Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones22 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones22 41572
Description: Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 26-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones22.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones22.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones22.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
sticksstones22.4 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones22 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖   πœ‘,𝑓,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)
Proof of Theorem sticksstones22
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones22.4 . . . 4 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)})
32fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}))
4 sticksstones22.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 breq2 5146 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0))
65anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)))
76abbidv 2796 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)})
87fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)}))
9 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ + (β™―β€˜π‘†)) = (0 + (β™―β€˜π‘†)))
109oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
118, 10eqeq12d 2743 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) ↔ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)}) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))))
12 breq2 5146 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦))
1312anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)))
1413abbidv 2796 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)})
1514fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}))
16 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + (β™―β€˜π‘†)) = (𝑦 + (β™―β€˜π‘†)))
1716oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
1815, 17eqeq12d 2743 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) ↔ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))))
19 breq2 5146 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1)))
2019anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))))
2120abbidv 2796 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))})
2221fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))}))
23 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ + (β™―β€˜π‘†)) = ((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†)))
2423oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
2522, 24eqeq12d 2743 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) ↔ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))}) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))))
26 breq2 5146 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯ ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁))
2726anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)))
2827abbidv 2796 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)})
2928fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}))
30 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ + (β™―β€˜π‘†)) = (𝑁 + (β™―β€˜π‘†)))
3130oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
3229, 31eqeq12d 2743 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ π‘₯)}) = ((π‘₯ + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) ↔ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))))
33 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)
35 sticksstones22.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Fin)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
3837ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
3936, 38fsumnn0cl 15706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
4033, 39syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
4140nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
42 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
4340nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
4442, 43lenltd 11382 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ↔ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < 0))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < 0)
4634, 45jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < 0))
4743, 42eqleltd 11380 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0 ↔ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < 0)))
4846, 47mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)
4933, 48jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0))
5049ex 412 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)))
51 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
52 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)
53 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5453leidd 11802 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ 0 ≀ 0)
5552, 54eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)
5651, 55jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0))
5756ex 412 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)))
5850, 57impbid 211 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)))
5958abbidv 2796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)})
6059fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)}) = (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)}))
61 0nn0 12509 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
63 sticksstones22.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
64 eqid 2727 . . . . . . 7 {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)}
6562, 35, 63, 64sticksstones21 41571 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)}) = ((0 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
66 hashnncl 14349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
6735, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
6867bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•))
6968biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•))
7063, 69mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•)
7170nncnd 12250 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
72 1cnd 11231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
7371, 72subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
7473addlidd 11437 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))
7574oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = (((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
76 nnm1nn0 12535 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
7770, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
78 bcnn 14295 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = 1)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = 1)
8075, 79eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = 1)
81 eqidd 2728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 = 1)
8270nnnn0d 12554 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
83 bcnn 14295 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘†)C(β™―β€˜π‘†)) = 1)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†)C(β™―β€˜π‘†)) = 1)
8584eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 = ((β™―β€˜π‘†)C(β™―β€˜π‘†)))
8671addlidd 11437 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (β™―β€˜π‘†)) = (β™―β€˜π‘†))
8786eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) = (0 + (β™―β€˜π‘†)))
8887oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†)C(β™―β€˜π‘†)) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
8985, 88eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
9080, 81, 893eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
9165, 90eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = 0)}) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
9260, 91eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 0)}) = ((0 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
93 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
94 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))
9535ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
96 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
9796ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
9895, 97fsumnn0cl 15706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
9993, 98syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
10099nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
101 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
104 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
105103, 104readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
106100, 105leloed 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1) ↔ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1) ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
10794, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1) ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))
10899nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„€)
109 nn0z 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„€)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
112 zleltp1 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1)))
113112bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦))
114108, 111, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦))
115114orbi1d 915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ ((Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1) ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)) ↔ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
116107, 115mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))
11793, 116jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
118 andi 1006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ↔ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
119118bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ↔ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦 ∨ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
120117, 119sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
121120ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1)) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))))
122 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
123122, 98syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
124123nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
125102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
126 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 1 ∈ ℝ)
127125, 126readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
128 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)
129125lep1d 12167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑦 + 1))
130124, 125, 127, 128, 129letrd 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))
131122, 130jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1)))
132131ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))))
133 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
134 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))
135102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
136 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
137135, 136readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
138137leidd 11802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ (𝑦 + 1) ≀ (𝑦 + 1))
139134, 138eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))
140133, 139jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1)))
141140ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))))
142132, 141jaod 858 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))))
143121, 142impbid 211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1)) ↔ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))))
144143abbidv 2796 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))} = {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))})
145 unab 4294 . . . . . . . . . 10 ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))}
146145a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))})
147146eqcomd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∨ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))} = ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}))
148144, 147eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))} = ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}))
149148adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))} = ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}))
150149fveq2d 6895 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))}) = (β™―β€˜({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})))
15135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
152 fzfid 13962 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (0...𝑦) ∈ Fin)
153151, 152jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 ∈ Fin ∧ (0...𝑦) ∈ Fin))
154 xpfi 9333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (0...𝑦) ∈ Fin) β†’ (𝑆 Γ— (0...𝑦)) ∈ Fin)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 Γ— (0...𝑦)) ∈ Fin)
156 pwfi 9194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Γ— (0...𝑦)) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑆 Γ— (0...𝑦)) ∈ Fin)
157155, 156sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝒫 (𝑆 Γ— (0...𝑦)) ∈ Fin)
158 fsetsspwxp 8863 . . . . . . . . . . 11 {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦)} βŠ† 𝒫 (𝑆 Γ— (0...𝑦))
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦)} βŠ† 𝒫 (𝑆 Γ— (0...𝑦)))
160157, 159ssfid 9283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦)} ∈ Fin)
161 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 β†’ 𝑓 Fn 𝑆)
162122, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑓 Fn 𝑆)
163 0zd 12592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
164110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
166122ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
167166nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ β„€)
168166nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘ ))
169128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)
170125ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
171166nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
173124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
175 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ ))
176 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ πœ‘)
177 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
178 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
179176, 177, 178jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0))
180 difssd 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑆)
18135, 180ssfid 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
184 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) β†’ 𝑖 ∈ 𝑆)
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ 𝑖 ∈ 𝑆)
18697adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
187185, 186mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
188183, 187fsumnn0cl 15706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
189179, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
190189nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–))
191 difssd 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑆)
19295, 191ssfid 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
193192, 187fsumnn0cl 15706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
194179, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
195194nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
196171, 195addge01d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ↔ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–))))
197190, 196mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
198 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
199179, 198jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
200 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)
201 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑖(π‘“β€˜π‘ )
20295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
20397adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
204203nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„‚)
205 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
206 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑠 β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘“β€˜π‘ ))
207200, 201, 202, 204, 205, 206fsumsplit1 15715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
208199, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
209208eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
210197, 209breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
211210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
212170, 172, 174, 175, 211ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑦 < Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
213170, 174ltnled 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑦 < Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ↔ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦))
214212, 213mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)
215169, 214pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Β¬ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ ))
216215pm2.01da 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ ))
217177, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
218171, 217lenltd 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 < (π‘“β€˜π‘ )))
219216, 218mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ 𝑦)
220163, 165, 167, 168, 219elfzd 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...𝑦))
221220ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...𝑦))
222162, 221jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ (𝑓 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...𝑦)))
223 ffnfv 7123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦) ↔ (𝑓 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...𝑦)))
224222, 223sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦))
225224ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦)))
226225ss2abdv 4056 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βŠ† {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...𝑦)})
227160, 226ssfid 9283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∈ Fin)
228227adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∈ Fin)
229 fzfid 13962 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (0...(𝑦 + 1)) ∈ Fin)
230151, 229jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 ∈ Fin ∧ (0...(𝑦 + 1)) ∈ Fin))
231 xpfi 9333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (0...(𝑦 + 1)) ∈ Fin) β†’ (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))) ∈ Fin)
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))) ∈ Fin)
233 pwfi 9194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))) ∈ Fin)
234232, 233sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ 𝒫 (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))) ∈ Fin)
235 fsetsspwxp 8863 . . . . . . . . . . 11 {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1))} βŠ† 𝒫 (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1)))
236235a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1))} βŠ† 𝒫 (𝑆 Γ— (0...(𝑦 + 1))))
237234, 236ssfid 9283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1))} ∈ Fin)
238161ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ 𝑓 Fn 𝑆)
239 0zd 12592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
240 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
241240nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
242241peano2zd 12691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„€)
243133ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
244243nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ β„€)
245243nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘ ))
246134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))
247137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
248133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆβ„•0)
249 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
250248, 249ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ β„•0)
251250nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
252246, 247eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
253 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ ))
254133, 188syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
255254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
257256nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–))
258256nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
259251, 258addge01d 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–) ↔ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–))))
260257, 259mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
261133, 207syldanl 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
262261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)))
263262eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) + Σ𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠})(π‘“β€˜π‘–)) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
264260, 263breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
265247, 251, 252, 253, 264ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑦 + 1) < Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
266247, 265ltned 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑦 + 1) β‰  Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–))
267266necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (𝑦 + 1))
268246, 267pm2.21ddne 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )) β†’ Β¬ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ ))
269268pm2.01da 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ ))
270243nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
271137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
272270, 271lenltd 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) ≀ (𝑦 + 1) ↔ Β¬ (𝑦 + 1) < (π‘“β€˜π‘ )))
273269, 272mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ≀ (𝑦 + 1))
274239, 242, 244, 245, 273elfzd 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...(𝑦 + 1)))
275274ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...(𝑦 + 1)))
276238, 275jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ (𝑓 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...(𝑦 + 1))))
277 ffnfv 7123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1)) ↔ (𝑓 Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (0...(𝑦 + 1))))
278276, 277sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1)))
279278ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1))))
280279ss2abdv 4056 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))} βŠ† {𝑓 ∣ 𝑓:π‘†βŸΆ(0...(𝑦 + 1))})
281237, 280ssfid 9283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))} ∈ Fin)
282281adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))} ∈ Fin)
283 inab 4295 . . . . . . . . . 10 ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∩ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))}
284283a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∩ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))})
28598adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„•0)
286285nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ β„€)
287286zred 12688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ∈ ℝ)
288125ltp1d 12166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 < (𝑦 + 1))
289287, 125, 127, 128, 288lelttrd 11394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) < (𝑦 + 1))
290287, 289ltned 11372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (𝑦 + 1))
291290neneqd 2940 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Β¬ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))
292291intnand 488 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Β¬ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))
293 nan 829 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ Β¬ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ Β¬ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
294292, 293mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ Β¬ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
295294alrimiv 1923 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘“ Β¬ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
296 ab0 4370 . . . . . . . . . 10 ({𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘“ Β¬ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))))
297295, 296sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ {𝑓 ∣ ((𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦) ∧ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1)))} = βˆ…)
298284, 297eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∩ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = βˆ…)
299298adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∩ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = βˆ…)
300 hashun 14365 . . . . . . 7 (({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))} ∈ Fin ∧ ({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} ∩ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})) = ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) + (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})))
301228, 282, 299, 300syl3anc 1369 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})) = ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) + (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})))
302 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
303 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
304 1nn0 12510 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
305304a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 1 ∈ β„•0)
306303, 305nn0addcld 12558 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (𝑦 + 1) ∈ β„•0)
30735ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
30863ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
309 eqid 2727 . . . . . . . . 9 {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))} = {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}
310306, 307, 308, 309sticksstones21 41571 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))}) = (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
311302, 310oveq12d 7432 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) + (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})) = (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))))
312303nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
313 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ 1 ∈ β„‚)
31471ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
315312, 313, 314ppncand 11633 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = (𝑦 + (β™―β€˜π‘†)))
316315oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1)))
317316oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))) = (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))))
31882ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
319303, 318nn0addcld 12558 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) ∈ β„•0)
320318nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„€)
321 bcpasc 14304 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„€) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))) = (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) + 1)C(β™―β€˜π‘†)))
322319, 320, 321syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))) = (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) + 1)C(β™―β€˜π‘†)))
323317, 322eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))) = (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) + 1)C(β™―β€˜π‘†)))
324312, 314, 313add32d 11463 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) + 1) = ((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†)))
325324oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†)) + 1)C(β™―β€˜π‘†)) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
326323, 325eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)) + (((𝑦 + 1) + ((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))C((β™―β€˜π‘†) βˆ’ 1))) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
327311, 326eqtrd 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) + (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
328301, 327eqtrd 2767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜({𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)} βˆͺ {𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) = (𝑦 + 1))})) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
329150, 328eqtrd 2767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑦)}) = ((𝑦 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†))) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ (𝑦 + 1))}) = (((𝑦 + 1) + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
33011, 18, 25, 32, 92, 329nn0indd 12681 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
3314, 330mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘–) ≀ 𝑁)}) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
3323, 331eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + (β™―β€˜π‘†))C(β™―β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  ...cfz 13508  Ccbc 14285  β™―chash 14313  Ξ£csu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  sticksstones23  41573
  Copyright terms: Public domain W3C validator