Theorem aannenlem3 26238

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})
2	1	aannenlem2 26237	. . . . 5 ⊢ 𝔸 = ∪ ran 𝐻
3		omelon 9599	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ On
4		nn0ennn 13944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
5		nnenom 13945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ≈ ω
6	4, 5	entri 8979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ≈ ω
7	6	ensymi 8975	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ0
8		isnumi 9899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
9	3, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ dom card
10		cnex 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	rabex 5294	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0} ∈ V
12	11, 1	fnmpti 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 Fn ℕ0
13		dffn4 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 ↔ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻
15		fodomnum 10010	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 ≼ ℕ0
17		domentr 8984	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
18	16, 6, 17	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ≼ ω
19		fvelrnb 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓)
21	1	aannenlem1 26236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑔) ∈ Fin)
22		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → ((𝐻‘𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
23	21, 22	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin))
24	23	rexlimiv 3127	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin)
25	20, 24	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 → 𝑓 ∈ Fin)
26	25	ssriv 3950	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ⊆ Fin
27		aasscn 26226	. . . . . . . 8 ⊢ 𝔸 ⊆ ℂ
28	2, 27	eqsstrri 3994	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ
29		soss 5566	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻)
31		iunfictbso 10067	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ∪ ran 𝐻) → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
32	18, 26, 30, 31	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Or ℂ → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
33	2, 32	eqbrtrid 5142	. . . 4 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34		cnso 16215	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓 Or ℂ
35	33, 34	exlimiiv 1931	. . 3 ⊢ 𝔸 ≼ ω
36	5	ensymi 8975	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
37		domentr 8984	. . 3 ⊢ ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝔸 ≼ ℕ
39	10, 27	ssexi 5277	. . 3 ⊢ 𝔸 ∈ V
40		nnssq 12917	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
41		qssaa 26232	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
42	40, 41	sstri 3956	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ 𝔸
43		ssdomg 8971	. . 3 ⊢ (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
44	39, 42, 43	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ 𝔸
45		sbth 9061	. 2 ⊢ ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
46	38, 44, 45	mp2an 692	1 ⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   Or wor 5545  dom cdm 5638  ran crn 5639  Oncon0 6332   Fn wfn 6506  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  cardccrd 9888  ℂcc 11066  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℚcq 12907  abscabs 15200  0_𝑝c0p 25570  Polycply 26089  coeffccoe 26091  degcdgr 26092  𝔸caa 26222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-0p 25571  df-ply 26093  df-idp 26094  df-coe 26095  df-dgr 26096  df-quot 26199  df-aa 26223

This theorem is referenced by:  aannen  26239