Theorem eupthvdres 30259

Description: Formerly part of proof of eupth2 30263: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
3		opex 5410	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
6	2	fveq2i 6835	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
7		eupthvdres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	fvexi 6846	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
9		eupthvdres.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
10	9	fvexi 6846	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	resex 5986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V
12	8, 11	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V))
14		opvtxfv 29026	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
16	6, 15	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
17	16, 7	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
18	2	fveq2i 6835	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
19		opiedgfv 29029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
20	13, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
21	18, 20	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
22		eupthvdres.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
23	9	eupthf1o 30228	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
24		f1ofo 6779	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
25		foima 6749	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
27	26	reseq2d 5936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
28		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
29	28	funfnd 6521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
30		fnresdm 6609	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
32	21, 27, 31	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
33	32, 9	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
34	1, 5, 17, 33	vtxdeqd 29500	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  –onto→wfo 6488  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  VtxDegcvtxdg 29488  EulerPathsceupth 30221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-vtx 29020  df-iedg 29021  df-vtxdg 29489  df-wlks 29622  df-trls 29713  df-eupth 30222

This theorem is referenced by:  eupth2  30263