Theorem dyadmaxlem 25651

Description: Lemma for dyadmax 25652. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7	⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dyadmaxlem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmax.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		dyadmax.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dyadmax.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 25646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
7	6	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8		df-ov 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10		dyadmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		dyadmax.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
12	4	dyadss 25648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
13	2, 10, 3, 11, 12	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
15		dyadmax.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
16	11	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17	3	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	16, 17	eqleltd 11434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷 ≤ 𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
19	14, 15, 18	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐶)
20	19	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
21	4	dyadval 25646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
22	10, 3, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
23	20, 22	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
24	23	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25		df-ov 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
26	24, 25	eqtr4di 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
27	1, 9, 26	3sstr3d 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
28	2	zred 12747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		2nn 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	29, 3, 30	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32	28, 31	nndivred 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34		peano2re 11463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
35	28, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36	35, 31	nndivred 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
38	28	lep1d 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
39	31	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41		lediv1 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
42	28, 35, 39, 40, 41	syl112anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
43	38, 42	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44		ubicc2 13525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
45	33, 37, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
46	27, 45	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
47	10	zred 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47, 31	nndivred 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49		peano2re 11463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
51	50, 31	nndivred 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52		elicc2 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
53	48, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
54	46, 53	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
55	54	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56		lediv1 12160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
57	35, 50, 39, 40, 56	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
58	55, 57	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59		1red 11291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60	28, 47, 59	leadd1d 11884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
61	58, 60	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
62		lbicc2 13524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
63	33, 37, 43, 62	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
64	27, 63	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65		elicc2 13472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
66	48, 51, 65	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
67	64, 66	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
68	67	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69		lediv1 12160	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
70	47, 28, 39, 40, 69	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
71	68, 70	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
72	28, 47	letri3d 11432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
73	61, 71, 72	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
74	19	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
75	73, 74	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  [,]cicc 13410  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518

This theorem is referenced by:  dyadmax  25652