MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmaxlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmaxlem 25587
Description: Lemma for dyadmax 25588. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6 (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
54dyadval 25582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
62, 3, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
76fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8 df-ov 7422 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
97, 8eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
124dyadss 25584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
141, 13mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷𝐶)
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
1611nn0red 12571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
173nn0red 12571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1816, 17eqleltd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
1914, 15, 18mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 = 𝐶)
2019oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
214dyadval 25582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2210, 3, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2320, 22eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2423fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25 df-ov 7422 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2624, 25eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
271, 9, 263sstr3d 4023 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
282zred 12704 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
29 2nn 12323 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
30 nnexpcl 14080 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
3129, 3, 30sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
3228, 31nndivred 12304 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
3332rexrd 11301 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34 peano2re 11424 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3528, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3635, 31nndivred 12304 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
3736rexrd 11301 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
3828lep1d 12183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3931nnred 12265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12299 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41 lediv1 12117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4338, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44 ubicc2 13482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4533, 37, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4627, 45sseldd 3977 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
4710zred 12704 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4847, 31nndivred 12304 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49 peano2re 11424 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5047, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5150, 31nndivred 12304 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52 elicc2 13429 . . . . . . . 8 (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
5348, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
5446, 53mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5554simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56 lediv1 12117 . . . . . 6 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5855, 57mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59 1red 11252 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6028, 47, 59leadd1d 11845 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
6158, 60mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
62 lbicc2 13481 . . . . . . . 8 (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
6333, 37, 43, 62syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
6427, 63sseldd 3977 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65 elicc2 13429 . . . . . . 7 (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
6648, 51, 65syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
6764, 66mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
6867simp2d 1140 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69 lediv1 12117 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
7047, 28, 39, 40, 69syl112anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
7168, 70mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
7228, 47letri3d 11393 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
7361, 71, 72mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
7419eqcomd 2731 . 2 (𝜑𝐶 = 𝐷)
7573, 74jca 510 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  cop 4636   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286   / cdiv 11908  cn 12250  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596  [,]cicc 13367  cexp 14067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-clim 15476  df-sum 15677  df-rest 17423  df-topgen 17444  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22857  df-topon 22874  df-bases 22910  df-cmp 23352  df-ovol 25454
This theorem is referenced by:  dyadmax  25588
  Copyright terms: Public domain W3C validator