MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 25706
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 β‰ˆ β„•
Distinct variable group:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
21aannenlem2 25705 . . . . 5 𝔸 = βˆͺ ran 𝐻
3 omelon 9589 . . . . . . . . 9 Ο‰ ∈ On
4 nn0ennn 13891 . . . . . . . . . . 11 β„•0 β‰ˆ β„•
5 nnenom 13892 . . . . . . . . . . 11 β„• β‰ˆ Ο‰
64, 5entri 8955 . . . . . . . . . 10 β„•0 β‰ˆ Ο‰
76ensymi 8951 . . . . . . . . 9 Ο‰ β‰ˆ β„•0
8 isnumi 9889 . . . . . . . . 9 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•0) β†’ β„•0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 691 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ dom card
10 cnex 11139 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1110rabex 5294 . . . . . . . . . 10 {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6649 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn β„•0
13 dffn4 6767 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 ↔ 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻)
1412, 13mpbi 229 . . . . . . . 8 𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻
15 fodomnum 10000 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ dom card β†’ (𝐻:β„•0–ontoβ†’ran 𝐻 β†’ ran 𝐻 β‰Ό β„•0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . 7 ran 𝐻 β‰Ό β„•0
17 domentr 8960 . . . . . . 7 ((ran 𝐻 β‰Ό β„•0 ∧ β„•0 β‰ˆ Ο‰) β†’ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
1816, 6, 17mp2an 691 . . . . . 6 ran 𝐻 β‰Ό Ο‰
19 fvelrnb 6908 . . . . . . . . 9 (𝐻 Fn β„•0 β†’ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓)
211aannenlem1 25704 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ (π»β€˜π‘”) ∈ Fin)
22 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ ((π»β€˜π‘”) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2321, 22syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ β„•0 β†’ ((π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin))
2423rexlimiv 3146 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘” ∈ β„•0 (π»β€˜π‘”) = 𝑓 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2520, 24sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ran 𝐻 β†’ 𝑓 ∈ Fin)
2625ssriv 3953 . . . . . 6 ran 𝐻 βŠ† Fin
27 aasscn 25694 . . . . . . . 8 𝔸 βŠ† β„‚
282, 27eqsstrri 3984 . . . . . . 7 βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚
29 soss 5570 . . . . . . 7 (βˆͺ ran 𝐻 βŠ† β„‚ β†’ (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻)
31 iunfictbso 10057 . . . . . 6 ((ran 𝐻 β‰Ό Ο‰ ∧ ran 𝐻 βŠ† Fin ∧ 𝑓 Or βˆͺ ran 𝐻) β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
3218, 26, 30, 31mp3an12i 1466 . . . . 5 (𝑓 Or β„‚ β†’ βˆͺ ran 𝐻 β‰Ό Ο‰)
332, 32eqbrtrid 5145 . . . 4 (𝑓 Or β„‚ β†’ 𝔸 β‰Ό Ο‰)
34 cnso 16136 . . . 4 βˆƒπ‘“ 𝑓 Or β„‚
3533, 34exlimiiv 1935 . . 3 𝔸 β‰Ό Ο‰
365ensymi 8951 . . 3 Ο‰ β‰ˆ β„•
37 domentr 8960 . . 3 ((𝔸 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝔸 β‰Ό β„•)
3835, 36, 37mp2an 691 . 2 𝔸 β‰Ό β„•
3910, 27ssexi 5284 . . 3 𝔸 ∈ V
40 nnssq 12890 . . . 4 β„• βŠ† β„š
41 qssaa 25700 . . . 4 β„š βŠ† 𝔸
4240, 41sstri 3958 . . 3 β„• βŠ† 𝔸
43 ssdomg 8947 . . 3 (𝔸 ∈ V β†’ (β„• βŠ† 𝔸 β†’ β„• β‰Ό 𝔸))
4439, 42, 43mp2 9 . 2 β„• β‰Ό 𝔸
45 sbth 9044 . 2 ((𝔸 β‰Ό β„• ∧ β„• β‰Ό 𝔸) β†’ 𝔸 β‰ˆ β„•)
4638, 44, 45mp2an 691 1 𝔸 β‰ˆ β„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549  dom cdm 5638  ran crn 5639  Oncon0 6322   Fn wfn 6496  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  cardccrd 9878  β„‚cc 11056  0cc0 11058   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„šcq 12880  abscabs 15126  0𝑝c0p 25049  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564  π”Έcaa 25690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-aa 25691
This theorem is referenced by:  aannen  25707
  Copyright terms: Public domain W3C validator