MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloed 11305
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
leloed (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 leloe 11248 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202
This theorem is referenced by:  mulge0  11680  prodgt0  12009  lemul1  12014  fimaxre  12106  fiminre  12109  supfirege  12149  nn0le2is012  12574  nn0o1gt2  16270  2mulprm  16576  reconnlem1  24205  reconnlem2  24206  ivthle  24836  ivthle2  24837  ovolicc2lem3  24899  itgsplitioo  25218  dvlip  25373  dvge0  25386  dvfsumlem1  25406  dgrco  25652  plydivex  25673  coseq00topi  25875  logreclem  26128  scvxcvx  26351  pntrlog2bndlem5  26945  dnibndlem13  34982  lcmineqlem23  40537  lcmineqlem  40538  aks4d1p1  40562  sticksstones12a  40594  sticksstones22  40605  metakunt9  40614  elpell1qr2  41224  pellfundex  41238  fmul01lt1lem2  43900  wallispilem3  44382  fourierdlem25  44447  fourierdlem42  44464  lighneallem4b  45875  nn0o1gt2ALTV  45960  stgoldbwt  46042  sbgoldbwt  46043  sbgoldbalt  46047  nnsum3primesle9  46060  bgoldbtbndlem1  46071
  Copyright terms: Public domain W3C validator