MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmaxlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadmaxlem 25114
Description: Lemma for dyadmax 25115. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6 (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
54dyadval 25109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
62, 3, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
76fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8 df-ov 7412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
124dyadss 25111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
141, 13mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷𝐶)
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
1611nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
173nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1816, 17eqleltd 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
1914, 15, 18mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 = 𝐶)
2019oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
214dyadval 25109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2210, 3, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2320, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2423fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25 df-ov 7412 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
2624, 25eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
271, 9, 263sstr3d 4029 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
282zred 12666 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
29 2nn 12285 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
30 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
3129, 3, 30sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
3228, 31nndivred 12266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
3332rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3528, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3635, 31nndivred 12266 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
3736rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
3828lep1d 12145 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3931nnred 12227 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41 lediv1 12079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4338, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44 ubicc2 13442 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4533, 37, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
4627, 45sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
4710zred 12666 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4847, 31nndivred 12266 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49 peano2re 11387 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5047, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5150, 31nndivred 12266 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52 elicc2 13389 . . . . . . . 8 (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
5348, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
5446, 53mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5554simp3d 1145 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56 lediv1 12079 . . . . . 6 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1375 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
5855, 57mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59 1red 11215 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6028, 47, 59leadd1d 11808 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
6158, 60mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
62 lbicc2 13441 . . . . . . . 8 (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
6333, 37, 43, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
6427, 63sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65 elicc2 13389 . . . . . . 7 (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
6648, 51, 65syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
6764, 66mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
6867simp2d 1144 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69 lediv1 12079 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
7047, 28, 39, 40, 69syl112anc 1375 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
7168, 70mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
7228, 47letri3d 11356 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
7361, 71, 72mpbir2and 712 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
7419eqcomd 2739 . 2 (𝜑𝐶 = 𝐷)
7573, 74jca 513 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949  cop 4635   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249   / cdiv 11871  cn 12212  2c2 12267  0cn0 12472  cz 12558  [,]cicc 13327  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981
This theorem is referenced by:  dyadmax  25115
  Copyright terms: Public domain W3C validator