰Ί Ο‰) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
38 rnco2 6250 . . . . . . . . 9 ran ([,] ∘ 𝑓) = ([,] β€œ ran 𝑓)
39 f1ofo 6838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:ℕ–onto→𝐺)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:ℕ–onto→𝐺)
41 forn 6806 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐺 β†’ ran 𝑓 = 𝐺)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ran 𝑓 = 𝐺)
4342imaeq2d 6058 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ([,] β€œ ran 𝑓) = ([,] β€œ 𝐺))
4438, 43eqtrid 2785 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ ran ([,] ∘ 𝑓) = ([,] β€œ 𝐺))
4544unieqd 4922 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝑓) = βˆͺ ([,] β€œ 𝐺))
46 f1of 6831 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπΊ)
4712, 15sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
48 fss 6732 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝐺 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4946, 47, 48syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
50 fss 6732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝐺 βŠ† ran 𝐹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝐹)
5146, 12, 50syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝐹)
52 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
53 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝐹 ∧ π‘Ž ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹)
5451, 52, 53syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹)
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
56 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
5751, 55, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹)
581dyaddisj 25105 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ ran 𝐹 ∧ (π‘“β€˜π‘) ∈ ran 𝐹) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
5954, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
60 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ([,]β€˜π‘€) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)))
6160sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘))))
62 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
6361, 62imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))))
6446adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπΊ)
65 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ π‘Ž ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺)
6664, 52, 65syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺)
67 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
6867sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
69 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
7068, 69imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7170ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7271, 2elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺 ↔ ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀)))
7372simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐺 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
7466, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = 𝑀))
75 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:β„•βŸΆπΊ ∧ 𝑏 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺)
7664, 55, 75syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺)
7711, 76sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴)
7863, 74, 77rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
79 f1of1 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ 𝑓:ℕ–1-1→𝐺)
8079adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ 𝑓:ℕ–1-1→𝐺)
81 f1fveq 7258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:ℕ–1-1→𝐺 ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
8280, 81sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
83 orc 866 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
8482, 83syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
8578, 84syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
86 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ([,]β€˜π‘€) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
8786sseq2d 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž))))
88 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘) = (π‘“β€˜π‘Ž)))
89 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) = (π‘“β€˜π‘Ž) ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))
9088, 89bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
9187, 90imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘“β€˜π‘Ž) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘))))
92 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)))
9392sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) ↔ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€)))
94 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (𝑧 = 𝑀 ↔ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
9593, 94imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ ((([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9695ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜π‘§) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ 𝑧 = 𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9796, 2elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺 ↔ ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀)))
9897simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘) ∈ 𝐺 β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
9976, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜π‘€) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 𝑀))
10011, 66sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) ∈ 𝐴)
10191, 99, 100rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘Ž) = (π‘“β€˜π‘)))
102101, 84syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
103 olc 867 . . . . . . . . . . . . 13 ((((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ… β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ… β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
10585, 102, 1043jaod 1429 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ ((([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) ∨ ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘)) βŠ† ([,]β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…)))
10659, 105mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) ∧ (π‘Ž ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ β„•)) β†’ (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
107106ralrimivva 3201 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ β„• (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
108 2fveq3 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) = ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘)))
109108disjor 5128 . . . . . . . . 9 (Disj π‘Ž ∈ β„• ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ β„• βˆ€π‘ ∈ β„• (π‘Ž = 𝑏 ∨ (((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)) ∩ ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘))) = βˆ…))
110107, 109sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ Disj π‘Ž ∈ β„• ((,)β€˜(π‘“β€˜π‘Ž)))
111 eqid 2733 . . . . . . . 8 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
11249, 110, 111uniiccmbl 25099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝑓) ∈ dom vol)
11345, 112eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
114113ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol))
115114exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺 β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol))
116 nnenom 13942 . . . . . 6 β„• β‰ˆ Ο‰
117 ensym 8996 . . . . . 6 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ Ο‰ β‰ˆ 𝐺)
118 entr 8999 . . . . . 6 ((β„• β‰ˆ Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ 𝐺) β†’ β„• β‰ˆ 𝐺)
119116, 117, 118sylancr 588 . . . . 5 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰ˆ 𝐺)
120 bren 8946 . . . . 5 (β„• β‰ˆ 𝐺 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺)
121119, 120sylib 217 . . . 4 (𝐺 β‰ˆ Ο‰ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–1-1-onto→𝐺)
122115, 121impel 507 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‰ˆ Ο‰) β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
123 reex 11198 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
124123, 123xpex 7737 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
125124inex2 5318 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ V
126125, 15ssexi 5322 . . . . . 6 ran 𝐹 ∈ V
127 ssdomg 8993 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∈ V β†’ (𝐺 βŠ† ran 𝐹 β†’ 𝐺 β‰Ό ran 𝐹))
128126, 12, 127mpsyl 68 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰Ό ran 𝐹)
129 omelon 9638 . . . . . . . 8 Ο‰ ∈ On
130 znnen 16152 . . . . . . . . . . . 12 β„€ β‰ˆ β„•
131130, 116entri 9001 . . . . . . . . . . 11 β„€ β‰ˆ Ο‰
132 nn0ennn 13941 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 β‰ˆ β„•
133132, 116entri 9001 . . . . . . . . . . 11 β„•0 β‰ˆ Ο‰
134 xpen 9137 . . . . . . . . . . 11 ((β„€ β‰ˆ Ο‰ ∧ β„•0 β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰))
135131, 133, 134mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ (Ο‰ Γ— Ο‰)
136 xpomen 10007 . . . . . . . . . 10 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
137135, 136entri 9001 . . . . . . . . 9 (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ Ο‰
138137ensymi 8997 . . . . . . . 8 Ο‰ β‰ˆ (β„€ Γ— β„•0)
139 isnumi 9938 . . . . . . . 8 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„€ Γ— β„•0)) β†’ (β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card)
140129, 138, 139mp2an 691 . . . . . . 7 (β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card
141 ffn 6715 . . . . . . . . 9 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0))
14213, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0)
143 dffn4 6809 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0) ↔ 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹)
144142, 143mpbi 229 . . . . . . 7 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹
145 fodomnum 10049 . . . . . . 7 ((β„€ Γ— β„•0) ∈ dom card β†’ (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0)))
146140, 144, 145mp2 9 . . . . . 6 ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0)
147 domentr 9006 . . . . . 6 ((ran 𝐹 β‰Ό (β„€ Γ— β„•0) ∧ (β„€ Γ— β„•0) β‰ˆ Ο‰) β†’ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰)
148146, 137, 147mp2an 691 . . . . 5 ran 𝐹 β‰Ό Ο‰
149 domtr 9000 . . . . 5 ((𝐺 β‰Ό ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐺 β‰Ό Ο‰)
150128, 148, 149sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰Ό Ο‰)
151 brdom2 8975 . . . 4 (𝐺 β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐺 β‰Ί Ο‰ ∨ 𝐺 β‰ˆ Ο‰))
152150, 151sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰Ί Ο‰ ∨ 𝐺 β‰ˆ Ο‰))
15337, 122, 152mpjaodan 958 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐺) ∈ dom vol)
1544, 153eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ([,] β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Oncon0 6362  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“ontoβ†’wfo 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  Ο‰com 7852  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971   β‰ˆ cen 8933   β‰Ό cdom 8934   β‰Ί csdm 8935  Fincfn 8936  cardccrd 9927  β„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  abscabs 15178  volcvol 24972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cmp 22883  df-ovol 24973  df-vol 24974
This theorem is referenced by:  opnmbllem  25110
  Copyright terms: Public domain W3C validator