MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpremul 16890
Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpremul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16743 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
3 zmulcl 12692 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
543adant1 1130 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6 zcn 12644 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
76anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
8 zcn 12644 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
98anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10 mulne0 11932 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
117, 9, 10syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
12113adant1 1130 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
13 eqid 2740 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
1413pclem 16885 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
152, 5, 12, 14syl12anc 836 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
1615simp1d 1142 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
1715simp3d 1144 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥)
18 oveq2 7456 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
1918breq1d 5176 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
20 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
22 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}
23 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
2422, 23pcprecl 16886 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
252, 20, 21, 24syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
2625simpld 494 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27 simp3l 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28 simp3r 1202 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
29 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
30 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
3129, 30pcprecl 16886 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
322, 27, 28, 31syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
3332simpld 494 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
3426, 33nn0addcld 12617 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
35 prmnn 16721 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36353ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3736, 34nnexpcld 14294 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
3837nnzd 12666 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
3936, 33nnexpcld 14294 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℕ)
4039nnzd 12666 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℤ)
4120, 40zmulcld 12753 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
4236nncnd 12309 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
4342, 33, 26expaddd 14198 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)))
4425simprd 495 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑀)
4536, 26nnexpcld 14294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
4645nnzd 12666 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
47 dvdsmulc 16332 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4846, 20, 40, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4944, 48mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
5043, 49eqbrtrd 5188 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
5132simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∥ 𝑁)
52 dvdscmul 16331 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5340, 27, 20, 52syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5451, 53mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5538, 41, 5, 50, 54dvdstrd 16343 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5619, 34, 55elrabd 3710 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
57 oveq2 7456 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑛))
5857breq1d 5176 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5958cbvrabv 3454 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
6056, 59eleqtrdi 2854 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
61 suprzub 13004 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
6216, 17, 60, 61syl3anc 1371 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
63 pcpremul.3 . . 3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
6462, 63breqtrrdi 5208 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
6522, 23pcprendvds2 16888 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
662, 20, 21, 65syl12anc 836 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
6729, 30pcprendvds2 16888 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
682, 27, 28, 67syl12anc 836 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
69 ioran 984 . . . . 5 (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
7066, 68, 69sylanbrc 582 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
71 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7245nnne0d 12343 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ≠ 0)
73 dvdsval2 16305 . . . . . . 7 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7446, 72, 20, 73syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7544, 74mpbid 232 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ)
7639nnne0d 12343 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ≠ 0)
77 dvdsval2 16305 . . . . . . 7 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
7840, 76, 27, 77syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
7951, 78mpbid 232 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
80 euclemma 16760 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8171, 75, 79, 80syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8270, 81mtbird 325 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
8313, 63pcprecl 16886 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
842, 5, 12, 83syl12anc 836 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8584simpld 494 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
86 nn0ltp1le 12701 . . . . 5 (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
8734, 85, 86syl2anc 583 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
8836nnzd 12666 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
89 peano2nn0 12593 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
9034, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
91 dvdsexp 16376 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈))
92913expia 1121 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9388, 90, 92syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9484simprd 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9536, 90nnexpcld 14294 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
9695nnzd 12666 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
9736, 85nnexpcld 14294 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℕ)
9897nnzd 12666 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℤ)
99 dvdstr 16342 . . . . . . . 8 (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10096, 98, 5, 99syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10194, 100mpan2d 693 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10293, 101syld 47 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10390nn0zd 12665 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
10485nn0zd 12665 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
105 eluz 12917 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
106103, 104, 105syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
10742, 34expp1d 14197 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
10820zcnd 12748 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10927zcnd 12748 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
110108, 109mulcld 11310 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
11137nncnd 12309 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
11237nnne0d 12343 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
113110, 111, 112divcan2d 12072 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
11443oveq2d 7464 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
11545nncnd 12309 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℂ)
11639nncnd 12309 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℂ)
117108, 115, 109, 116, 72, 76divmuldivd 12111 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
118114, 117eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
119118oveq2d 7464 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
120113, 119eqtr3d 2782 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
121107, 120breq12d 5179 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))))
12275, 79zmulcld 12753 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ)
123 dvdscmulr 16333 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12488, 122, 38, 112, 123syl112anc 1374 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
125121, 124bitrd 279 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
126102, 106, 1253imtr3d 293 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12787, 126sylbid 240 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12882, 127mtod 198 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
12934nn0red 12614 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
13085nn0red 12614 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
131129, 130eqleltd 11434 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
13264, 128, 131mpbir2and 712 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  {crab 3443  wss 3976  c0 4352   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324  cle 11325   / cdiv 11947  cn 12293  2c2 12348  0cn0 12553  cz 12639  cuz 12903  cexp 14112  cdvds 16302  cprime 16718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719
This theorem is referenced by:  pceulem  16892  pcmul  16898
  Copyright terms: Public domain W3C validator