Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapx1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapx1 41868
Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapx1 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} β‰ˆ β„•)
Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem irrapx1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qnnen 16160 . . . 4 β„š β‰ˆ β„•
2 nnenom 13949 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
31, 2entri 9006 . . 3 β„š β‰ˆ Ο‰
43, 2pm3.2i 469 . 2 (β„š β‰ˆ Ο‰ ∧ β„• β‰ˆ Ο‰)
5 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† β„š
6 qssre 12947 . . . . . 6 β„š βŠ† ℝ
75, 6sstri 3990 . . . . 5 {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† ℝ)
9 eldifi 4125 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
109rpred 13020 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 eldifn 4126 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ β„š)
12 elrabi 3676 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} β†’ 𝐴 ∈ β„š)
1311, 12nsyl 140 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))})
14 irrapxlem6 41867 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ž)
159, 14sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ž)
1615ralrimiva 3144 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ž)
17 rencldnfi 41861 . . . 4 ((({𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))}) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ž) β†’ Β¬ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ∈ Fin)
188, 10, 13, 16, 17syl31anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ Β¬ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ∈ Fin)
1918, 5jctil 518 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ ({𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† β„š ∧ Β¬ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ∈ Fin))
20 ctbnfien 41858 . 2 (((β„š β‰ˆ Ο‰ ∧ β„• β‰ˆ Ο‰) ∧ ({𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} βŠ† β„š ∧ Β¬ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} ∈ Fin)) β†’ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} β‰ˆ β„•)
214, 19, 20sylancr 585 1 (𝐴 ∈ (ℝ+ βˆ– β„š) β†’ {𝑦 ∈ β„š ∣ (0 < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < ((denomβ€˜π‘¦)↑-2))} β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  2c2 12271  β„šcq 12936  β„+crp 12978  β†‘cexp 14031  abscabs 15185  denomcdenom 16674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676
This theorem is referenced by:  pellexlem4  41872
  Copyright terms: Public domain W3C validator