Theorem irrapx1 43446

Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
irrapx1	⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem irrapx1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnnen 16268	. . . 4 ⊢ ℚ ≈ ℕ
2		nnenom 14015	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entri 9004	. . 3 ⊢ ℚ ≈ ω
4	3, 2	pm3.2i 475	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω)
5		ssrab2 4042	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ
6		qssre 12982	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3954	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ)
9		eldifi 4093	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	9	rpred 13059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		eldifn 4094	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
12		elrabi 3655	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} → 𝐴 ∈ ℚ)
13	11, 12	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))})
14		irrapxlem6 43445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
15	9, 14	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
16	15	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎)
17		rencldnfi 43439	. . . 4 ⊢ ((({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))}) ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} (abs‘(𝑏 − 𝐴)) < 𝑎) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
18	8, 10, 13, 16, 17	syl31anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)
19	18, 5	jctil 528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin))
20		ctbnfien 43436	. 2 ⊢ (((ℚ ≈ ω ∧ ℕ ≈ ω) ∧ ({𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ⊆ ℚ ∧ ¬ {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ∈ Fin)) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)
21	4, 19, 20	sylancr 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑦 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < ((denom‘𝑦)↑-2))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7861   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  2c2 12294  ℚcq 12971  ℝ⁺crp 13015  ↑cexp 14096  abscabs 15284  denomcdenom 16792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-numer 16793  df-denom 16794

This theorem is referenced by:  pellexlem4  43450