Theorem dyadmaxlem 25121

Description: Lemma for dyadmax 25122. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
dyadmax.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dyadmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dyadmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
dyadmax.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
dyadmax.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
dyadmax.7	⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dyadmaxlem	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dyadmaxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmax.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		dyadmax.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dyadmax.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 25116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
7	6	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
8		df-ov 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10		dyadmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
11		dyadmax.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
12	4	dyadss 25118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
13	2, 10, 3, 11, 12	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))
14	1, 13	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
15		dyadmax.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < 𝐶)
16	11	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17	3	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	16, 17	eqleltd 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 𝐶 ↔ (𝐷 ≤ 𝐶 ∧ ¬ 𝐷 < 𝐶)))
19	14, 15, 18	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐶)
20	19	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = (𝐵𝐹𝐶))
21	4	dyadval 25116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
22	10, 3, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐶) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
24	23	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
25		df-ov 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐶)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
26	24, 25	eqtr4di 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
27	1, 9, 26	3sstr3d 4028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ⊆ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
28	2	zred 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29		2nn 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		nnexpcl 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	29, 3, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32	28, 31	nndivred 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
34		peano2re 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
35	28, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36	35, 31	nndivred 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
38	28	lep1d 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
39	31	nnred 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (2↑𝐶))
41		lediv1 12081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
42	28, 35, 39, 40, 41	syl112anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
43	38, 42	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
44		ubicc2 13444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
45	33, 37, 43, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
46	27, 45	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
47	10	zred 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47, 31	nndivred 12268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
49		peano2re 11389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
51	50, 31	nndivred 12268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
52		elicc2 13391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
53	48, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
54	46, 53	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
55	54	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))
56		lediv1 12081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
57	35, 50, 39, 40, 56	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1) ↔ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
58	55, 57	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1))
59		1red 11217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60	28, 47, 59	leadd1d 11810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ (𝐵 + 1)))
61	58, 60	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
62		lbicc2 13443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
63	33, 37, 43, 62	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
64	27, 63	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
65		elicc2 13391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
66	48, 51, 65	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ((𝐵 / (2↑𝐶))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))) ↔ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶)))))
67	64, 66	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐶))))
68	67	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)))
69		lediv1 12081	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
70	47, 28, 39, 40, 69	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
71	68, 70	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
72	28, 47	letri3d 11358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
73	61, 71, 72	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
74	19	eqcomd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
75	73, 74	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12560  [,]cicc 13329  ↑cexp 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988

This theorem is referenced by:  dyadmax  25122