MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 24299
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 ≈ ℕ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
21aannenlem2 24298 . . . . 5 𝔸 = ran 𝐻
3 omelon 8790 . . . . . . . . . 10 ω ∈ On
4 nn0ennn 13002 . . . . . . . . . . . 12 0 ≈ ℕ
5 nnenom 13003 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
64, 5entri 8246 . . . . . . . . . . 11 0 ≈ ω
76ensymi 8242 . . . . . . . . . 10 ω ≈ ℕ0
8 isnumi 9055 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 675 . . . . . . . . 9 0 ∈ dom card
10 cnex 10302 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1110rabex 5007 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6233 . . . . . . . . . 10 𝐻 Fn ℕ0
13 dffn4 6337 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻)
1412, 13mpbi 221 . . . . . . . . 9 𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻
15 fodomnum 9163 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . . 8 ran 𝐻 ≼ ℕ0
17 domentr 8251 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
1816, 6, 17mp2an 675 . . . . . . 7 ran 𝐻 ≼ ω
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
20 fvelrnb 6464 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓))
2112, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓)
221aannenlem1 24297 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑔) ∈ Fin)
23 eleq1 2873 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑔) = 𝑓 → ((𝐻𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2422, 23syl5ibcom 236 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin))
2524rexlimiv 3215 . . . . . . . . 9 (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin)
2621, 25sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻𝑓 ∈ Fin)
2726ssriv 3802 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ Fin
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ⊆ Fin)
29 aasscn 24287 . . . . . . . 8 𝔸 ⊆ ℂ
302, 29eqsstr3i 3833 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ ℂ
31 soss 5250 . . . . . . 7 ( ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻)
33 iunfictbso 9220 . . . . . 6 ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ran 𝐻) → ran 𝐻 ≼ ω)
3419, 28, 32, 33syl3anc 1483 . . . . 5 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
352, 34syl5eqbr 4879 . . . 4 (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
36 cnso 15196 . . . 4 𝑓 𝑓 Or ℂ
3735, 36exlimiiv 2022 . . 3 𝔸 ≼ ω
385ensymi 8242 . . 3 ω ≈ ℕ
39 domentr 8251 . . 3 ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
4037, 38, 39mp2an 675 . 2 𝔸 ≼ ℕ
4110, 29ssexi 4998 . . 3 𝔸 ∈ V
42 nnssq 12016 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
43 qssaa 24293 . . . 4 ℚ ⊆ 𝔸
4442, 43sstri 3807 . . 3 ℕ ⊆ 𝔸
45 ssdomg 8238 . . 3 (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
4641, 44, 45mp2 9 . 2 ℕ ≼ 𝔸
47 sbth 8319 . 2 ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
4840, 46, 47mp2an 675 1 𝔸 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  wss 3769   cuni 4630   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Or wor 5231  dom cdm 5311  ran crn 5312  Oncon0 5936   Fn wfn 6096  ontowfo 6099  cfv 6101  ωcom 7295  cen 8189  cdom 8190  Fincfn 8192  cardccrd 9044  cc 10219  0cc0 10221  cle 10360  cn 11305  0cn0 11559  cz 11643  cq 12007  abscabs 14197  0𝑝c0p 23650  Polycply 24154  coeffccoe 24156  degcdgr 24157  𝔸caa 24283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-0p 23651  df-ply 24158  df-idp 24159  df-coe 24160  df-dgr 24161  df-quot 24260  df-aa 24284
This theorem is referenced by:  aannen  24300
  Copyright terms: Public domain W3C validator