Theorem infpssrlem5 10306

Description: Lemma for infpssr 10307. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infpssrlem5

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpssrlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		infpssrlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
3		infpssrlem.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		infpssrlem.e	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
5	1, 2, 3, 4	infpssrlem3 10304	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
6		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝜑)
7		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ ω)
8		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝑐)
9	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏))
11	10	necomd 3015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑐) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
12		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝜑)
13		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ω)
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑏)
15	1, 2, 3, 4	infpssrlem4 10305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
17	11, 16	jaodan 972	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐))
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏) → (𝐺‘𝑏) ≠ (𝐺‘𝑐)))
19	18	necon2bd 2976	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
20		nnord 7876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
21		nnord 7876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → Ord 𝑐)
22		ordtri3 6401	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑐) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
23	20, 21, 22	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → (𝑏 = 𝑐 ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝑐 ∨ 𝑐 ∈ 𝑏)))
25	19, 24	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
26	25	ralrimivva 3210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
27		dff13 7257	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝐺:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ ω ∀𝑐 ∈ ω ((𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
28	5, 26, 27	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→𝐴)
29		f1domg 8974	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐺:ω–1-1→𝐴 → ω ≼ 𝐴))
30	28, 29	syl5com 32	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ω ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665  Ord word 6363  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  ωcom 7868  reccrdg 8402   ≼ cdom 8947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-dom 8951

This theorem is used by:  infpssr  10307