Theorem leloed 11359

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11302	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105   < clt 11249   ≤ cle 11250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255

This theorem is used by:  mulge0  11738  prodgt0  12068  lemul1  12073  fimaxre  12165  fiminre  12168  supfirege  12208  nn0le2is012  12666  nn0o1gt2  16445  2mulprm  16757  reconnlem1  24995  reconnlem2  24996  ivthle  25626  ivthle2  25627  ovolicc2lem3  25689  itgsplitioo  26008  dvlip  26163  dvge0  26176  dvfsumlem1  26196  dgrco  26443  plydivex  26469  coseq00topi  26678  logreclem  26938  scvxcvx  27161  pntrlog2bndlem5  27756  fzo0opth  33159  dnibndlem13  37107  lcmineqlem23  42846  lcmineqlem  42847  aks4d1p1  42871  sticksstones12a  42952  sticksstones22  42963  elpell1qr2  43627  pellfundex  43641  fmul01lt1lem2  46329  wallispilem3  46809  fourierdlem25  46874  fourierdlem42  46891  chnsubseqwl  47623  lighneallem4b  48389  nprmdvdsfacm1lem2  48401  nn0o1gt2ALTV  48487  stgoldbwt  48569  sbgoldbwt  48570  sbgoldbalt  48574  nnsum3primesle9  48587  bgoldbtbndlem1  48598