Theorem leloed 11280

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  mulge0  11659  prodgt0  11993  lemul1  11998  fimaxre  12091  fiminre  12094  supfirege  12134  nn0le2is012  12584  nn0o1gt2  16341  2mulprm  16653  reconnlem1  24810  reconnlem2  24811  ivthle  25441  ivthle2  25442  ovolicc2lem3  25504  itgsplitioo  25823  dvlip  25978  dvge0  25991  dvfsumlem1  26011  dgrco  26258  plydivex  26281  coseq00topi  26484  logreclem  26744  scvxcvx  26967  pntrlog2bndlem5  27562  fzo0opth  32895  dnibndlem13  36796  lcmineqlem23  42536  lcmineqlem  42537  aks4d1p1  42561  sticksstones12a  42642  sticksstones22  42653  elpell1qr2  43317  pellfundex  43331  fmul01lt1lem2  46030  wallispilem3  46510  fourierdlem25  46575  fourierdlem42  46592  chnsubseqwl  47324  lighneallem4b  48087  nprmdvdsfacm1lem2  48099  nn0o1gt2ALTV  48185  stgoldbwt  48267  sbgoldbwt  48268  sbgoldbalt  48272  nnsum3primesle9  48285  bgoldbtbndlem1  48296