Theorem irrapx1 42869

Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapx1	⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem irrapx1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnnen 16122	. . . 4 ⊢ ℚ ≈ ℕ
2		nnenom 13887	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entri 8930	. . 3 ⊢ ℚ ≈ ω
4	3, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω)
5		ssrab2 4027	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ
6		qssre 12857	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3939	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ)
9		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		eldifn 4079	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
12		elrabi 3638	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
14		irrapxlem6 42868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
15	9, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
16	15	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
17		rencldnfi 42862	. . . 4 ⊢ ((({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))}) ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
18	8, 10, 13, 16, 17	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
19	18, 5	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin))
20		ctbnfien 42859	. 2 ⊢ (((ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)
21	4, 19, 20	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146   − cmin 11344  -cneg 11345  ℕcn 12125  2c2 12180  ℚcq 12846  ℝ⁺crp 12890  ↑cexp 13968  abscabs 15141  denomcdenom 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-numer 16646  df-denom 16647

This theorem is referenced by:  pellexlem4  42873