Theorem aannenlem3 26309

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})
2	1	aannenlem2 26308	. . . . 5 ⊢ 𝔸 = ∪ ran 𝐻
3		omelon 9567	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ On
4		nn0ennn 13914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
5		nnenom 13915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ≈ ω
6	4, 5	entri 8957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ≈ ω
7	6	ensymi 8953	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ0
8		isnumi 9870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
9	3, 7, 8	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ dom card
10		cnex 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	rabex 5286	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0} ∈ V
12	11, 1	fnmpti 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 Fn ℕ0
13		dffn4 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 ↔ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻
15		fodomnum 9979	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 ≼ ℕ0
17		domentr 8962	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
18	16, 6, 17	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ≼ ω
19		fvelrnb 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓)
21	1	aannenlem1 26307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑔) ∈ Fin)
22		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → ((𝐻‘𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
23	21, 22	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin))
24	23	rexlimiv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin)
25	20, 24	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 → 𝑓 ∈ Fin)
26	25	ssriv 3939	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ⊆ Fin
27		aasscn 26297	. . . . . . . 8 ⊢ 𝔸 ⊆ ℂ
28	2, 27	eqsstrri 3983	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ
29		soss 5560	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻)
31		iunfictbso 10036	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ∪ ran 𝐻) → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
32	18, 26, 30, 31	mp3an12i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Or ℂ → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
33	2, 32	eqbrtrid 5135	. . . 4 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34		cnso 16184	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓 Or ℂ
35	33, 34	exlimiiv 1933	. . 3 ⊢ 𝔸 ≼ ω
36	5	ensymi 8953	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
37		domentr 8962	. . 3 ⊢ ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
38	35, 36, 37	mp2an 693	. 2 ⊢ 𝔸 ≼ ℕ
39	10, 27	ssexi 5269	. . 3 ⊢ 𝔸 ∈ V
40		nnssq 12883	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
41		qssaa 26303	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
42	40, 41	sstri 3945	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ 𝔸
43		ssdomg 8949	. . 3 ⊢ (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
44	39, 42, 43	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ 𝔸
45		sbth 9037	. 2 ⊢ ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
46	38, 44, 45	mp2an 693	1 ⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   Or wor 5539  dom cdm 5632  ran crn 5633  Oncon0 6325   Fn wfn 6495  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  cardccrd 9859  ℂcc 11036  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℚcq 12873  abscabs 15169  0_𝑝c0p 25641  Polycply 26160  coeffccoe 26162  degcdgr 26163  𝔸caa 26293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25642  df-ply 26164  df-idp 26165  df-coe 26166  df-dgr 26167  df-quot 26270  df-aa 26294

This theorem is referenced by:  aannen  26310