Theorem dyadmaxlem 24666

Description: Lemma for dyadmax 24667. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7	⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dyadmaxlem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmax.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		dyadmax.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dyadmax.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 24661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
7	6	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8		df-ov 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10		dyadmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		dyadmax.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
12	4	dyadss 24663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
13	2, 10, 3, 11, 12	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
15		dyadmax.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
16	11	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17	3	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	16, 17	eqleltd 11049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷 ≤ 𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
19	14, 15, 18	mpbir2and 709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐶)
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
21	4	dyadval 24661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
22	10, 3, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
23	20, 22	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
24	23	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25		df-ov 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
26	24, 25	eqtr4di 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
27	1, 9, 26	3sstr3d 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
28	2	zred 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		2nn 11976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 13723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	29, 3, 30	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32	28, 31	nndivred 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
35	28, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36	35, 31	nndivred 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
38	28	lep1d 11836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
39	31	nnred 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 11952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41		lediv1 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
42	28, 35, 39, 40, 41	syl112anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
43	38, 42	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44		ubicc2 13126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
45	33, 37, 43, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
46	27, 45	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
47	10	zred 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47, 31	nndivred 11957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49		peano2re 11078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
51	50, 31	nndivred 11957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52		elicc2 13073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
53	48, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
54	46, 53	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
55	54	simp3d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56		lediv1 11770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
57	35, 50, 39, 40, 56	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
58	55, 57	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59		1red 10907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60	28, 47, 59	leadd1d 11499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
61	58, 60	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
62		lbicc2 13125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
63	33, 37, 43, 62	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
64	27, 63	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65		elicc2 13073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
66	48, 51, 65	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
67	64, 66	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
68	67	simp2d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69		lediv1 11770	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
70	47, 28, 39, 40, 69	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
71	68, 70	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
72	28, 47	letri3d 11047	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
73	61, 71, 72	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
74	19	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
75	73, 74	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  [,]cicc 13011  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533

This theorem is referenced by:  dyadmax  24667