Theorem leloed 11293

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leloed	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		leloe 11236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  mulge0  11672  prodgt0  12005  lemul1  12010  fimaxre  12103  fiminre  12106  supfirege  12146  nn0le2is012  12574  nn0o1gt2  16327  2mulprm  16639  reconnlem1  24748  reconnlem2  24749  ivthle  25390  ivthle2  25391  ovolicc2lem3  25453  itgsplitioo  25772  dvlip  25931  dvge0  25944  dvfsumlem1  25965  dgrco  26214  plydivex  26238  coseq00topi  26444  logreclem  26705  scvxcvx  26929  pntrlog2bndlem5  27525  fzo0opth  32778  dnibndlem13  36471  lcmineqlem23  42032  lcmineqlem  42033  aks4d1p1  42057  sticksstones12a  42138  sticksstones22  42149  elpell1qr2  42853  pellfundex  42867  fmul01lt1lem2  45576  wallispilem3  46058  fourierdlem25  46123  fourierdlem42  46140  lighneallem4b  47603  nn0o1gt2ALTV  47688  stgoldbwt  47770  sbgoldbwt  47771  sbgoldbalt  47775  nnsum3primesle9  47788  bgoldbtbndlem1  47799