MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 29997
Description: Formerly part of proof of eupth2 30001: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthvdres.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
eupthvdres.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupthvdres.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
3 opex 5457 . . . 4 βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2823 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6888 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
87fvexi 6899 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
9 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
109fvexi 6899 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1110resex 6023 . . . . . . 7 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V
128, 11pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V)
1312a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V))
14 opvtxfv 28772 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
166, 15eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
1716, 7eqtrdi 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜πΊ))
182fveq2i 6888 . . . . 5 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
19 opiedgfv 28775 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2013, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2118, 20eqtrid 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
22 eupthvdres.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
239eupthf1o 29966 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
25 f1ofo 6834 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼)
26 foima 6804 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2827reseq2d 5975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝐼 β†Ύ dom 𝐼))
29 eupthvdres.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
3029funfnd 6573 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
31 fnresdm 6663 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3321, 28, 323eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = 𝐼)
3433, 9eqtrdi 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜πΊ))
351, 5, 17, 34vtxdeqd 29243 1 (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  VtxDegcvtxdg 29231  EulerPathsceupth 29959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-vtxdg 29232  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-eupth 29960
This theorem is referenced by:  eupth2  30001
  Copyright terms: Public domain W3C validator