MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrexlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01sqrexlem7 15213
Description: Lemma for 01sqrex 15214. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
01sqrexlem1.1 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
01sqrexlem1.2 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
01sqrexlem5.3 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
Assertion
Ref Expression
01sqrexlem7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘ฆ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘Ž,๐ด,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem 01sqrexlem7
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 01sqrexlem1.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
2 01sqrexlem1.2 . . 3 ๐ต = sup(๐‘†, โ„, < )
3 01sqrexlem5.3 . . 3 ๐‘‡ = {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘† โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฆ = (๐‘Ž ยท ๐‘)}
41, 2, 301sqrexlem6 15212 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด)
51, 201sqrexlem3 15209 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฆ))
65adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฆ))
71, 201sqrexlem4 15210 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โ‰ค 1))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โ‰ค 1))
98simpld 494 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
10 rpre 13000 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
12 rpre 13000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โ‰ค 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514resqcld 14107 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
1611, 15resubcld 11658 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1815, 11posdifd 11817 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐ตโ†‘2) < ๐ด โ†” 0 < (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
1918biimpa 476 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
2017, 19elrpd 13031 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„+)
21 3rp 12998 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„+
22 rpdivcl 13017 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„+ โˆง 3 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„+)
2320, 21, 22sylancl 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„+)
249, 23rpaddcld 13049 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„+)
2514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2625recnd 11258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
27 3nn 12307 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12269 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„)
2916, 27, 28sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„)
3130recnd 11258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„‚)
32 binom2 14198 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)))
3326, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) = (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)))
3415adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
3534recnd 11258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 2re 12302 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3725, 30remulcld 11260 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„)
38 remulcl 11209 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) โˆˆ โ„)
3936, 37, 38sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) โˆˆ โ„)
4039recnd 11258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) โˆˆ โ„‚)
4130resqcld 14107 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2) โˆˆ โ„)
4241recnd 11258 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4335, 40, 42addassd 11252 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) + (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2))))
4433, 43eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) + ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2))))
45 2cn 12303 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
46 mulass 11212 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
4745, 26, 31, 46mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
4847eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) = ((2 ยท ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))
4931sqvald 14125 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2) = (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))
5048, 49oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) = (((2 ยท ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
51 remulcl 11209 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5236, 25, 51sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5352recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5453, 31, 31adddird 11255 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (((2 ยท ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
5550, 54eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) = (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))
567simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ๐ต โ‰ค 1)
57 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
58 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„+
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
6014, 57, 59lemul2d 13078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ต โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐ต) โ‰ค (2 ยท 1)))
6156, 60mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ๐ต) โ‰ค (2 ยท 1))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ต) โ‰ค (2 ยท 1))
63 2t1e2 12391 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 1) = 2
6462, 63breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ต) โ‰ค 2)
6511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
66 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6725sqge0d 14119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘2))
6865, 34addge01d 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (๐ตโ†‘2) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + (๐ตโ†‘2))))
6967, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + (๐ตโ†‘2)))
7065, 34, 65lesubaddd 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค ๐ด โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + (๐ตโ†‘2))))
7169, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค ๐ด)
72 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
7317, 65, 66, 71, 72letrd 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 1)
74 1le3 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โ‰ค 3
75 1re 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
76 3re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 โˆˆ โ„
77 letr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค 3) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 3))
7875, 76, 77mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค 3) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 3))
7917, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค 3) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 3))
8074, 79mpan2i 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 1 โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 3))
8173, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 3)
82 3t1e3 12393 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ยท 1) = 3
8381, 82breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค (3 ยท 1))
84 3pos 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 3
85 ledivmul 12106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค (3 ยท 1)))
8675, 85mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค (3 ยท 1)))
8776, 84, 86mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค (3 ยท 1)))
8817, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1 โ†” (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค (3 ยท 1)))
8983, 88mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1)
90 le2add 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„)) โ†’ (((2 ยท ๐ต) โ‰ค 2 โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (2 + 1)))
9136, 75, 90mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ๐ต) โ‰ค 2 โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (2 + 1)))
9252, 30, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ต) โ‰ค 2 โˆง ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (2 + 1)))
9364, 89, 92mp2and 698 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (2 + 1))
94 df-3 12292 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
9593, 94breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค 3)
9652, 30readdcld 11259 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„)
9776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
9896, 97, 23lemul1d 13077 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค 3 โ†” (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (3 ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
9995, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (3 ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)))
10017recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
101 3cn 12309 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
102 3ne0 12334 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
103 divcan2 11896 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (3 ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
104101, 102, 103mp3an23 1450 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
105100, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (3 ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) = (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
10699, 105breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
10755, 106eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) โ‰ค (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
10839, 41readdcld 11259 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
10934, 108, 65leaddsub2d 11832 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (((๐ตโ†‘2) + ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2))) โ‰ค ๐ด โ†” ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2)) โ‰ค (๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
110107, 109mpbird 257 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + ((2 ยท (๐ต ยท ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))) + (((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)โ†‘2))) โ‰ค ๐ด)
11144, 110eqbrtrd 5164 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) โ‰ค ๐ด)
112 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2))
113112breq1d 5152 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
114 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
115114breq1d 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด))
116115cbvrabv 3437 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐ด} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
1171, 116eqtri 2755 . . . . . 6 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆฃ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐ด}
118113, 117elrab2 3683 . . . . 5 ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„+ โˆง ((๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))โ†‘2) โ‰ค ๐ด))
11924, 111, 118sylanbrc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ ๐‘†)
120 suprub 12191 . . . . 5 (((๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค sup(๐‘†, โ„, < ))
121120, 2breqtrrdi 5184 . . . 4 (((๐‘† โІ โ„ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฆ) โˆง (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต)
1226, 119, 121syl2anc 583 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต)
12323rpgt0d 13037 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ 0 < ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))
12429, 14ltaddposd 11814 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (0 < ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ†” ๐ต < (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3))))
12514, 29readdcld 11259 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โˆˆ โ„)
12614, 125ltnled 11377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ต < (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ†” ยฌ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต))
127124, 126bitrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (0 < ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3) โ†” ยฌ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต))
128127biimpa 476 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง 0 < ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ†’ ยฌ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต)
129123, 128syldan 590 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (๐ตโ†‘2) < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ต + ((๐ด โˆ’ (๐ตโ†‘2)) / 3)) โ‰ค ๐ต)
130122, 129pm2.65da 816 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ยฌ (๐ตโ†‘2) < ๐ด)
13115, 11eqleltd 11374 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ๐ด โ†” ((๐ตโ†‘2) โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ (๐ตโ†‘2) < ๐ด)))
1324, 130, 131mpbir2and 712 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {cab 2704   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  {crab 3427   โІ wss 3944  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  supcsup 9449  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  โ„+crp 12992  โ†‘cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  01sqrex  15214
  Copyright terms: Public domain W3C validator