Theorem odhash 19646

Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		odhash.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odhash.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	odf1o1 19644	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
6		zex 12602	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	6	f1oen 8971	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
8		hasheni 14386	. . 3 ⊢ (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
9	5, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
10		ominf 9226	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
11		znnen 16270	. . . . . 6 ⊢ ℤ ≈ ℕ
12		nnenom 14018	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
13	11, 12	entri 9007	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ω
14		enfi 9173	. . . . 5 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
16	10, 15	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ ℤ ∈ Fin
17		hashinf 14373	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (♯‘ℤ) = +∞)
18	6, 16, 17	mp2an 704	. 2 ⊢ (♯‘ℤ) = +∞
19	9, 18	eqtr3di 2819	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ωcom 7864   ≈ cen 8942  Fincfn 8945  0cc0 11102  +∞cpnf 11242  ℕcn 12235  ℤcz 12593  ♯chash 14368  Basecbs 17271  mrClscmrc 17637  Grpcgrp 19002  ._gcmg 19135  SubGrpcsubg 19188  odcod 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-acn 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16313  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-od 19600

This theorem is referenced by:  odhash3  19648