01sqrexlem7 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 01sqrexlem7 15159

Description: Lemma for 01sqrex 15160. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

**Assertion**
Ref	Expression
01sqrexlem7	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑦,𝑆 𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦 𝑦,𝐵 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑎,𝑏) 𝑆(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem7 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		01sqrexlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		01sqrexlem5.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	01sqrexlem6 15158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
5	1, 2	01sqrexlem3 15155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
7	1, 2	01sqrexlem4 15156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
9	8	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
10		rpre 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		rpre 12903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
16	11, 15	resubcld 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
18	15, 11	posdifd 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
19	18	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
20	17, 19	elrpd 12935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺)
21		3rp 12900	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
22		rpdivcl 12921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
24	9, 23	rpaddcld 12953	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺)
25	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		3nn 12213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
28		nndivre 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32		binom2 14128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
34	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36		2re 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37	25, 30	remulcld 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38		remulcl 11100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
41	30	resqcld 14036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
43	35, 40, 42	addassd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
44	33, 43	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45		2cn 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		mulass 11103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
47	45, 26, 31, 46	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
48	47	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
49	31	sqvald 14054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
50	48, 49	oveq12d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51		remulcl 11100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	36, 25, 51	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	53, 31, 31	adddird 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
55	50, 54	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
56	7	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57		1red 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58		2rp 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ⁺)
60	14, 57, 59	lemul2d 12982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
61	56, 60	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63		2t1e2 12292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
64	62, 63	breqtrdi 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
65	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66		1red 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
67	25	sqge0d 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
68	65, 34	addge01d 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
69	67, 68	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
70	65, 34, 65	lesubaddd 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
71	69, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
73	17, 65, 66, 71, 72	letrd 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74		1le3 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≤ 3
75		1re 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		3re 12214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
77		letr 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
78	75, 76, 77	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
79	17, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
80	74, 79	mpan2i 697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
81	73, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82		3t1e3 12294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
83	81, 82	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84		3pos 12239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 3
85		ledivmul 12007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
86	75, 85	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
87	76, 84, 86	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
88	17, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
89	83, 88	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90		le2add 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
91	36, 75, 90	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
92	52, 30, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
93	64, 89, 92	mp2and 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94		df-3 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	93, 94	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
96	52, 30	readdcld 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
97	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
98	96, 97, 23	lemul1d 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
99	95, 98	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
100	17	recnd 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101		3cn 12215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
102		3ne0 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
103		divcan2 11793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104	101, 102, 103	mp3an23 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105	100, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106	99, 105	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
107	55, 106	eqbrtrd 5117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
108	39, 41	readdcld 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
109	34, 108, 65	leaddsub2d 11728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110	107, 109	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
111	44, 110	eqbrtrd 5117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112		oveq1 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113	112	breq1d 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114		oveq1 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115	114	breq1d 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116	115	cbvrabv 3406	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
117	1, 116	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118	113, 117	elrab2 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
119	24, 111, 118	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120		suprub 12092	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121	120, 2	breqtrrdi 5137	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
122	6, 119, 121	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
123	23	rpgt0d 12941	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
124	29, 14	ltaddposd 11710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
125	14, 29	readdcld 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
126	14, 125	ltnled 11269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127	124, 126	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128	127	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129	123, 128	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130	122, 129	pm2.65da 816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
131	15, 11	eqleltd 11266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
132	4, 130, 131	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 {cab 2711 ≠ wne 2929 ∀wral 3048 ∃wrex 3057 {crab 3396 ⊆ wss 3898 ∅c0 4282 class class class wbr 5095 (class class class)co 7354 supcsup 9333 ℂcc 11013 ℝcr 11014 0cc0 11015 1c1 11016 + caddc 11018 · cmul 11020 < clt 11155 ≤ cle 11156 − cmin 11353 / cdiv 11783 ℕcn 12134 2c2 12189 3c3 12190 ℝ⁺crp 12894 ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7676 ax-cnex 11071 ax-resscn 11072 ax-1cn 11073 ax-icn 11074 ax-addcl 11075 ax-addrcl 11076 ax-mulcl 11077 ax-mulrcl 11078 ax-mulcom 11079 ax-addass 11080 ax-mulass 11081 ax-distr 11082 ax-i2m1 11083 ax-1ne0 11084 ax-1rid 11085 ax-rnegex 11086 ax-rrecex 11087 ax-cnre 11088 ax-pre-lttri 11089 ax-pre-lttrn 11090 ax-pre-ltadd 11091 ax-pre-mulgt0 11092 ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4861 df-iun 4945 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7311 df-ov 7357 df-oprab 7358 df-mpo 7359 df-om 7805 df-2nd 7930 df-frecs 8219 df-wrecs 8250 df-recs 8299 df-rdg 8337 df-er 8630 df-en 8878 df-dom 8879 df-sdom 8880 df-sup 9335 df-pnf 11157 df-mnf 11158 df-xr 11159 df-ltxr 11160 df-le 11161 df-sub 11355 df-neg 11356 df-div 11784 df-nn 12135 df-2 12197 df-3 12198 df-n0 12391 df-z 12478 df-uz 12741 df-rp 12895 df-seq 13913 df-exp 13973

This theorem is referenced by: 01sqrex 15160

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