MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 30087
Description: Formerly part of proof of eupth2 30091: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthvdres.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
eupthvdres.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupthvdres.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩
3 opex 5460 . . . 4 βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2821 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6894 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
87fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
9 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
109fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1110resex 6028 . . . . . . 7 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V
128, 11pm3.2i 469 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V)
1312a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V))
14 opvtxfv 28859 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = 𝑉)
166, 15eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
1716, 7eqtrdi 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜πΊ))
182fveq2i 6894 . . . . 5 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩)
19 opiedgfv 28862 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2013, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
2118, 20eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))))
22 eupthvdres.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
239eupthf1o 30056 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
25 f1ofo 6840 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼)
26 foima 6810 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ))) = dom 𝐼)
2827reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝐼 β†Ύ dom 𝐼))
29 eupthvdres.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
3029funfnd 6578 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
31 fnresdm 6668 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3230, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ dom 𝐼) = 𝐼)
3321, 28, 323eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = 𝐼)
3433, 9eqtrdi 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜πΊ))
351, 5, 17, 34vtxdeqd 29333 1 (πœ‘ β†’ (VtxDegβ€˜π») = (VtxDegβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852  VtxDegcvtxdg 29321  EulerPathsceupth 30049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-vtx 28853  df-iedg 28854  df-vtxdg 29322  df-wlks 29455  df-trls 29548  df-eupth 30050
This theorem is referenced by:  eupth2  30091
  Copyright terms: Public domain W3C validator