Theorem foima 6759

Description: The image of the domain of an onto function. (Contributed by NM, 29-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
foima	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem foima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6037	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
2		fof 6754	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6680	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	imaeq2d 6027	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐴))
5		forn 6757	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
6	1, 4, 5	3eqtr3a 2796	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635  –onto→wfo 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506

This theorem is referenced by:  foimacnv  6799  fodomfi  9224  domunfican  9234  fiint  9239  fodomfiOLD  9242  cantnflt2  9594  cantnfp1lem3  9601  enfin1ai  10306  symgfixelsi  19376  dprdf1o  19975  lmimlbs  21803  cncmp  23348  cmpfi  23364  cnconn  23378  qtopval2  23652  elfm3  23906  rnelfm  23909  fmfnfmlem2  23911  fmfnfm  23914  eupthvdres  30322  pjordi  32260  qtophaus  34013  poimirlem1  37869  poimirlem2  37870  poimirlem3  37871  poimirlem4  37872  poimirlem5  37873  poimirlem6  37874  poimirlem7  37875  poimirlem9  37877  poimirlem10  37878  poimirlem11  37879  poimirlem12  37880  poimirlem14  37882  poimirlem16  37884  poimirlem17  37885  poimirlem19  37887  poimirlem20  37888  poimirlem22  37890  poimirlem23  37891  poimirlem24  37892  poimirlem25  37893  poimirlem29  37897  poimirlem31  37899  ovoliunnfl  37910  voliunnfl  37912  volsupnfl  37913  ismtybndlem  38054  riccrng1  42888  ricdrng1  42895  kelac1  43417  gicabl  43453  imasubc  49507