MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem4 25020
Description: Lemma for basel 25026. By basellem3 25019, the expression 𝑃((cot𝑥)↑2) = sin(𝑁𝑥) / (sin𝑥)↑𝑁 goes to zero whenever 𝑥 = 𝑛π / 𝑁 for some 𝑛 ∈ (1...𝑀), so this function enumerates 𝑀 distinct roots of a degree- 𝑀 polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 24273. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
21basellem1 25017 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
3 tanrpcl 24467 . . . . . . . 8 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
5 2z 11671 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 znegcl 11674 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
8 rpexpcl 13098 . . . . . . 7 (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
94, 7, 8sylancl 576 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
109rpcnd 12084 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
11 basel.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
121, 11basellem3 25019 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2))) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
132, 12syldan 581 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
14 elfzelz 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1615zred 11744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ)
17 pire 24421 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
18 remulcl 10303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
2019recnd 10350 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
21 2nn 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
22 nnmulcl 11325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2321, 22mpan 673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2423peano2nnd 11319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
251, 24syl5eqel 2888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2625adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2726nncnd 11318 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2826nnne0d 11347 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
2920, 27, 28divcan2d 11085 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁)) = (𝑛 · π))
3029fveq2d 6409 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = (sin‘(𝑛 · π)))
31 sinkpi 24482 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3330, 32eqtrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = 0)
3433oveq1d 6886 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
3519, 26nndivred 11351 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
3635resincld 15089 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3736recnd 10350 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3826nnnn0d 11613 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38expcld 13227 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ∈ ℂ)
40 sincosq1sgn 24461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
4241simpld 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)))
4342gt0ne0d 10874 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
4426nnzd 11743 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4537, 43, 44expne0d 13233 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ≠ 0)
4639, 45div0d 11082 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = 0)
4713, 34, 463eqtrd 2843 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)
481, 11basellem2 25018 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
4948simp1d 1165 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
50 plyf 24164 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
51 ffn 6253 . . . . . . . 8 (𝑃:ℂ⟶ℂ → 𝑃 Fn ℂ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 Fn ℂ)
5352adantr 468 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 Fn ℂ)
54 fniniseg 6557 . . . . . 6 (𝑃 Fn ℂ → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5610, 47, 55mpbir2and 695 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}))
57 basel.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
5856, 57fmptd 6603 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}))
59 fveq2 6405 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑚))
60 fveq2 6405 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
61 fveq2 6405 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
6214zred 11744 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
6362ssriv 3799 . . . . . 6 (1...𝑀) ⊆ ℝ
649rpred 12082 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
6564, 57fmptd 6603 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶ℝ)
6665ffvelrnda 6578 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
67 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 < 𝑚)
6863sseli 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
6968ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7063sseli 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
7170ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑚 ∈ ℝ)
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → π ∈ ℝ)
73 pipos 24423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < π
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < π)
75 ltmul1 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7767, 76mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) < (𝑚 · π))
78 remulcl 10303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
7969, 17, 78sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
80 remulcl 10303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8171, 17, 80sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8225ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8382nnred 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8482nngt0d 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < 𝑁)
85 ltdiv1 11169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8777, 86mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁))
88 neghalfpirx 24429 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ∈ ℝ*
89 pirp 24424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ+
90 rphalfcl 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
91 rpge0 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (π / 2)
93 halfpire 24427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
94 le0neg2 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0)
9692, 95mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ≤ 0
97 iooss1 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
9888, 96, 97mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
991basellem1 25017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10099ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10198, 100sseldi 3793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
1021basellem1 25017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
103102ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10498, 103sseldi 3793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
105 tanord 24495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
106101, 104, 105syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
10787, 106mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
108 tanrpcl 24467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
110 tanrpcl 24467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
112 rprege0 12057 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
113 rprege0 12057 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
114 lt2sq 13156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))) ∧ ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
115112, 113, 114syl2an 585 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
116109, 111, 115syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
117107, 116mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2))
118 rpexpcl 13098 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
119109, 5, 118sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
120 rpexpcl 13098 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
121111, 5, 120sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
122119, 121ltrecd 12100 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ↔ (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
123117, 122mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
124 oveq1 6878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · π) = (𝑚 · π))
125124fvoveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
126125oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
127 ovex 6903 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
128126, 57, 127fvmpt 6500 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
129128ad2antll 711 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
130111rpcnd 12084 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
131 2nn0 11572 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
132 expneg 13087 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
133130, 131, 132sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
134129, 133eqtrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
135 oveq1 6878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
136135fvoveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
137136oveq1d 6886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
138 ovex 6903 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
139137, 57, 138fvmpt 6500 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
140139ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
141109rpcnd 12084 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
142 expneg 13087 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
143141, 131, 142sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
144140, 143eqtrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
145123, 134, 1443brtr4d 4872 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
146145an32s 634 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) ∧ 𝑘 < 𝑚) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
147146ex 399 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘)))
14859, 60, 61, 63, 66, 147eqord2 10841 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
149148biimprd 239 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
150149ralrimivva 3158 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
151 dff13 6733 . . 3 (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ (𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
15258, 150, 151sylanbrc 574 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}))
15348simp2d 1166 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
154 nnne0 11335 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
155153, 154eqnetrd 3044 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
156 fveq2 6405 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
157 dgr0 24228 . . . . . . . . . 10 (deg‘0𝑝) = 0
158156, 157syl6eq 2855 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
159158necon3i 3009 . . . . . . . 8 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
160155, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
161 eqid 2805 . . . . . . . 8 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
162161fta1 24273 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
16349, 160, 162syl2anc 575 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
164163simpld 484 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
165 f1domg 8209 . . . . 5 ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0})))
166164, 152, 165sylc 65 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}))
167163simprd 485 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃))
168 nnnn0 11562 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
169 hashfz1 13350 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
170168, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
171153, 170eqtr4d 2842 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = (♯‘(1...𝑀)))
172167, 171breqtrd 4866 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)))
173 fzfid 12992 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
174 hashdom 13382 . . . . . 6 (((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (1...𝑀) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
175164, 173, 174syl2anc 575 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
176172, 175mpbid 223 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀))
177 sbth 8316 . . . 4 (((1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
178166, 176, 177syl2anc 575 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
179 f1finf1o 8423 . . 3 (((1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
180178, 164, 179syl2anc 575 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
181152, 180mpbid 223 1 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wne 2977  wral 3095  wss 3766  {csn 4367   class class class wbr 4840  cmpt 4919  ccnv 5307  cima 5311   Fn wfn 6093  wf 6094  1-1wf1 6095  1-1-ontowf1o 6097  cfv 6098  (class class class)co 6871  cen 8186  cdom 8187  Fincfn 8189  cc 10216  cr 10217  0cc0 10218  1c1 10219   + caddc 10221   · cmul 10223  *cxr 10355   < clt 10356  cle 10357  cmin 10548  -cneg 10549   / cdiv 10966  cn 11302  2c2 11352  0cn0 11555  cz 11639  +crp 12042  (,)cioo 12389  ...cfz 12545  cexp 13079  Ccbc 13305  chash 13333  Σcsu 14635  sincsin 15010  cosccos 15011  tanctan 15012  πcpi 15013  0𝑝c0p 23646  Polycply 24150  coeffccoe 24152  degcdgr 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-tan 15018  df-pi 15019  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-0p 23647  df-limc 23840  df-dv 23841  df-ply 24154  df-idp 24155  df-coe 24156  df-dgr 24157  df-quot 24256
This theorem is referenced by:  basellem5  25021
  Copyright terms: Public domain W3C validator