Theorem odhash 19788

Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		odhash.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odhash.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	odf1o1 19786	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
6		zex 12702	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	6	f1oen 8999	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
8		hasheni 14492	. . 3 ⊢ (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
9	5, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
10		ominf 9255	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
11		znnen 16380	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
12		nnenom 14123	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
13	11, 12	entri 9035	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ω
14		enfi 9202	. . . . 5 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
16	10, 15	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ ℤ ∈ Fin
17		hashinf 14479	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (♯‘ℤ) = +∞)
18	6, 16, 17	mp2an 705	. 2 ⊢ (♯‘ℤ) = +∞
19	9, 18	eqtr3di 2810	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≈ cen 8970  Fincfn 8973  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ♯chash 14474  Basecbs 17387  mrClscmrc 17753  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  SubGrpcsubg 19330  odcod 19738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-od 19742

This theorem is used by:  odhash3  19790