Theorem odhash 19693

Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		odhash.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odhash.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	odf1o1 19691	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
6		zex 12620	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	6	f1oen 8976	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
8		hasheni 14407	. . 3 ⊢ (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
9	5, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
10		ominf 9232	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
11		znnen 16295	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
12		nnenom 14039	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
13	11, 12	entri 9012	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ω
14		enfi 9179	. . . . 5 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
16	10, 15	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ ℤ ∈ Fin
17		hashinf 14394	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (♯‘ℤ) = +∞)
18	6, 16, 17	mp2an 705	. 2 ⊢ (♯‘ℤ) = +∞
19	9, 18	eqtr3di 2815	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ωcom 7869   ≈ cen 8947  Fincfn 8950  0cc0 11120  +∞cpnf 11260  ℕcn 12253  ℤcz 12611  ♯chash 14389  Basecbs 17296  mrClscmrc 17662  Grpcgrp 19049  ._gcmg 19182  SubGrpcsubg 19235  odcod 19643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-acn 9945  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-fl 13848  df-mod 13926  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-dvds 16338  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-0g 17521  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-od 19647

This theorem is used by:  odhash3  19695