Theorem pjnorm2 30838

Description: A vector belongs to the subspace of a projection iff the norm of its projection equals its norm. This and pjch 30805 yield Theorem 26.3 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 7-Apr-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjnorm2	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem pjnorm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhcl 30512	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)
2		normcl 30236	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		normcl 30236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	3, 5	eqleltd 11337	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ ¬ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))))
7		pjnorm 30835	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴))
8	7	biantrurd 533	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (¬ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘𝐴) ∧ ¬ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴))))
9		pjnel 30837	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴)))
10	9	con1bid 355	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (¬ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) < (normℎ‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ 𝐻))
11	6, 8, 10	3bitr2rd 307	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ 𝐻 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  ‘cfv 6529  ℝcr 11088   < clt 11227   ≤ cle 11228   ℋchba 30030  norm_ℎcno 30034   C_ℋ cch 30040  proj_ℎcpjh 30048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615  ax-cc 10409  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167  ax-addf 11168  ax-mulf 11169  ax-hilex 30110  ax-hfvadd 30111  ax-hvcom 30112  ax-hvass 30113  ax-hv0cl 30114  ax-hvaddid 30115  ax-hfvmul 30116  ax-hvmulid 30117  ax-hvmulass 30118  ax-hvdistr1 30119  ax-hvdistr2 30120  ax-hvmul0 30121  ax-hfi 30190  ax-his1 30193  ax-his2 30194  ax-his3 30195  ax-his4 30196  ax-hcompl 30313

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7650  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-oadd 8449  df-omul 8450  df-er 8683  df-map 8802  df-pm 8803  df-ixp 8872  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fsupp 9342  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9484  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-q 12912  df-rp 12954  df-xneg 13071  df-xadd 13072  df-xmul 13073  df-ioo 13307  df-ico 13309  df-icc 13310  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-fl 13736  df-seq 13946  df-exp 14007  df-hash 14270  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15612  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-hom 17200  df-cco 17201  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-submnd 18645  df-mulg 18920  df-cntz 19144  df-cmn 19611  df-psmet 20865  df-xmet 20866  df-met 20867  df-bl 20868  df-mopn 20869  df-fbas 20870  df-fg 20871  df-cnfld 20874  df-top 22320  df-topon 22337  df-topsp 22359  df-bases 22373  df-cld 22447  df-ntr 22448  df-cls 22449  df-nei 22526  df-cn 22655  df-cnp 22656  df-lm 22657  df-haus 22743  df-tx 22990  df-hmeo 23183  df-fil 23274  df-fm 23366  df-flim 23367  df-flf 23368  df-xms 23750  df-ms 23751  df-tms 23752  df-cfil 24696  df-cau 24697  df-cmet 24698  df-grpo 29604  df-gid 29605  df-ginv 29606  df-gdiv 29607  df-ablo 29656  df-vc 29670  df-nv 29703  df-va 29706  df-ba 29707  df-sm 29708  df-0v 29709  df-vs 29710  df-nmcv 29711  df-ims 29712  df-dip 29812  df-ssp 29833  df-ph 29924  df-cbn 29974  df-hnorm 30079  df-hba 30080  df-hvsub 30082  df-hlim 30083  df-hcau 30084  df-sh 30318  df-ch 30332  df-oc 30363  df-ch0 30364  df-shs 30419  df-pjh 30506

This theorem is referenced by:  jplem1  31379