Theorem infpssrlem5 10264

Description: Lemma for infpssr 10265. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpssrlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		infpssrlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		infpssrlem.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		infpssrlem.e	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
5	1, 2, 3, 4	infpssrlem3 10262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
6		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝜑)
7		simplrr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝑐)
9	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
11	10	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
12		simpll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝜑)
13		simplrl 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏)
15	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
17	11, 16	jaodan 970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
18	17	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐)))
19	18	necon2bd 2973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
20		nnord 7854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21		nnord 7854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22		ordtri3 6382	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
23	20, 21, 22	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
24	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
25	19, 24	sylibrd 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
26	25	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27		dff13 7238	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
28	5, 26, 27	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝐴)
29		f1domg 8952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐺:ω–1-1→𝐴 → ω ≼ 𝐴))
30	28, 29	syl5com 31	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649  Ord word 6345  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  ωcom 7846  reccrdg 8380   ≼ cdom 8925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-dom 8929

This theorem is referenced by:  infpssr  10265