MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloed 10760
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
leloed (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 leloe 10704 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cr 10513   < clt 10652  cle 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658
This theorem is referenced by:  mulge0  11135  prodgt0  11464  lemul1  11469  fimaxre  11561  fiminre  11565  supfirege  11604  nn0le2is012  12024  nn0o1gt2  15709  2mulprm  16014  reconnlem1  23409  reconnlem2  23410  ivthle  24038  ivthle2  24039  ovolicc2lem3  24101  itgsplitioo  24419  dvlip  24574  dvge0  24587  dvfsumlem1  24607  dgrco  24850  plydivex  24871  coseq00topi  25073  logreclem  25326  scvxcvx  25549  pntrlog2bndlem5  26143  dnibndlem13  33836  lcmineqlem23  39205  lcmineqlem  39206  elpell1qr2  39608  pellfundex  39622  fmul01lt1lem2  42018  wallispilem3  42500  fourierdlem25  42565  fourierdlem42  42582  lighneallem4b  43919  nn0o1gt2ALTV  44004  stgoldbwt  44086  sbgoldbwt  44087  sbgoldbalt  44091  nnsum3primesle9  44104  bgoldbtbndlem1  44115
  Copyright terms: Public domain W3C validator