MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpremul 16633
Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpremul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16490 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
213ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
3 zmulcl 12462 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
543adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6 zcn 12417 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
76anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
8 zcn 12417 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
98anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10 mulne0 11710 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
117, 9, 10syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
12113adant1 1129 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
13 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
1413pclem 16628 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
152, 5, 12, 14syl12anc 834 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
1615simp1d 1141 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
1715simp3d 1143 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥)
18 oveq2 7337 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
1918breq1d 5099 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
20 simp2l 1198 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
22 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}
23 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
2422, 23pcprecl 16629 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
252, 20, 21, 24syl12anc 834 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
2625simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27 simp3l 1200 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28 simp3r 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
29 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
30 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
3129, 30pcprecl 16629 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
322, 27, 28, 31syl12anc 834 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
3332simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
3426, 33nn0addcld 12390 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
35 prmnn 16468 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36353ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3736, 34nnexpcld 14053 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
3837nnzd 12518 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
3936, 33nnexpcld 14053 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℕ)
4039nnzd 12518 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℤ)
4120, 40zmulcld 12525 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
4236nncnd 12082 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
4342, 33, 26expaddd 13959 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)))
4425simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑀)
4536, 26nnexpcld 14053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
4645nnzd 12518 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
47 dvdsmulc 16084 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4846, 20, 40, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4944, 48mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
5043, 49eqbrtrd 5111 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
5132simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∥ 𝑁)
52 dvdscmul 16083 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5340, 27, 20, 52syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5451, 53mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5538, 41, 5, 50, 54dvdstrd 16095 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5619, 34, 55elrabd 3636 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
57 oveq2 7337 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑛))
5857breq1d 5099 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5958cbvrabv 3413 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
6056, 59eleqtrdi 2847 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
61 suprzub 12772 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
6216, 17, 60, 61syl3anc 1370 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
63 pcpremul.3 . . 3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
6462, 63breqtrrdi 5131 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
6522, 23pcprendvds2 16631 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
662, 20, 21, 65syl12anc 834 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
6729, 30pcprendvds2 16631 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
682, 27, 28, 67syl12anc 834 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
69 ioran 981 . . . . 5 (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
7066, 68, 69sylanbrc 583 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
71 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7245nnne0d 12116 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ≠ 0)
73 dvdsval2 16057 . . . . . . 7 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7446, 72, 20, 73syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7544, 74mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ)
7639nnne0d 12116 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ≠ 0)
77 dvdsval2 16057 . . . . . . 7 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
7840, 76, 27, 77syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
7951, 78mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
80 euclemma 16507 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8171, 75, 79, 80syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8270, 81mtbird 324 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
8313, 63pcprecl 16629 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
842, 5, 12, 83syl12anc 834 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8584simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
86 nn0ltp1le 12471 . . . . 5 (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
8734, 85, 86syl2anc 584 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
8836nnzd 12518 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
89 peano2nn0 12366 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
9034, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
91 dvdsexp 16128 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈))
92913expia 1120 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9388, 90, 92syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9484simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9536, 90nnexpcld 14053 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
9695nnzd 12518 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
9736, 85nnexpcld 14053 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℕ)
9897nnzd 12518 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℤ)
99 dvdstr 16094 . . . . . . . 8 (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10096, 98, 5, 99syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10194, 100mpan2d 691 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10293, 101syld 47 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10390nn0zd 12517 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
10485nn0zd 12517 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
105 eluz 12689 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
106103, 104, 105syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
10742, 34expp1d 13958 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
10820zcnd 12520 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10927zcnd 12520 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 11088 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
11137nncnd 12082 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
11237nnne0d 12116 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
113110, 111, 112divcan2d 11846 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
11443oveq2d 7345 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
11545nncnd 12082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℂ)
11639nncnd 12082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℂ)
117108, 115, 109, 116, 72, 76divmuldivd 11885 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
118114, 117eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
119118oveq2d 7345 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
120113, 119eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
121107, 120breq12d 5102 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))))
12275, 79zmulcld 12525 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ)
123 dvdscmulr 16085 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12488, 122, 38, 112, 123syl112anc 1373 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
125121, 124bitrd 278 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
126102, 106, 1253imtr3d 292 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12787, 126sylbid 239 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12882, 127mtod 197 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
12934nn0red 12387 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
13085nn0red 12387 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
131129, 130eqleltd 11212 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
13264, 128, 131mpbir2and 710 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3403  wss 3897  c0 4268   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  supcsup 9289  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969   < clt 11102  cle 11103   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  0cn0 12326  cz 12412  cuz 12675  cexp 13875  cdvds 16054  cprime 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-prm 16466
This theorem is referenced by:  pceulem  16635  pcmul  16641
  Copyright terms: Public domain W3C validator