MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eupth2lem3lem7 30100
Description: Lemma for eupth2lem3 30102: Combining trlsegvdeg 30093, eupth2lem3lem3 30096, eupth2lem3lem4 30097 and eupth2lem3lem6 30099. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 27-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
eupth2lem3.e (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem eupth2lem3lem7
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 trlsegvdeg.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 trlsegvdeg.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
5 trlsegvdeg.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeg 30093 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)))
1413breq2d 5160 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ))))
1514notbid 317 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ))))
16 eupth2lem3.o . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
17 eupth2lem3.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
18 ifpprsnss 4769 . . . . 5 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
1917, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19eupth2lem3lem3 30096 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem5 30098 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19, 21eupth2lem3lem4 30097 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
23223expa 1115 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
2423expcom 412 . . . 4 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
25 neanior 3025 . . . . 5 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ↔ Β¬ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem6 30099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
27263expa 1115 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
2827expcom 412 . . . . 5 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
2925, 28sylbir 234 . . . 4 (Β¬ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
3024, 29pm2.61i 182 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
3120, 30pm2.61dane 3019 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
3215, 31bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845  if-wif 1060   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6541  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  2c2 12297  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321   βˆ₯ cdvds 16230  Vtxcvtx 28865  iEdgciedg 28866  VtxDegcvtxdg 29335  Trailsctrls 29560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-edg 28917  df-uhgr 28927  df-ushgr 28928  df-uspgr 29019  df-vtxdg 29336  df-wlks 29469  df-trls 29562
This theorem is referenced by:  eupth2lem3  30102
  Copyright terms: Public domain W3C validator