MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqleltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqleltd 10475
Description: Equality in terms of 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 7-Apr-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
eqleltd (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem eqleltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 eqlelt 10419 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 580 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4847  cr 10227   < clt 10367  cle 10368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-resscn 10285  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-po 5237  df-so 5238  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373
This theorem is referenced by:  supaddc  11286  supmul1  11288  sqrlem7  14334  pcpremul  15885  vdwlem12  16033  dyadmaxlem  23709  pjnorm2  29115  fourierdlem41  41112  hoidmvlelem2  41560  ovolval2lem  41607
  Copyright terms: Public domain W3C validator