MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem7 29181
Description: Lemma for eupth2lem3 29183: Combining trlsegvdeg 29174, eupth2lem3lem3 29177, eupth2lem3lem4 29178 and eupth2lem3lem6 29180. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 27-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
eupth2lem3.e (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lem3lem7
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 trlsegvdeg.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 trlsegvdeg.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
5 trlsegvdeg.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeg 29174 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)))
1413breq2d 5118 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ))))
1514notbid 318 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ))))
16 eupth2lem3.o . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
17 eupth2lem3.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
18 ifpprsnss 4726 . . . . 5 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
1917, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘)}, {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19eupth2lem3lem3 29177 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem5 29179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ 𝒫 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19, 21eupth2lem3lem4 29178 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
23223expa 1119 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
2423expcom 415 . . . 4 ((π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
25 neanior 3038 . . . . 5 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ↔ Β¬ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem6 29180 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
27263expa 1119 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
2827expcom 415 . . . . 5 ((π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
2925, 28sylbir 234 . . . 4 (Β¬ (π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜π‘) ∨ π‘ˆ = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))))
3024, 29pm2.61i 182 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
3120, 30pm2.61dane 3033 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) + ((VtxDegβ€˜π‘Œ)β€˜π‘ˆ)) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
3215, 31bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  if-wif 1062   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3408   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  2c2 12209  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231   βˆ₯ cdvds 16137  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  VtxDegcvtxdg 28416  Trailsctrls 28641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-word 14404  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-edg 28002  df-uhgr 28012  df-ushgr 28013  df-uspgr 28104  df-vtxdg 28417  df-wlks 28550  df-trls 28643
This theorem is referenced by:  eupth2lem3  29183
  Copyright terms: Public domain W3C validator