Theorem aannenlem3 25834

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})
2	1	aannenlem2 25833	. . . . 5 ⊢ 𝔸 = ∪ ran 𝐻
3		omelon 9637	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ On
4		nn0ennn 13940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
5		nnenom 13941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ≈ ω
6	4, 5	entri 9000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ≈ ω
7	6	ensymi 8996	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ0
8		isnumi 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
9	3, 7, 8	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ dom card
10		cnex 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	rabex 5331	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0} ∈ V
12	11, 1	fnmpti 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 Fn ℕ0
13		dffn4 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 ↔ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻)
14	12, 13	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻
15		fodomnum 10048	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 ≼ ℕ0
17		domentr 9005	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
18	16, 6, 17	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ≼ ω
19		fvelrnb 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓)
21	1	aannenlem1 25832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑔) ∈ Fin)
22		eleq1 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → ((𝐻‘𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
23	21, 22	syl5ibcom 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin))
24	23	rexlimiv 3148	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin)
25	20, 24	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 → 𝑓 ∈ Fin)
26	25	ssriv 3985	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ⊆ Fin
27		aasscn 25822	. . . . . . . 8 ⊢ 𝔸 ⊆ ℂ
28	2, 27	eqsstrri 4016	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ
29		soss 5607	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻)
31		iunfictbso 10105	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ∪ ran 𝐻) → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
32	18, 26, 30, 31	mp3an12i 1465	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Or ℂ → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
33	2, 32	eqbrtrid 5182	. . . 4 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34		cnso 16186	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓 Or ℂ
35	33, 34	exlimiiv 1934	. . 3 ⊢ 𝔸 ≼ ω
36	5	ensymi 8996	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
37		domentr 9005	. . 3 ⊢ ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
38	35, 36, 37	mp2an 690	. 2 ⊢ 𝔸 ≼ ℕ
39	10, 27	ssexi 5321	. . 3 ⊢ 𝔸 ∈ V
40		nnssq 12938	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
41		qssaa 25828	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
42	40, 41	sstri 3990	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ 𝔸
43		ssdomg 8992	. . 3 ⊢ (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
44	39, 42, 43	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ 𝔸
45		sbth 9089	. 2 ⊢ ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
46	38, 44, 45	mp2an 690	1 ⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  dom cdm 5675  ran crn 5676  Oncon0 6361   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  ωcom 7851   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933  Fincfn 8935  cardccrd 9926  ℂcc 11104  0cc0 11106   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℚcq 12928  abscabs 15177  0_𝑝c0p 25177  Polycply 25689  coeffccoe 25691  degcdgr 25692  𝔸caa 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795  df-aa 25819

This theorem is referenced by:  aannen  25835