01sqrexlem7 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 01sqrexlem7 15318

Description: Lemma for 01sqrex 15319. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

**Assertion**
Ref	Expression
01sqrexlem7	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑦,𝑆 𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦 𝑦,𝐵 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥, 𝑎, 𝑏) 𝑆(𝑥) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem7 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		01sqrexlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		01sqrexlem5.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	01sqrexlem6 15317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
5	1, 2	01sqrexlem3 15314	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
7	1, 2	01sqrexlem4 15315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
9	8	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
10		rpre 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		rpre 13036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
16	11, 15	resubcld 11653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
18	15, 11	posdifd 11812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
19	18	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
20	17, 19	elrpd 13068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺)
21		3rp 13033	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
22		rpdivcl 13054	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
24	9, 23	rpaddcld 13086	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺)
25	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		3nn 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
28		nndivre 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32		binom2 14266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
33	26, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
34	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36		2re 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37	25, 30	remulcld 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38		remulcl 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
41	30	resqcld 14174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
43	35, 40, 42	addassd 11242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
44	33, 43	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45		2cn 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		mulass 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
47	45, 26, 31, 46	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
48	47	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
49	31	sqvald 14192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
50	48, 49	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51		remulcl 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	36, 25, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	53, 31, 31	adddird 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
55	50, 54	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
56	7	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58		2rp 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ⁺)
60	14, 57, 59	lemul2d 13115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
61	56, 60	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63		2t1e2 12414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
64	62, 63	breqtrdi 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
65	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
67	25	sqge0d 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
68	65, 34	addge01d 11813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
69	67, 68	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
70	65, 34, 65	lesubaddd 11822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
71	69, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
73	17, 65, 66, 71, 72	letrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74		1le3 12466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≤ 3
75		1re 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		3re 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
77		letr 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
78	75, 76, 77	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
79	17, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
80	74, 79	mpan2i 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
81	73, 80	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82		3t1e3 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
83	81, 82	breqtrrdi 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84		3pos 12360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 3
85		ledivmul 12102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
86	75, 85	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
87	76, 84, 86	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
88	17, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
89	83, 88	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90		le2add 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
91	36, 75, 90	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
92	52, 30, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
93	64, 89, 92	mp2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94		df-3 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	93, 94	breqtrrdi 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
96	52, 30	readdcld 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
97	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
98	96, 97, 23	lemul1d 13114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
100	17	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101		3cn 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
102		3ne0 12361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
103		divcan2 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104	101, 102, 103	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105	100, 104	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106	99, 105	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
107	55, 106	eqbrtrd 5135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
108	39, 41	readdcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
109	34, 108, 65	leaddsub2d 11827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110	107, 109	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
111	44, 110	eqbrtrd 5135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113	112	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115	114	breq1d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116	115	cbvrabv 3428	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
117	1, 116	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118	113, 117	elrab2 3656	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
119	24, 111, 118	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120		suprub 12187	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121	120, 2	breqtrrdi 5155	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
122	6, 119, 121	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
123	23	rpgt0d 13074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
124	29, 14	ltaddposd 11809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
125	14, 29	readdcld 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
126	14, 125	ltnled 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127	124, 126	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128	127	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129	123, 128	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130	122, 129	pm2.65da 829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
131	15, 11	eqleltd 11365	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
132	4, 130, 131	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 {cab 2743 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 ∃wrex 3091 {crab 3418 ⊆ wss 3906 ∅c0 4286 class class class wbr 5111 (class class class)co 7416 supcsup 9403 ℂcc 11109 ℝcr 11110 0cc0 11111 1c1 11112 + caddc 11114 · cmul 11116 < clt 11254 ≤ cle 11255 − cmin 11452 / cdiv 11882 ℕcn 12244 2c2 12306 3c3 12307 ℝ⁺crp 13027 ↑cexp 14110

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188 ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7865 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-er 8696 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-sup 9405 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-div 11883 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-n0 12516 df-z 12603 df-uz 12874 df-rp 13028 df-seq 14051 df-exp 14111

This theorem is used by: 01sqrex 15319

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