MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 26372
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 ≈ ℕ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
21aannenlem2 26371 . . . . 5 𝔸 = ran 𝐻
3 omelon 9686 . . . . . . . . 9 ω ∈ On
4 nn0ennn 14020 . . . . . . . . . . 11 0 ≈ ℕ
5 nnenom 14021 . . . . . . . . . . 11 ℕ ≈ ω
64, 5entri 9048 . . . . . . . . . 10 0 ≈ ω
76ensymi 9044 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ0
8 isnumi 9986 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 692 . . . . . . . 8 0 ∈ dom card
10 cnex 11236 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110rabex 5339 . . . . . . . . . 10 {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6711 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℕ0
13 dffn4 6826 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn ℕ0𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻)
1412, 13mpbi 230 . . . . . . . 8 𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻
15 fodomnum 10097 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . 7 ran 𝐻 ≼ ℕ0
17 domentr 9053 . . . . . . 7 ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
1816, 6, 17mp2an 692 . . . . . 6 ran 𝐻 ≼ ω
19 fvelrnb 6969 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓)
211aannenlem1 26370 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑔) ∈ Fin)
22 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝑔) = 𝑓 → ((𝐻𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2321, 22syl5ibcom 245 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin))
2423rexlimiv 3148 . . . . . . . 8 (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin)
2520, 24sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ran 𝐻𝑓 ∈ Fin)
2625ssriv 3987 . . . . . 6 ran 𝐻 ⊆ Fin
27 aasscn 26360 . . . . . . . 8 𝔸 ⊆ ℂ
282, 27eqsstrri 4031 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ ℂ
29 soss 5612 . . . . . . 7 ( ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻)
31 iunfictbso 10154 . . . . . 6 ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ran 𝐻) → ran 𝐻 ≼ ω)
3218, 26, 30, 31mp3an12i 1467 . . . . 5 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
332, 32eqbrtrid 5178 . . . 4 (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34 cnso 16283 . . . 4 𝑓 𝑓 Or ℂ
3533, 34exlimiiv 1931 . . 3 𝔸 ≼ ω
365ensymi 9044 . . 3 ω ≈ ℕ
37 domentr 9053 . . 3 ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
3835, 36, 37mp2an 692 . 2 𝔸 ≼ ℕ
3910, 27ssexi 5322 . . 3 𝔸 ∈ V
40 nnssq 13000 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
41 qssaa 26366 . . . 4 ℚ ⊆ 𝔸
4240, 41sstri 3993 . . 3 ℕ ⊆ 𝔸
43 ssdomg 9040 . . 3 (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
4439, 42, 43mp2 9 . 2 ℕ ≼ 𝔸
45 sbth 9133 . 2 ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
4638, 44, 45mp2an 692 1 𝔸 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  dom cdm 5685  ran crn 5686  Oncon0 6384   Fn wfn 6556  ontowfo 6559  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985  cardccrd 9975  cc 11153  0cc0 11155  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cq 12990  abscabs 15273  0𝑝c0p 25704  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226  𝔸caa 26356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333  df-aa 26357
This theorem is referenced by:  aannen  26373
  Copyright terms: Public domain W3C validator