MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem4 26339
Description: Lemma for basel 26345. By basellem3 26338, the expression 𝑃((cot𝑥)↑2) = sin(𝑁𝑥) / (sin𝑥)↑𝑁 goes to zero whenever 𝑥 = 𝑛π / 𝑁 for some 𝑛 ∈ (1...𝑀), so this function enumerates 𝑀 distinct roots of a degree- 𝑀 polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 25574. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
21basellem1 26336 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
3 tanrpcl 25767 . . . . . . . 8 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
5 2z 12453 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 znegcl 12456 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
8 rpexpcl 13902 . . . . . . 7 (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
94, 7, 8sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
109rpcnd 12875 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
11 basel.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
121, 11basellem3 26338 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2))) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
132, 12syldan 591 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
14 elfzelz 13357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1615zred 12527 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ)
17 pire 25721 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
18 remulcl 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
2019recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
21 2nn 12147 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
22 nnmulcl 12098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2321, 22mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2423peano2nnd 12091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
251, 24eqeltrid 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2726nncnd 12090 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2826nnne0d 12124 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
2920, 27, 28divcan2d 11854 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁)) = (𝑛 · π))
3029fveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = (sin‘(𝑛 · π)))
31 sinkpi 25784 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3330, 32eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = 0)
3433oveq1d 7352 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
3519, 26nndivred 12128 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
3635resincld 15951 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3736recnd 11104 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3826nnnn0d 12394 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38expcld 13965 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ∈ ℂ)
40 sincosq1sgn 25761 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
4241simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)))
4342gt0ne0d 11640 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
4426nnzd 12526 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4537, 43, 44expne0d 13971 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ≠ 0)
4639, 45div0d 11851 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = 0)
4713, 34, 463eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)
481, 11basellem2 26337 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
4948simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
50 plyf 25465 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
51 ffn 6651 . . . . . . . 8 (𝑃:ℂ⟶ℂ → 𝑃 Fn ℂ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 Fn ℂ)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 Fn ℂ)
54 fniniseg 6993 . . . . . 6 (𝑃 Fn ℂ → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5610, 47, 55mpbir2and 710 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}))
57 basel.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
5856, 57fmptd 7044 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}))
59 fveq2 6825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑚))
60 fveq2 6825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
61 fveq2 6825 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
6214zred 12527 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
6362ssriv 3936 . . . . . 6 (1...𝑀) ⊆ ℝ
649rpred 12873 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
6564, 57fmptd 7044 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶ℝ)
6665ffvelcdmda 7017 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
67 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 < 𝑚)
6863sseli 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
6968ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7063sseli 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
7170ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑚 ∈ ℝ)
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → π ∈ ℝ)
73 pipos 25723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < π
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < π)
75 ltmul1 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7767, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) < (𝑚 · π))
78 remulcl 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
7969, 17, 78sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
80 remulcl 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8171, 17, 80sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8225ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8382nnred 12089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8482nngt0d 12123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < 𝑁)
85 ltdiv1 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8777, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁))
88 neghalfpirx 25729 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ∈ ℝ*
89 pirp 25724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ+
90 rphalfcl 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
91 rpge0 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (π / 2)
93 halfpire 25727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
94 le0neg2 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0)
9692, 95mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ≤ 0
97 iooss1 13215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
9888, 96, 97mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
991basellem1 26336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10099ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10198, 100sselid 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
1021basellem1 26336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
103102ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10498, 103sselid 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
105 tanord 25800 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
106101, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
10787, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
108 tanrpcl 25767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
110 tanrpcl 25767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
112 rprege0 12846 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
113 rprege0 12846 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
114 lt2sq 13953 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))) ∧ ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
115112, 113, 114syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
116109, 111, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
117107, 116mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2))
118 rpexpcl 13902 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
119109, 5, 118sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
120 rpexpcl 13902 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
121111, 5, 120sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
122119, 121ltrecd 12891 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ↔ (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
123117, 122mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
124 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · π) = (𝑚 · π))
125124fvoveq1d 7359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
126125oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
127 ovex 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
128126, 57, 127fvmpt 6931 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
129128ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
130111rpcnd 12875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
131 2nn0 12351 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
132 expneg 13891 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
133130, 131, 132sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
134129, 133eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
135 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
136135fvoveq1d 7359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
137136oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
138 ovex 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
139137, 57, 138fvmpt 6931 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
140139ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
141109rpcnd 12875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
142 expneg 13891 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
143141, 131, 142sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
144140, 143eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
145123, 134, 1443brtr4d 5124 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
146145an32s 649 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) ∧ 𝑘 < 𝑚) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
147146ex 413 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘)))
14859, 60, 61, 63, 66, 147eqord2 11607 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
149148biimprd 247 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
150149ralrimivva 3193 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
151 dff13 7184 . . 3 (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ (𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
15258, 150, 151sylanbrc 583 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}))
15348simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
154 nnne0 12108 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
155153, 154eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
156 fveq2 6825 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
157 dgr0 25529 . . . . . . . . . 10 (deg‘0𝑝) = 0
158156, 157eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
159158necon3i 2973 . . . . . . . 8 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
160155, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
161 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
162161fta1 25574 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
16349, 160, 162syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
164163simpld 495 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
165 f1domg 8833 . . . . 5 ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0})))
166164, 152, 165sylc 65 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}))
167163simprd 496 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃))
168 nnnn0 12341 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
169 hashfz1 14161 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
170168, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
171153, 170eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = (♯‘(1...𝑀)))
172167, 171breqtrd 5118 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)))
173 fzfid 13794 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
174 hashdom 14194 . . . . . 6 (((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (1...𝑀) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
175164, 173, 174syl2anc 584 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
176172, 175mpbid 231 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀))
177 sbth 8958 . . . 4 (((1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
178166, 176, 177syl2anc 584 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
179 f1finf1o 9136 . . 3 (((1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
180178, 164, 179syl2anc 584 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
181152, 180mpbid 231 1 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wss 3898  {csn 4573   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ccnv 5619  cima 5623   Fn wfn 6474  wf 6475  1-1wf1 6476  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  cen 8801  cdom 8802  Fincfn 8804  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  *cxr 11109   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307   / cdiv 11733  cn 12074  2c2 12129  0cn0 12334  cz 12420  +crp 12831  (,)cioo 13180  ...cfz 13340  cexp 13883  Ccbc 14117  chash 14145  Σcsu 15496  sincsin 15872  cosccos 15873  tanctan 15874  πcpi 15875  0𝑝c0p 24939  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-tan 15880  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-0p 24940  df-limc 25136  df-dv 25137  df-ply 25455  df-idp 25456  df-coe 25457  df-dgr 25458  df-quot 25557
This theorem is referenced by:  basellem5  26340
  Copyright terms: Public domain W3C validator