Theorem infpssrlem5 10063

Description: Lemma for infpssr 10064. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpssrlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		infpssrlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		infpssrlem.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		infpssrlem.e	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
5	1, 2, 3, 4	infpssrlem3 10061	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
6		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝜑)
7		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝑐)
9	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
11	10	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
12		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝜑)
13		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏)
15	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
17	11, 16	jaodan 955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
18	17	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐)))
19	18	necon2bd 2959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
20		nnord 7720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21		nnord 7720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22		ordtri3 6302	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
23	20, 21, 22	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
24	23	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
25	19, 24	sylibrd 258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
26	25	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27		dff13 7128	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
28	5, 26, 27	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝐴)
29		f1domg 8760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐺:ω–1-1→𝐴 → ω ≼ 𝐴))
30	28, 29	syl5com 31	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591  Ord word 6265  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  ωcom 7712  reccrdg 8240   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-dom 8735

This theorem is referenced by:  infpssr  10064