Theorem leloed 11460

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11206   < clt 11350   ≤ cle 11351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356

This theorem is used by:  mulge0  11841  prodgt0  12171  lemul1  12176  fimaxre  12268  fiminre  12271  supfirege  12311  nn0le2is012  12770  nn0o1gt2  16560  2mulprm  16877  reconnlem1  25155  reconnlem2  25156  ivthle  25786  ivthle2  25787  ovolicc2lem3  25849  itgsplitioo  26167  dvlip  26322  dvge0  26335  dvfsumlem1  26355  dgrco  26603  plydivex  26627  coseq00topi  26840  logreclem  27099  scvxcvx  27322  pntrlog2bndlem5  27917  fltoprmgt3  28005  fzo0opth  33445  dnibndlem13  37480  lcmineqlem23  43238  lcmineqlem  43239  aks4d1p1  43263  sticksstones12a  43344  sticksstones22  43355  elpell1qr2  44016  pellfundex  44030  fmul01lt1lem2  46733  wallispilem3  47213  fourierdlem25  47278  fourierdlem42  47295  chnsubseqwl  48025  lighneallem4b  48830  nprmdvdsfacm1lem2  48842  nn0o1gt2ALTV  48928  stgoldbwt  49010  sbgoldbwt  49011  sbgoldbalt  49015  nnsum3primesle9  49028  bgoldbtbndlem1  49039