Theorem foima 6829

Description: The image of the domain of an onto function. (Contributed by NM, 29-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
foima	⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem foima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6083	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
2		fof 6824	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6748	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	imaeq2d 6068	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐴))
5		forn 6827	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
6	1, 4, 5	3eqtr3a 2822	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  dom cdm 5656  ran crn 5657   “ cima 5659  ⟶ontowfo 6562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-fn 6567  df-f 6568  df-fo 6570

This theorem is used by:  foimacnv  6870  fodomfi  9340  domunfican  9349  fiint  9354  cantnflt2  9709  cantnfp1lem3  9716  enfin1ai  10499  symgfixelsi  19691  dprdf1o  20290  lmimlbs  22186  cncmp  23754  cmpfi  23770  cnconn  23784  qtopval2  24059  elfm3  24313  rnelfm  24316  fmfnfmlem2  24318  fmfnfm  24321  eupthvdres  30882  pjordi  32821  qtophaus  34572  poimirlem1  38800  poimirlem2  38801  poimirlem3  38802  poimirlem4  38803  poimirlem5  38804  poimirlem6  38805  poimirlem7  38806  poimirlem9  38808  poimirlem10  38809  poimirlem11  38810  poimirlem12  38811  poimirlem14  38813  poimirlem16  38815  poimirlem17  38816  poimirlem19  38818  poimirlem20  38819  poimirlem22  38821  poimirlem23  38822  poimirlem24  38823  poimirlem25  38824  poimirlem29  38828  poimirlem31  38830  ovoliunnfl  38841  voliunnfl  38843  volsupnfl  38844  ismtybndlem  38999  riccrng1  43842  ricdrng1  43852  kelac1  44325  gicabl  44361  imasubc  50592