MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem5 9707
Description: Lemma for infpssr 9708. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem5 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.a . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
2 infpssrlem.c . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 infpssrlem.d . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
4 infpssrlem.e . . . 4 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
51, 2, 3, 4infpssrlem3 9705 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
6 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
7 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8 simpr 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
91, 2, 3, 4infpssrlem4 9706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
106, 7, 8, 9syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
1110necomd 3061 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
12 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝜑)
13 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
151, 2, 3, 4infpssrlem4 9706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1711, 16jaodan 954 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑏)) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1817ex 415 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐)))
1918necon2bd 3022 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
20 nnord 7566 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21 nnord 7566 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22 ordtri3 6203 . . . . . . 7 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2320, 21, 22syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2423adantl 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2519, 24sylibrd 261 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
2625ralrimivva 3178 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27 dff13 6990 . . 3 (𝐺:ω–1-1𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
285, 26, 27sylanbrc 585 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1𝐴)
29 f1domg 8507 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐺:ω–1-1𝐴 → ω ≼ 𝐴))
3028, 29syl5com 31 1 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  cdif 3910  wss 3913   class class class wbr 5042  ccnv 5530  cres 5533  Ord word 6166  wf 6327  1-1wf1 6328  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  ωcom 7558  reccrdg 8023  cdom 8485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-dom 8489
This theorem is referenced by:  infpssr  9708
  Copyright terms: Public domain W3C validator