Theorem aannenlem3 26390

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})
2	1	aannenlem2 26389	. . . . 5 ⊢ 𝔸 = ∪ ran 𝐻
3		omelon 9715	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ On
4		nn0ennn 14030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
5		nnenom 14031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ≈ ω
6	4, 5	entri 9068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ≈ ω
7	6	ensymi 9064	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ0
8		isnumi 10015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
9	3, 7, 8	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ dom card
10		cnex 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	rabex 5357	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0} ∈ V
12	11, 1	fnmpti 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 Fn ℕ0
13		dffn4 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 ↔ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻
15		fodomnum 10126	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 ≼ ℕ0
17		domentr 9073	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
18	16, 6, 17	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ≼ ω
19		fvelrnb 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓)
21	1	aannenlem1 26388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑔) ∈ Fin)
22		eleq1 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → ((𝐻‘𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
23	21, 22	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin))
24	23	rexlimiv 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin)
25	20, 24	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 → 𝑓 ∈ Fin)
26	25	ssriv 4012	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ⊆ Fin
27		aasscn 26378	. . . . . . . 8 ⊢ 𝔸 ⊆ ℂ
28	2, 27	eqsstrri 4044	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ
29		soss 5628	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻)
31		iunfictbso 10183	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ∪ ran 𝐻) → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
32	18, 26, 30, 31	mp3an12i 1465	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Or ℂ → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
33	2, 32	eqbrtrid 5201	. . . 4 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34		cnso 16295	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓 Or ℂ
35	33, 34	exlimiiv 1930	. . 3 ⊢ 𝔸 ≼ ω
36	5	ensymi 9064	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
37		domentr 9073	. . 3 ⊢ ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
38	35, 36, 37	mp2an 691	. 2 ⊢ 𝔸 ≼ ℕ
39	10, 27	ssexi 5340	. . 3 ⊢ 𝔸 ∈ V
40		nnssq 13023	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
41		qssaa 26384	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
42	40, 41	sstri 4018	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ 𝔸
43		ssdomg 9060	. . 3 ⊢ (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
44	39, 42, 43	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ 𝔸
45		sbth 9159	. 2 ⊢ ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
46	38, 44, 45	mp2an 691	1 ⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Or wor 5606  dom cdm 5700  ran crn 5701  Oncon0 6395   Fn wfn 6568  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  cardccrd 10004  ℂcc 11182  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℚcq 13013  abscabs 15283  0_𝑝c0p 25723  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246  𝔸caa 26374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-idp 26248  df-coe 26249  df-dgr 26250  df-quot 26351  df-aa 26375

This theorem is referenced by:  aannen  26391