MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash 18699
Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11987 . . 3 ℤ ∈ V
2 ominf 8727 . . . 4 ¬ ω ∈ Fin
3 znnen 15565 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
4 nnenom 13352 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
53, 4entri 8559 . . . . 5 ℤ ≈ ω
6 enfi 8731 . . . . 5 (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
82, 7mtbir 326 . . 3 ¬ ℤ ∈ Fin
9 hashinf 13700 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (♯‘ℤ) = +∞)
101, 8, 9mp2an 691 . 2 (♯‘ℤ) = +∞
11 odhash.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 eqid 2824 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
13 odhash.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
14 odhash.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1511, 12, 13, 14odf1o1 18697 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
161f1oen 8526 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
17 hasheni 13713 . . 3 (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
1815, 16, 173syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
1910, 18syl5reqr 2874 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550   class class class wbr 5052  cmpt 5132  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  ωcom 7574  cen 8502  Fincfn 8505  0cc0 10535  +∞cpnf 10670  cn 11634  cz 11978  chash 13695  Basecbs 16483  mrClscmrc 16854  Grpcgrp 18103  .gcmg 18224  SubGrpcsubg 18273  odcod 18652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-od 18656
This theorem is referenced by:  odhash3  18701
  Copyright terms: Public domain W3C validator