Theorem usgriedgleord 29015

Description: Alternate version of usgredgleord 29020, not using the notation (Edg‘𝐺). In a simple graph the number of edges which contain a given vertex is not greater than the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgriedgleord	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgriedgleord

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6905	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		usgredg2v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} = {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}
5		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁}))
6	1, 3, 4, 5	usgredg2v 29014	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})):{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}–1-1→𝑉)
7		f1domg 8982	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})):{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}–1-1→𝑉 → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉)
9		hashdomi 14357	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  –1-1→wf1 6539  ‘cfv 6542  ℩crio 7369   ≼ cdom 8951   ≤ cle 11265  ♯chash 14307  Vtxcvtx 28783  iEdgciedg 28784  USGraphcusgr 28936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-umgr 28870  df-usgr 28938

This theorem is referenced by:  usgredgleordALT  29021