MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem4 25353
Description: Lemma for basel 25359. By basellem3 25352, the expression 𝑃((cot𝑥)↑2) = sin(𝑁𝑥) / (sin𝑥)↑𝑁 goes to zero whenever 𝑥 = 𝑛π / 𝑁 for some 𝑛 ∈ (1...𝑀), so this function enumerates 𝑀 distinct roots of a degree- 𝑀 polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 24590. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
21basellem1 25350 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
3 tanrpcl 24783 . . . . . . . 8 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
5 2z 11820 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 znegcl 11823 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
8 rpexpcl 13256 . . . . . . 7 (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
94, 7, 8sylancl 577 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
109rpcnd 12243 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
11 basel.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
121, 11basellem3 25352 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2))) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
132, 12syldan 582 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
14 elfzelz 12717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1615zred 11893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ)
17 pire 24737 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
18 remulcl 10412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
2019recnd 10460 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
21 2nn 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
22 nnmulcl 11456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2321, 22mpan 677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2423peano2nnd 11450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
251, 24syl5eqel 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2625adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2726nncnd 11449 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2826nnne0d 11483 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
2920, 27, 28divcan2d 11211 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁)) = (𝑛 · π))
3029fveq2d 6497 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = (sin‘(𝑛 · π)))
31 sinkpi 24800 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3330, 32eqtrd 2808 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = 0)
3433oveq1d 6985 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
3519, 26nndivred 11487 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
3635resincld 15346 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3736recnd 10460 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3826nnnn0d 11760 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38expcld 13318 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ∈ ℂ)
40 sincosq1sgn 24777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
4241simpld 487 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)))
4342gt0ne0d 10997 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
4426nnzd 11892 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4537, 43, 44expne0d 13324 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ≠ 0)
4639, 45div0d 11208 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = 0)
4713, 34, 463eqtrd 2812 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)
481, 11basellem2 25351 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
4948simp1d 1122 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
50 plyf 24481 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
51 ffn 6338 . . . . . . . 8 (𝑃:ℂ⟶ℂ → 𝑃 Fn ℂ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 Fn ℂ)
5352adantr 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 Fn ℂ)
54 fniniseg 6649 . . . . . 6 (𝑃 Fn ℂ → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5610, 47, 55mpbir2and 700 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}))
57 basel.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
5856, 57fmptd 6695 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}))
59 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑚))
60 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
61 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
6214zred 11893 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
6362ssriv 3858 . . . . . 6 (1...𝑀) ⊆ ℝ
649rpred 12241 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
6564, 57fmptd 6695 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶ℝ)
6665ffvelrnda 6670 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
67 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 < 𝑚)
6863sseli 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
6968ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7063sseli 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
7170ad2antll 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑚 ∈ ℝ)
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → π ∈ ℝ)
73 pipos 24739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < π
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < π)
75 ltmul1 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1354 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7767, 76mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) < (𝑚 · π))
78 remulcl 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
7969, 17, 78sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
80 remulcl 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8171, 17, 80sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8225ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8382nnred 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8482nngt0d 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < 𝑁)
85 ltdiv1 11297 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8777, 86mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁))
88 neghalfpirx 24745 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ∈ ℝ*
89 pirp 24740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ+
90 rphalfcl 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
91 rpge0 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (π / 2)
93 halfpire 24743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
94 le0neg2 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0)
9692, 95mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ≤ 0
97 iooss1 12582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
9888, 96, 97mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
991basellem1 25350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10099ad2ant2r 734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10198, 100sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
1021basellem1 25350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
103102ad2ant2rl 736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10498, 103sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
105 tanord 24813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
106101, 104, 105syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
10787, 106mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
108 tanrpcl 24783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
110 tanrpcl 24783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
112 rprege0 12214 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
113 rprege0 12214 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
114 lt2sq 13306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))) ∧ ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
115112, 113, 114syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
116109, 111, 115syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
117107, 116mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2))
118 rpexpcl 13256 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
119109, 5, 118sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
120 rpexpcl 13256 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
121111, 5, 120sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
122119, 121ltrecd 12259 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ↔ (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
123117, 122mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
124 oveq1 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · π) = (𝑚 · π))
125124fvoveq1d 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
126125oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
127 ovex 7002 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
128126, 57, 127fvmpt 6589 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
129128ad2antll 716 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
130111rpcnd 12243 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
131 2nn0 11719 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
132 expneg 13245 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
133130, 131, 132sylancl 577 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
134129, 133eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
135 oveq1 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
136135fvoveq1d 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
137136oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
138 ovex 7002 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
139137, 57, 138fvmpt 6589 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
140139ad2antrl 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
141109rpcnd 12243 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
142 expneg 13245 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
143141, 131, 142sylancl 577 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
144140, 143eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
145123, 134, 1443brtr4d 4955 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
146145an32s 639 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) ∧ 𝑘 < 𝑚) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
147146ex 405 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘)))
14859, 60, 61, 63, 66, 147eqord2 10964 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
149148biimprd 240 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
150149ralrimivva 3135 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
151 dff13 6832 . . 3 (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ (𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
15258, 150, 151sylanbrc 575 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}))
15348simp2d 1123 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
154 nnne0 11467 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
155153, 154eqnetrd 3028 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
156 fveq2 6493 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
157 dgr0 24545 . . . . . . . . . 10 (deg‘0𝑝) = 0
158156, 157syl6eq 2824 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
159158necon3i 2993 . . . . . . . 8 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
160155, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
161 eqid 2772 . . . . . . . 8 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
162161fta1 24590 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
16349, 160, 162syl2anc 576 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
164163simpld 487 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
165 f1domg 8318 . . . . 5 ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0})))
166164, 152, 165sylc 65 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}))
167163simprd 488 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃))
168 nnnn0 11708 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
169 hashfz1 13514 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
170168, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
171153, 170eqtr4d 2811 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = (♯‘(1...𝑀)))
172167, 171breqtrd 4949 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)))
173 fzfid 13149 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
174 hashdom 13546 . . . . . 6 (((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (1...𝑀) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
175164, 173, 174syl2anc 576 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
176172, 175mpbid 224 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀))
177 sbth 8425 . . . 4 (((1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
178166, 176, 177syl2anc 576 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
179 f1finf1o 8532 . . 3 (((1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
180178, 164, 179syl2anc 576 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
181152, 180mpbid 224 1 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wss 3825  {csn 4435   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ccnv 5399  cima 5403   Fn wfn 6177  wf 6178  1-1wf1 6179  1-1-ontowf1o 6181  cfv 6182  (class class class)co 6970  cen 8295  cdom 8296  Fincfn 8298  cc 10325  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  *cxr 10465   < clt 10466  cle 10467  cmin 10662  -cneg 10663   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  +crp 12197  (,)cioo 12547  ...cfz 12701  cexp 13237  Ccbc 13470  chash 13498  Σcsu 14893  sincsin 15267  cosccos 15268  tanctan 15269  πcpi 15270  0𝑝c0p 23963  Polycply 24467  coeffccoe 24469  degcdgr 24470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-tan 15275  df-pi 15276  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-0p 23964  df-limc 24157  df-dv 24158  df-ply 24471  df-idp 24472  df-coe 24473  df-dgr 24474  df-quot 24573
This theorem is referenced by:  basellem5  25354
  Copyright terms: Public domain W3C validator