MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem4 27109
Description: Lemma for basel 27115. By basellem3 27108, the expression 𝑃((cot𝑥)↑2) = sin(𝑁𝑥) / (sin𝑥)↑𝑁 goes to zero whenever 𝑥 = 𝑛π / 𝑁 for some 𝑛 ∈ (1...𝑀), so this function enumerates 𝑀 distinct roots of a degree- 𝑀 polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 26333. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
21basellem1 27106 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
3 tanrpcl 26529 . . . . . . . 8 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
5 2z 12640 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 znegcl 12643 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
8 rpexpcl 14094 . . . . . . 7 (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
94, 7, 8sylancl 584 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
109rpcnd 13066 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
11 basel.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
121, 11basellem3 27108 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2))) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
132, 12syldan 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
14 elfzelz 13549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1615zred 12712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ)
17 pire 26483 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
18 remulcl 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
2019recnd 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
21 2nn 12331 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
22 nnmulcl 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2321, 22mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2423peano2nnd 12275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
251, 24eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2726nncnd 12274 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2826nnne0d 12308 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
2920, 27, 28divcan2d 12037 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁)) = (𝑛 · π))
3029fveq2d 6897 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = (sin‘(𝑛 · π)))
31 sinkpi 26546 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3330, 32eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = 0)
3433oveq1d 7431 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
3519, 26nndivred 12312 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
3635resincld 16140 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3736recnd 11283 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3826nnnn0d 12578 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38expcld 14159 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ∈ ℂ)
40 sincosq1sgn 26523 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
4241simpld 493 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)))
4342gt0ne0d 11819 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
4426nnzd 12631 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4537, 43, 44expne0d 14165 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ≠ 0)
4639, 45div0d 12034 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = 0)
4713, 34, 463eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)
481, 11basellem2 27107 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
4948simp1d 1139 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
50 plyf 26222 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
51 ffn 6720 . . . . . . . 8 (𝑃:ℂ⟶ℂ → 𝑃 Fn ℂ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 Fn ℂ)
5352adantr 479 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 Fn ℂ)
54 fniniseg 7065 . . . . . 6 (𝑃 Fn ℂ → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5610, 47, 55mpbir2and 711 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}))
57 basel.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
5856, 57fmptd 7120 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}))
59 fveq2 6893 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑚))
60 fveq2 6893 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
61 fveq2 6893 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
6214zred 12712 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
6362ssriv 3982 . . . . . 6 (1...𝑀) ⊆ ℝ
649rpred 13064 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
6564, 57fmptd 7120 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶ℝ)
6665ffvelcdmda 7090 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
67 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 < 𝑚)
6863sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
6968ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7063sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
7170ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑚 ∈ ℝ)
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → π ∈ ℝ)
73 pipos 26485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < π
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < π)
75 ltmul1 12109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7767, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) < (𝑚 · π))
78 remulcl 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
7969, 17, 78sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
80 remulcl 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8171, 17, 80sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8225ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8382nnred 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8482nngt0d 12307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < 𝑁)
85 ltdiv1 12124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8777, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁))
88 neghalfpirx 26491 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ∈ ℝ*
89 pirp 26486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ+
90 rphalfcl 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
91 rpge0 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (π / 2)
93 halfpire 26489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
94 le0neg2 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0)
9692, 95mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ≤ 0
97 iooss1 13407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
9888, 96, 97mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
991basellem1 27106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10099ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10198, 100sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
1021basellem1 27106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
103102ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10498, 103sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
105 tanord 26562 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
106101, 104, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
10787, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
108 tanrpcl 26529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
110 tanrpcl 26529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
112 rprege0 13037 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
113 rprege0 13037 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
114 lt2sq 14146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))) ∧ ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
115112, 113, 114syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
116109, 111, 115syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
117107, 116mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2))
118 rpexpcl 14094 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
119109, 5, 118sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
120 rpexpcl 14094 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
121111, 5, 120sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
122119, 121ltrecd 13082 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ↔ (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
123117, 122mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
124 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · π) = (𝑚 · π))
125124fvoveq1d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
126125oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
127 ovex 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
128126, 57, 127fvmpt 7001 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
129128ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
130111rpcnd 13066 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
131 2nn0 12535 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
132 expneg 14083 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
133130, 131, 132sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
134129, 133eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
135 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
136135fvoveq1d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
137136oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
138 ovex 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
139137, 57, 138fvmpt 7001 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
140139ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
141109rpcnd 13066 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
142 expneg 14083 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
143141, 131, 142sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
144140, 143eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
145123, 134, 1443brtr4d 5177 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
146145an32s 650 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) ∧ 𝑘 < 𝑚) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
147146ex 411 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘)))
14859, 60, 61, 63, 66, 147eqord2 11786 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
149148biimprd 247 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
150149ralrimivva 3191 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
151 dff13 7262 . . 3 (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ (𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
15258, 150, 151sylanbrc 581 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}))
15348simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
154 nnne0 12292 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
155153, 154eqnetrd 2998 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
156 fveq2 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
157 dgr0 26287 . . . . . . . . . 10 (deg‘0𝑝) = 0
158156, 157eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
159158necon3i 2963 . . . . . . . 8 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
160155, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
161 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
162161fta1 26333 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
16349, 160, 162syl2anc 582 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
164163simpld 493 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
165 f1domg 8995 . . . . 5 ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0})))
166164, 152, 165sylc 65 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}))
167163simprd 494 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃))
168 nnnn0 12525 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
169 hashfz1 14358 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
170168, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
171153, 170eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = (♯‘(1...𝑀)))
172167, 171breqtrd 5171 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)))
173 fzfid 13987 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
174 hashdom 14391 . . . . . 6 (((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (1...𝑀) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
175164, 173, 174syl2anc 582 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
176172, 175mpbid 231 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀))
177 sbth 9123 . . . 4 (((1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
178166, 176, 177syl2anc 582 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
179 f1finf1o 9298 . . 3 (((1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
180178, 164, 179syl2anc 582 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
181152, 180mpbid 231 1 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wss 3946  {csn 4623   class class class wbr 5145  cmpt 5228  ccnv 5673  cima 5677   Fn wfn 6541  wf 6542  1-1wf1 6543  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  cen 8963  cdom 8964  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  *cxr 11288   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485  -cneg 11486   / cdiv 11912  cn 12258  2c2 12313  0cn0 12518  cz 12604  +crp 13022  (,)cioo 13372  ...cfz 13532  cexp 14075  Ccbc 14314  chash 14342  Σcsu 15685  sincsin 16060  cosccos 16061  tanctan 16062  πcpi 16063  0𝑝c0p 25686  Polycply 26208  coeffccoe 26210  degcdgr 26211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-tan 16068  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-0p 25687  df-limc 25883  df-dv 25884  df-ply 26212  df-idp 26213  df-coe 26214  df-dgr 26215  df-quot 26316
This theorem is referenced by:  basellem5  27110
  Copyright terms: Public domain W3C validator