Theorem eupthvdres 30267

Description: Formerly part of proof of eupth2 30271: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
3		opex 5484	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
6	2	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
7		eupthvdres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
9		eupthvdres.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
10	9	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	resex 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V
12	8, 11	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V))
14		opvtxfv 29039	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
16	6, 15	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
17	16, 7	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
18	2	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
19		opiedgfv 29042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
20	13, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
21	18, 20	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
22		eupthvdres.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
23	9	eupthf1o 30236	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
24		f1ofo 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
25		foima 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
27	26	reseq2d 6009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
28		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
29	28	funfnd 6609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
30		fnresdm 6699	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
32	21, 27, 31	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
33	32, 9	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
34	1, 5, 17, 33	vtxdeqd 29513	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   “ cima 5703  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  VtxDegcvtxdg 29501  EulerPathsceupth 30229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-vtx 29033  df-iedg 29034  df-vtxdg 29502  df-wlks 29635  df-trls 29728  df-eupth 30230

This theorem is referenced by:  eupth2  30271