Theorem aannenlem3 26236

Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aannenlem.a	⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})

Assertion

Ref	Expression
aannenlem3	⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aannenlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0})
2	1	aannenlem2 26235	. . . . 5 ⊢ 𝔸 = ∪ ran 𝐻
3		omelon 9542	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ On
4		nn0ennn 13886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
5		nnenom 13887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ≈ ω
6	4, 5	entri 8933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ≈ ω
7	6	ensymi 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ0
8		isnumi 9842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
9	3, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ dom card
10		cnex 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	rabex 5278	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐‘𝑏) = 0} ∈ V
12	11, 1	fnmpti 6625	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 Fn ℕ0
13		dffn4 6742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 ↔ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻)
14	12, 13	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻
15		fodomnum 9951	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0–onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
16	9, 14, 15	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝐻 ≼ ℕ0
17		domentr 8938	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
18	16, 6, 17	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ≼ ω
19		fvelrnb 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓)
21	1	aannenlem1 26234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑔) ∈ Fin)
22		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → ((𝐻‘𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
23	21, 22	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin))
24	23	rexlimiv 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑔) = 𝑓 → 𝑓 ∈ Fin)
25	20, 24	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ran 𝐻 → 𝑓 ∈ Fin)
26	25	ssriv 3939	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐻 ⊆ Fin
27		aasscn 26224	. . . . . . . 8 ⊢ 𝔸 ⊆ ℂ
28	2, 27	eqsstrri 3983	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ
29		soss 5547	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ∪ ran 𝐻)
31		iunfictbso 10008	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ∪ ran 𝐻) → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
32	18, 26, 30, 31	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Or ℂ → ∪ ran 𝐻 ≼ ω)
33	2, 32	eqbrtrid 5127	. . . 4 ⊢ (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
34		cnso 16156	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓 Or ℂ
35	33, 34	exlimiiv 1931	. . 3 ⊢ 𝔸 ≼ ω
36	5	ensymi 8929	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
37		domentr 8938	. . 3 ⊢ ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝔸 ≼ ℕ
39	10, 27	ssexi 5261	. . 3 ⊢ 𝔸 ∈ V
40		nnssq 12859	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
41		qssaa 26230	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
42	40, 41	sstri 3945	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ 𝔸
43		ssdomg 8925	. . 3 ⊢ (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
44	39, 42, 43	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ 𝔸
45		sbth 9014	. 2 ⊢ ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
46	38, 44, 45	mp2an 692	1 ⊢ 𝔸 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   Or wor 5526  dom cdm 5619  ran crn 5620  Oncon0 6307   Fn wfn 6477  –onto→wfo 6480  ‘cfv 6482  ωcom 7799   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870  Fincfn 8872  cardccrd 9831  ℂcc 11007  0cc0 11009   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℚcq 12849  abscabs 15141  0_𝑝c0p 25568  Polycply 26087  coeffccoe 26089  degcdgr 26090  𝔸caa 26220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-0p 25569  df-ply 26091  df-idp 26092  df-coe 26093  df-dgr 26094  df-quot 26197  df-aa 26221

This theorem is referenced by:  aannen  26237