Theorem usgriedgleord 29260

Description: Alternate version of usgredgleord 29265, not using the notation (Edg‘𝐺). In a simple graph the number of edges which contain a given vertex is not greater than the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgriedgleord	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem usgriedgleord

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6921	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		usgredg2v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} = {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁}))
6	1, 3, 4, 5	usgredg2v 29259	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})):{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}–1-1→𝑉)
7		f1domg 9011	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑉 (𝐸‘𝑦) = {𝑧, 𝑁})):{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}–1-1→𝑉 → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉)
9		hashdomi 14416	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)} ≼ 𝑉 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)}) ≤ (♯‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  –1-1→wf1 6560  ‘cfv 6563  ℩crio 7387   ≼ cdom 8982   ≤ cle 11294  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  USGraphcusgr 29181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-umgr 29115  df-usgr 29183

This theorem is referenced by:  usgredgleordALT  29266