MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem5 10316
Description: Lemma for infpssr 10317. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem5 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.a . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
2 infpssrlem.c . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3 infpssrlem.d . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
4 infpssrlem.e . . . 4 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
51, 2, 3, 4infpssrlem3 10314 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
6 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
7 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
91, 2, 3, 4infpssrlem4 10315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
106, 7, 8, 9syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏))
1110necomd 2991 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
12 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝜑)
13 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
151, 2, 3, 4infpssrlem4 10315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1711, 16jaodan 956 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑏)) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐))
1817ex 412 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑏) → (𝐺𝑏) ≠ (𝐺𝑐)))
1918necon2bd 2951 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
20 nnord 7870 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21 nnord 7870 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22 ordtri3 6399 . . . . . . 7 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2320, 21, 22syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2423adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏𝑐𝑐𝑏)))
2519, 24sylibrd 259 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
2625ralrimivva 3195 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27 dff13 7259 . . 3 (𝐺:ω–1-1𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺𝑏) = (𝐺𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
285, 26, 27sylanbrc 582 . 2 (𝜑𝐺:ω–1-1𝐴)
29 f1domg 8982 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐺:ω–1-1𝐴 → ω ≼ 𝐴))
3028, 29syl5com 31 1 (𝜑 → (𝐴𝑉 → ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  cdif 3941  wss 3944   class class class wbr 5142  ccnv 5671  cres 5674  Ord word 6362  wf 6538  1-1wf1 6539  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  ωcom 7862  reccrdg 8421  cdom 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-dom 8955
This theorem is referenced by:  infpssr  10317
  Copyright terms: Public domain W3C validator