Theorem eupth2lem3lem7 30309

Description: Lemma for eupth2lem3 30311: Combining trlsegvdeg 30302, eupth2lem3lem3 30305, eupth2lem3lem4 30306 and eupth2lem3lem6 30308. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 27-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
eupth2lem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem7	⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeg 30302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
14	13	breq2d 5110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
15	14	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
16		eupth2lem3.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
17		eupth2lem3.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
18		ifpprsnss 4721	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁)}, {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19	eupth2lem3lem3 30305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17	eupth2lem3lem5 30307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19, 21	eupth2lem3lem4 30306	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
23	22	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
24	23	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
25		neanior 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ↔ ¬ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17	eupth2lem3lem6 30308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
27	26	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
28	27	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ≠ (𝑃‘𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
29	25, 28	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑈 = (𝑃‘𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
30	24, 29	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
31	20, 30	pm2.61dane 3019	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
32	15, 31	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  if-wif 1062   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ifcif 4479  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  2c2 12200  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253   ∥ cdvds 16179  Vtxcvtx 29069  iEdgciedg 29070  VtxDegcvtxdg 29539  Trailsctrls 29762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-edg 29121  df-uhgr 29131  df-ushgr 29132  df-uspgr 29223  df-vtxdg 29540  df-wlks 29673  df-trls 29764

This theorem is referenced by:  eupth2lem3  30311