Theorem infpssrlem5 9718

Description: Lemma for infpssr 9719. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpssrlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		infpssrlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		infpssrlem.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		infpssrlem.e	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
5	1, 2, 3, 4	infpssrlem3 9716	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
6		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝜑)
7		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝑐)
9	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 9717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
11	10	necomd 3042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
12		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝜑)
13		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏)
15	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 9717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
17	11, 16	jaodan 955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
18	17	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐)))
19	18	necon2bd 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
20		nnord 7568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21		nnord 7568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22		ordtri3 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
23	20, 21, 22	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
24	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
25	19, 24	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
26	25	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27		dff13 6991	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
28	5, 26, 27	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝐴)
29		f1domg 8512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐺:ω–1-1→𝐴 → ω ≼ 𝐴))
30	28, 29	syl5com 31	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521  Ord word 6158  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  ωcom 7560  reccrdg 8028   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  infpssr  9719