MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 26281
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 β‰ˆ β„•
Distinct variable group:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
21aannenlem2 26280 . . . . 5 𝔸 = βˆͺ ran 𝐻
3 omelon 9667 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ On
4 nn0ennn 13974 . . . . . . . . . . 11 β„•0 β‰ˆ β„•
5 nnenom 13975 . . . . . . . . . . 11 β„• β‰ˆ Ο‰
64, 5entri 9025 . . . . . . . . . 10 β„•0 β‰ˆ Ο‰
76ensymi 9021 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ β„•0
8 isnumi 9967 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•0) β†’ β„•0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 690 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ dom card
10 cnex 11217 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1110rabex 5329 . . . . . . . . . 10 {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6692 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn β„•0
13 dffn4 6811 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 ↔ 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻)
1412, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻
15 fodomnum 10078 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ dom card β†’ (𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻 β†’ ran 𝐻 β‰Ό β„•0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . 7 ran 𝐻 β‰Ό β„•0
17 domentr 9030 . . . . . . 7 ((ran 𝐻 β‰Ό β„•0 ∧ β„•0 β‰ˆ Ο‰) β†’ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
1816, 6, 17mp2an 690 . . . . . 6 ran 𝐻 β‰Ό Ο‰
19 fvelrnb 6953 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 β†’ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓)
211aannenlem1 26279 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ (π»β€˜π‘”) ∈ Fin)
22 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ ((π»β€˜π‘”) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2321, 22syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin))
2423rexlimiv 3138 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2520, 24sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ran 𝐻 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2625ssriv 3976 . . . . . 6 ran 𝐻 βŠ† Fin
27 aasscn 26269 . . . . . . . 8 𝔸 βŠ† β„‚
282, 27eqsstrri 4008 . . . . . . 7 βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚
29 soss 5604 . . . . . . 7 (βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚ β†’ (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻)
31 iunfictbso 10135 . . . . . 6 ((ran 𝐻 β‰Ό Ο‰ ∧ ran 𝐻 βŠ† Fin ∧ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻) β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
3218, 26, 30, 31mp3an12i 1461 . . . . 5 (𝑓 Or β„‚ β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
332, 32eqbrtrid 5178 . . . 4 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝔸 β‰Ό Ο‰)
34 cnso 16221 . . . 4 βˆƒπ‘“ 𝑓 Or β„‚
3533, 34exlimiiv 1926 . . 3 𝔸 β‰Ό Ο‰
365ensymi 9021 . . 3 Ο‰ β‰ˆ β„•
37 domentr 9030 . . 3 ((𝔸 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝔸 β‰Ό β„•)
3835, 36, 37mp2an 690 . 2 𝔸 β‰Ό β„•
3910, 27ssexi 5317 . . 3 𝔸 ∈ V
40 nnssq 12970 . . . 4 β„• βŠ† β„š
41 qssaa 26275 . . . 4 β„š βŠ† 𝔸
4240, 41sstri 3982 . . 3 β„• βŠ† 𝔸
43 ssdomg 9017 . . 3 (𝔸 ∈ V β†’ (β„• βŠ† 𝔸 β†’ β„• β‰Ό 𝔸))
4439, 42, 43mp2 9 . 2 β„• β‰Ό 𝔸
45 sbth 9114 . 2 ((𝔸 β‰Ό β„• ∧ β„• β‰Ό 𝔸) β†’ 𝔸 β‰ˆ β„•)
4638, 44, 45mp2an 690 1 𝔸 β‰ˆ β„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Or wor 5583  dom cdm 5672  ran crn 5673  Oncon0 6364   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7867   β‰ˆ cen 8957   β‰Ό cdom 8958  Fincfn 8960  cardccrd 9956  β„‚cc 11134  0cc0 11136   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„šcq 12960  abscabs 15211  0𝑝c0p 25614  Polycply 26134  coeffccoe 26136  degcdgr 26137  π”Έcaa 26265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-0p 25615  df-ply 26138  df-idp 26139  df-coe 26140  df-dgr 26141  df-quot 26242  df-aa 26266
This theorem is referenced by:  aannen  26282
  Copyright terms: Public domain W3C validator