01sqrexlem7 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 01sqrexlem7		Structured version Visualization version GIF version

Theorem 01sqrexlem7 15456

Description: Lemma for 01sqrex 15457. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
01sqrexlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
01sqrexlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
01sqrexlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

**Assertion**
Ref	Expression
01sqrexlem7	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑦,𝑆 𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦 𝑦,𝐵 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥, 𝑎, 𝑏) 𝑆(𝑥) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem 01sqrexlem7 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		01sqrexlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		01sqrexlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		01sqrexlem5.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	01sqrexlem6 15455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
5	1, 2	01sqrexlem3 15452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
7	1, 2	01sqrexlem4 15453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
9	8	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
10		rpre 13167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		rpre 13167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
16	11, 15	resubcld 11781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
18	15, 11	posdifd 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
19	18	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
20	17, 19	elrpd 13199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺)
21		3rp 13164	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
22		rpdivcl 13185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
24	9, 23	rpaddcld 13217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺)
25	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		3nn 12460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
28		nndivre 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32		binom2 14400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
33	26, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
34	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36		2re 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37	25, 30	remulcld 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38		remulcl 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
41	30	resqcld 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
43	35, 40, 42	addassd 11368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
44	33, 43	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45		2cn 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		mulass 11325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
47	45, 26, 31, 46	mp3an2i 1496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
48	47	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
49	31	sqvald 14324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
50	48, 49	oveq12d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51		remulcl 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	36, 25, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	53, 31, 31	adddird 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
55	50, 54	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
56	7	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57		1red 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58		2rp 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ⁺)
60	14, 57, 59	lemul2d 13246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
61	56, 60	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63		2t1e2 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
64	62, 63	breqtrdi 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
65	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66		1red 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
67	25	sqge0d 14318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
68	65, 34	addge01d 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
69	67, 68	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
70	65, 34, 65	lesubaddd 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
71	69, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
73	17, 65, 66, 71, 72	letrd 11504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74		1le3 12595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≤ 3
75		1re 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		3re 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
77		letr 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
78	75, 76, 77	mp3an23 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
79	17, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
80	74, 79	mpan2i 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
81	73, 80	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82		3t1e3 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
83	81, 82	breqtrrdi 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84		3pos 12489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 3
85		ledivmul 12231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
86	75, 85	mp3an2 1479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
87	76, 84, 86	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
88	17, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
89	83, 88	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90		le2add 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
91	36, 75, 90	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
92	52, 30, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
93	64, 89, 92	mp2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94		df-3 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	93, 94	breqtrrdi 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
96	52, 30	readdcld 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
97	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
98	96, 97, 23	lemul1d 13245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
100	17	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101		3cn 12462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
102		3ne0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
103		divcan2 12020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104	101, 102, 103	mp3an23 1483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105	100, 104	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106	99, 105	breqtrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
107	55, 106	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
108	39, 41	readdcld 11375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
109	34, 108, 65	leaddsub2d 11956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110	107, 109	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
111	44, 110	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112		oveq1 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113	112	breq1d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114		oveq1 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115	114	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116	115	cbvrabv 3426	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
117	1, 116	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118	113, 117	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
119	24, 111, 118	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120		suprub 12316	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121	120, 2	breqtrrdi 5151	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
122	6, 119, 121	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
123	23	rpgt0d 13205	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
124	29, 14	ltaddposd 11938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
125	14, 29	readdcld 11375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
126	14, 125	ltnled 11494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127	124, 126	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128	127	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129	123, 128	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130	122, 129	pm2.65da 829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
131	15, 11	eqleltd 11491	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
132	4, 130, 131	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 {cab 2741 ≠ wne 2959 ∀wral 3080 ∃wrex 3090 {crab 3416 ⊆ wss 3900 ∅c0 4281 class class class wbr 5106 (class class class)co 7449 supcsup 9467 ℂcc 11235 ℝcr 11236 0cc0 11237 1c1 11238 + caddc 11240 · cmul 11242 < clt 11380 ≤ cle 11381 − cmin 11578 / cdiv 12011 ℕcn 12373 2c2 12435 3c3 12436 ℝ⁺crp 13158 ↑cexp 14242

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7781 ax-cnex 11293 ax-resscn 11294 ax-1cn 11295 ax-icn 11296 ax-addcl 11297 ax-addrcl 11298 ax-mulcl 11299 ax-mulrcl 11300 ax-mulcom 11301 ax-addass 11302 ax-mulass 11303 ax-distr 11304 ax-i2m1 11305 ax-1ne0 11306 ax-1rid 11307 ax-rnegex 11308 ax-rrecex 11309 ax-cnre 11310 ax-pre-lttri 11311 ax-pre-lttrn 11312 ax-pre-ltadd 11313 ax-pre-mulgt0 11314 ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6328 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6518 df-fun 6566 df-fn 6567 df-f 6568 df-f1 6569 df-fo 6570 df-f1o 6571 df-fv 6572 df-riota 7406 df-ov 7452 df-oprab 7453 df-mpo 7454 df-om 7910 df-2nd 8034 df-frecs 8335 df-wrecs 8366 df-recs 8415 df-rdg 8454 df-er 8753 df-en 9010 df-dom 9011 df-sdom 9012 df-sup 9469 df-pnf 11382 df-mnf 11383 df-xr 11384 df-ltxr 11385 df-le 11386 df-sub 11580 df-neg 11581 df-div 12012 df-nn 12374 df-2 12443 df-3 12444 df-n0 12645 df-z 12732 df-uz 13004 df-rp 13159 df-seq 14183 df-exp 14243

This theorem is used by: 01sqrex 15457

W3C validator