Theorem dyadmaxlem 25787

Description: Lemma for dyadmax 25788. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7	⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dyadmaxlem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmax.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		dyadmax.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dyadmax.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
7	6	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8		df-ov 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10		dyadmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		dyadmax.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
12	4	dyadss 25784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
13	2, 10, 3, 11, 12	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
14	1, 13	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
15		dyadmax.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
16	11	nn0red 12577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17	3	nn0red 12577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	16, 17	eqleltd 11365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷 ≤ 𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
19	14, 15, 18	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐶)
20	19	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
21	4	dyadval 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
22	10, 3, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
23	20, 22	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25		df-ov 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
26	24, 25	eqtr4di 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
27	1, 9, 26	3sstr3d 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
28	2	zred 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		2nn 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 14124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	29, 3, 30	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32	28, 31	nndivred 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34		peano2re 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
35	28, 34	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36	35, 31	nndivred 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
38	28	lep1d 12157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
39	31	nnred 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41		lediv1 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
42	28, 35, 39, 40, 41	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
43	38, 42	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44		ubicc2 13504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
45	33, 37, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
46	27, 45	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
47	10	zred 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47, 31	nndivred 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49		peano2re 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
50	47, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
51	50, 31	nndivred 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52		elicc2 13450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
53	48, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
54	46, 53	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
55	54	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56		lediv1 12091	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
57	35, 50, 39, 40, 56	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
58	55, 57	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59		1red 11220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60	28, 47, 59	leadd1d 11819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
61	58, 60	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
62		lbicc2 13503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
63	33, 37, 43, 62	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
64	27, 63	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65		elicc2 13450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
66	48, 51, 65	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
67	64, 66	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
68	67	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69		lediv1 12091	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
70	47, 28, 39, 40, 69	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
71	68, 70	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
72	28, 47	letri3d 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
73	61, 71, 72	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
74	19	eqcomd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
75	73, 74	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  [,]cicc 13387  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-sum 15758  df-rest 17493  df-topgen 17514  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133  df-cmp 23574  df-ovol 25654

This theorem is used by:  dyadmax  25788