MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 29182
Description: Formerly part of proof of eupth2 29186: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthvdres.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
eupthvdres.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupthvdres.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
3 opex 5422 . . . 4 βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2834 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6846 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
87fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
9 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
109fvexi 6857 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1110resex 5986 . . . . . . 7 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V
128, 11pm3.2i 472 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V)
1312a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V))
14 opvtxfv 27958 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
166, 15eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
1716, 7eqtrdi 2793 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜πΊ))
182fveq2i 6846 . . . . 5 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
19 opiedgfv 27961 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2013, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2118, 20eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
22 eupthvdres.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
239eupthf1o 29151 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
25 f1ofo 6792 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼)
26 foima 6762 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2827reseq2d 5938 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝐼 β†Ύ dom 𝐼))
29 eupthvdres.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
3029funfnd 6533 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
31 fnresdm 6621 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3321, 28, 323eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = 𝐼)
3433, 9eqtrdi 2793 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜πΊ))
351, 5, 17, 34vtxdeqd 28428 1 (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  VtxDegcvtxdg 28416  EulerPathsceupth 29144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-vtx 27952  df-iedg 27953  df-vtxdg 28417  df-wlks 28550  df-trls 28643  df-eupth 29145
This theorem is referenced by:  eupth2  29186
  Copyright terms: Public domain W3C validator