Theorem irrapx1 43070

Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapx1	⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem irrapx1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnnen 16138	. . . 4 ⊢ ℚ ≈ ℕ
2		nnenom 13903	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entri 8945	. . 3 ⊢ ℚ ≈ ω
4	3, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω)
5		ssrab2 4032	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ
6		qssre 12872	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3943	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ)
9		eldifi 4083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 12949	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		eldifn 4084	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
12		elrabi 3642	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
14		irrapxlem6 43069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
15	9, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
16	15	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
17		rencldnfi 43063	. . . 4 ⊢ ((({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))}) ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
18	8, 10, 13, 16, 17	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
19	18, 5	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin))
20		ctbnfien 43060	. 2 ⊢ (((ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)
21	4, 19, 20	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   − cmin 11364  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  ℚcq 12861  ℝ⁺crp 12905  ↑cexp 13984  abscabs 15157  denomcdenom 16661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-numer 16662  df-denom 16663

This theorem is referenced by:  pellexlem4  43074