Theorem leloed 11453

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349

This theorem is used by:  mulge0  11834  prodgt0  12164  lemul1  12169  fimaxre  12261  fiminre  12264  supfirege  12304  nn0le2is012  12763  nn0o1gt2  16551  2mulprm  16868  reconnlem1  25146  reconnlem2  25147  ivthle  25777  ivthle2  25778  ovolicc2lem3  25840  itgsplitioo  26158  dvlip  26313  dvge0  26326  dvfsumlem1  26346  dgrco  26594  plydivex  26618  coseq00topi  26831  logreclem  27090  scvxcvx  27313  pntrlog2bndlem5  27908  fltoprmgt3  27996  fzo0opth  33395  dnibndlem13  37356  lcmineqlem23  43101  lcmineqlem  43102  aks4d1p1  43126  sticksstones12a  43207  sticksstones22  43218  elpell1qr2  43878  pellfundex  43892  fmul01lt1lem2  46596  wallispilem3  47076  fourierdlem25  47141  fourierdlem42  47158  chnsubseqwl  47888  lighneallem4b  48693  nprmdvdsfacm1lem2  48705  nn0o1gt2ALTV  48791  stgoldbwt  48873  sbgoldbwt  48874  sbgoldbalt  48878  nnsum3primesle9  48891  bgoldbtbndlem1  48902