Theorem dyadmaxlem 24961

Description: Lemma for dyadmax 24962. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7	⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dyadmaxlem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmax.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		dyadmax.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dyadmax.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 24956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
7	6	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8		df-ov 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10		dyadmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		dyadmax.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
12	4	dyadss 24958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
13	2, 10, 3, 11, 12	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
15		dyadmax.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
16	11	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17	3	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	16, 17	eqleltd 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷 ≤ 𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
19	14, 15, 18	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐶)
20	19	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
21	4	dyadval 24956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
22	10, 3, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
23	20, 22	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
24	23	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25		df-ov 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
26	24, 25	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
27	1, 9, 26	3sstr3d 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
28	2	zred 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		2nn 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	29, 3, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32	28, 31	nndivred 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
35	28, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36	35, 31	nndivred 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
38	28	lep1d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
39	31	nnred 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41		lediv1 12020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
42	28, 35, 39, 40, 41	syl112anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
43	38, 42	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44		ubicc2 13382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
45	33, 37, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
46	27, 45	sseldd 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
47	10	zred 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47, 31	nndivred 12207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49		peano2re 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
51	50, 31	nndivred 12207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52		elicc2 13329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
53	48, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
54	46, 53	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
55	54	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56		lediv1 12020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
57	35, 50, 39, 40, 56	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
58	55, 57	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59		1red 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60	28, 47, 59	leadd1d 11749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
61	58, 60	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
62		lbicc2 13381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
63	33, 37, 43, 62	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
64	27, 63	sseldd 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65		elicc2 13329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
66	48, 51, 65	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
67	64, 66	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
68	67	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69		lediv1 12020	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
70	47, 28, 39, 40, 69	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
71	68, 70	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
72	28, 47	letri3d 11297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
73	61, 71, 72	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
74	19	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
75	73, 74	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  [,]cicc 13267  ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828

This theorem is referenced by:  dyadmax  24962