MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 26220
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 β‰ˆ β„•
Distinct variable group:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
21aannenlem2 26219 . . . . 5 𝔸 = βˆͺ ran 𝐻
3 omelon 9643 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ On
4 nn0ennn 13950 . . . . . . . . . . 11 β„•0 β‰ˆ β„•
5 nnenom 13951 . . . . . . . . . . 11 β„• β‰ˆ Ο‰
64, 5entri 9006 . . . . . . . . . 10 β„•0 β‰ˆ Ο‰
76ensymi 9002 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ β„•0
8 isnumi 9943 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•0) β†’ β„•0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 689 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ dom card
10 cnex 11193 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1110rabex 5325 . . . . . . . . . 10 {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6687 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn β„•0
13 dffn4 6805 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 ↔ 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻)
1412, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻
15 fodomnum 10054 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ dom card β†’ (𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻 β†’ ran 𝐻 β‰Ό β„•0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . 7 ran 𝐻 β‰Ό β„•0
17 domentr 9011 . . . . . . 7 ((ran 𝐻 β‰Ό β„•0 ∧ β„•0 β‰ˆ Ο‰) β†’ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
1816, 6, 17mp2an 689 . . . . . 6 ran 𝐻 β‰Ό Ο‰
19 fvelrnb 6946 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 β†’ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓)
211aannenlem1 26218 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ (π»β€˜π‘”) ∈ Fin)
22 eleq1 2815 . . . . . . . . . 10 ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ ((π»β€˜π‘”) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2321, 22syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin))
2423rexlimiv 3142 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2520, 24sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ran 𝐻 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2625ssriv 3981 . . . . . 6 ran 𝐻 βŠ† Fin
27 aasscn 26208 . . . . . . . 8 𝔸 βŠ† β„‚
282, 27eqsstrri 4012 . . . . . . 7 βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚
29 soss 5601 . . . . . . 7 (βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚ β†’ (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻)
31 iunfictbso 10111 . . . . . 6 ((ran 𝐻 β‰Ό Ο‰ ∧ ran 𝐻 βŠ† Fin ∧ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻) β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
3218, 26, 30, 31mp3an12i 1461 . . . . 5 (𝑓 Or β„‚ β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
332, 32eqbrtrid 5176 . . . 4 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝔸 β‰Ό Ο‰)
34 cnso 16197 . . . 4 βˆƒπ‘“ 𝑓 Or β„‚
3533, 34exlimiiv 1926 . . 3 𝔸 β‰Ό Ο‰
365ensymi 9002 . . 3 Ο‰ β‰ˆ β„•
37 domentr 9011 . . 3 ((𝔸 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝔸 β‰Ό β„•)
3835, 36, 37mp2an 689 . 2 𝔸 β‰Ό β„•
3910, 27ssexi 5315 . . 3 𝔸 ∈ V
40 nnssq 12946 . . . 4 β„• βŠ† β„š
41 qssaa 26214 . . . 4 β„š βŠ† 𝔸
4240, 41sstri 3986 . . 3 β„• βŠ† 𝔸
43 ssdomg 8998 . . 3 (𝔸 ∈ V β†’ (β„• βŠ† 𝔸 β†’ β„• β‰Ό 𝔸))
4439, 42, 43mp2 9 . 2 β„• β‰Ό 𝔸
45 sbth 9095 . 2 ((𝔸 β‰Ό β„• ∧ β„• β‰Ό 𝔸) β†’ 𝔸 β‰ˆ β„•)
4638, 44, 45mp2an 689 1 𝔸 β‰ˆ β„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Or wor 5580  dom cdm 5669  ran crn 5670  Oncon0 6358   Fn wfn 6532  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€˜cfv 6537  Ο‰com 7852   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  cardccrd 9932  β„‚cc 11110  0cc0 11112   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„šcq 12936  abscabs 15187  0𝑝c0p 25553  Polycply 26073  coeffccoe 26075  degcdgr 26076  π”Έcaa 26204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-0p 25554  df-ply 26077  df-idp 26078  df-coe 26079  df-dgr 26080  df-quot 26181  df-aa 26205
This theorem is referenced by:  aannen  26221
  Copyright terms: Public domain W3C validator