Theorem leloed 11394

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ℝcr 11144   < clt 11285   ≤ cle 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-pre-lttri 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291

This theorem is referenced by:  mulge0  11769  prodgt0  12099  lemul1  12104  fimaxre  12196  fiminre  12199  supfirege  12239  nn0le2is012  12664  nn0o1gt2  16366  2mulprm  16672  reconnlem1  24791  reconnlem2  24792  ivthle  25434  ivthle2  25435  ovolicc2lem3  25497  itgsplitioo  25816  dvlip  25975  dvge0  25988  dvfsumlem1  26009  dgrco  26260  plydivex  26282  coseq00topi  26487  logreclem  26744  scvxcvx  26968  pntrlog2bndlem5  27564  fzo0opth  32660  dnibndlem13  36098  lcmineqlem23  41656  lcmineqlem  41657  aks4d1p1  41681  sticksstones12a  41762  sticksstones22  41773  metakunt9  41801  elpell1qr2  42436  pellfundex  42450  fmul01lt1lem2  45113  wallispilem3  45595  fourierdlem25  45660  fourierdlem42  45677  lighneallem4b  47088  nn0o1gt2ALTV  47173  stgoldbwt  47255  sbgoldbwt  47256  sbgoldbalt  47260  nnsum3primesle9  47273  bgoldbtbndlem1  47284