Theorem pcpremul 16858

Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ℚ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcpremul.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpremul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
3		zmulcl 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2ant2r 745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	3adant1 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		zcn 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
7	6	anim1i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
8		zcn 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10		mulne0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
11	7, 9, 10	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
12	11	3adant1 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
14	13	pclem 16853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥))
15	2, 5, 12, 14	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥))
16	15	simp1d 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
17	15	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
18		oveq2 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
19	18	breq1d 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
20		simp2l 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		simp2r 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}
23		pcpremul.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
24	22, 23	pcprecl 16854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
25	2, 20, 21, 24	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
26	25	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27		simp3l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28		simp3r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
29		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
30		pcpremul.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
31	29, 30	pcprecl 16854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
32	2, 27, 28, 31	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
33	32	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
34	26, 33	nn0addcld 12592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
35		prmnn 16688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36	35	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
37	36, 34	nnexpcld 14268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
39	36, 33	nnexpcld 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ)
41	20, 40	zmulcld 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
42	36	nncnd 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
43	42, 33, 26	expaddd 14172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)))
44	25	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀)
45	36, 26	nnexpcld 14268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
46	45	nnzd 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
47		dvdsmulc 16299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
48	46, 20, 40, 47	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
49	44, 48	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
50	43, 49	eqbrtrd 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
51	32	simprd 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁)
52		dvdscmul 16298	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
53	40, 27, 20, 52	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
54	51, 53	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
55	38, 41, 5, 50, 54	dvdstrd 16310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
56	19, 34, 55	elrabd 3694	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
57		oveq2 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑛))
58	57	breq1d 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
59	58	cbvrabv 3439	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
60	56, 59	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
61		suprzub 12979	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
62	16, 17, 60, 61	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
63		pcpremul.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
64	62, 63	breqtrrdi 5196	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
65	22, 23	pcprendvds2 16856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
66	2, 20, 21, 65	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
67	29, 30	pcprendvds2 16856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
68	2, 27, 28, 67	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
69		ioran 981	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
70	66, 68, 69	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
71		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
72	45	nnne0d 12318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
73		dvdsval2 16272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
74	46, 72, 20, 73	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
75	44, 74	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
76	39	nnne0d 12318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ≠ 0)
77		dvdsval2 16272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
78	40, 76, 27, 77	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
79	51, 78	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
80		euclemma 16727	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
81	71, 75, 79, 80	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
82	70, 81	mtbird 324	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
83	13, 63	pcprecl 16854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
84	2, 5, 12, 83	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
85	84	simpld 493	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
86		nn0ltp1le 12676	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
87	34, 85, 86	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
88	36	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
89		peano2nn0 12568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
90	34, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
91		dvdsexp 16343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈))
92	91	3expia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
93	88, 90, 92	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
94	84	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
95	36, 90	nnexpcld 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
96	95	nnzd 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
97	36, 85	nnexpcld 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ)
99		dvdstr 16309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
100	96, 98, 5, 99	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
101	94, 100	mpan2d 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
102	93, 101	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
103	90	nn0zd 12640	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
104	85	nn0zd 12640	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
105		eluz 12892	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
106	103, 104, 105	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
107	42, 34	expp1d 14171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
108	20	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
109	27	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
110	108, 109	mulcld 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
111	37	nncnd 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
112	37	nnne0d 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
113	110, 111, 112	divcan2d 12047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
114	43	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
115	45	nncnd 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
116	39	nncnd 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℂ)
117	108, 115, 109, 116, 72, 76	divmuldivd 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
118	114, 117	eqtr4d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
119	118	oveq2d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
120	113, 119	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
121	107, 120	breq12d 5167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))))
122	75, 79	zmulcld 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ)
123		dvdscmulr 16300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
124	88, 122, 38, 112, 123	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
125	121, 124	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
126	102, 106, 125	3imtr3d 292	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
127	87, 126	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
128	82, 127	mtod 197	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
129	34	nn0red 12589	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
130	85	nn0red 12589	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
131	129, 130	eqleltd 11409	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
132	64, 128, 131	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ∀wral 3054  ∃wrex 3063  {crab 3428   ⊆ wss 3958  ∅c0 4333   class class class wbr 5154  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  supcsup 9484  ℂcc 11157  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160   + caddc 11162   · cmul 11164   < clt 11299   ≤ cle 11300   / cdiv 11922  ℕcn 12268  2c2 12323  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14086   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-2o 8501  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9486  df-inf 9487  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fl 13817  df-mod 13895  df-seq 14027  df-exp 14087  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16270  df-gcd 16508  df-prm 16686

This theorem is referenced by:  pceulem  16860  pcmul  16866