MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcfneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcfneii 23891
Description: A neighborhood of a cluster point of a function contains a function value from every tail. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfneii (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem fcfneii
Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfnei 23889 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
2 ineq1 4200 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) = (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
32neeq1d 2994 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4 imaeq2 6048 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) = (𝐹 β€œ 𝑆))
54ineq2d 4207 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) = (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)))
65neeq1d 2994 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…))
73, 6rspc2v 3617 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…))
87ex 412 . . . . 5 (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…)))
98com3r 87 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…)))
109adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…)))
111, 10biimtrdi 252 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (𝑆 ∈ 𝐿 β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…))))
12113imp2 1346 1 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿)) β†’ (𝑁 ∩ (𝐹 β€œ 𝑆)) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317  {csn 4623   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  TopOnctopon 22762  neicnei 22951  Filcfil 23699   fClusf cfcf 23791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-top 22746  df-topon 22763  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-fil 23700  df-fm 23792  df-fcls 23795  df-fcf 23796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator