MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcfnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcfnei 23538
Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑠,𝐽   𝑛,𝐿,𝑠   𝑛,𝐹,𝑠   𝑛,𝑋,𝑠   𝑛,π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑠)

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 23537 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
2 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 topontop 22414 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76neii1 22609 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ 𝐽)
84, 5, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ 𝐽)
96ntrss2 22560 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) βŠ† 𝑛)
104, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) βŠ† 𝑛)
11 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
12 toponuni 22415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
132, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1411, 13eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
1514snssd 4812 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ {𝐴} βŠ† βˆͺ 𝐽)
166neiint 22607 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐴} βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘›)))
174, 15, 8, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘›)))
185, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ {𝐴} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘›))
19 snssg 4787 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ↔ {𝐴} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘›)))
2011, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ↔ {𝐴} βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜π‘›)))
2118, 20mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›))
226ntropn 22552 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∈ 𝐽)
234, 8, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∈ 𝐽)
24 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›)))
25 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) = (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
2625neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ ((π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2726ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2824, 27imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘œ = ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
2928rspcv 3608 . . . . . . . 8 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∈ 𝐽 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
3023, 29syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
3121, 30mpid 44 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
32 ssrin 4233 . . . . . . . 8 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) βŠ† 𝑛 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
33 ssn0 4400 . . . . . . . . 9 (((((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) ∧ (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)
3433ex 413 . . . . . . . 8 ((((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β†’ ((((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
3532, 34syl 17 . . . . . . 7 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) βŠ† 𝑛 β†’ ((((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
3635ralimdv 3169 . . . . . 6 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) βŠ† 𝑛 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (((intβ€˜π½)β€˜π‘›) ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
3710, 31, 36sylsyld 61 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
3837ralrimdva 3154 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
39 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4039, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
41 opnneip 22622 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ) β†’ π‘œ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
42413expb 1120 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ π‘œ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
4340, 42sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ π‘œ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}))
44 ineq1 4205 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘œ β†’ (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) = (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
4544neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘œ β†’ ((𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4645ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘œ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4746rspcv 3608 . . . . . . . 8 (π‘œ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4843, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4948expr 457 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
5049com23 86 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
5150ralrimdva 3154 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
5238, 51impbid 211 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
5352pm5.32da 579 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
541, 53bitrd 278 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐴})βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (𝑛 ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  intcnt 22520  neicnei 22600  Filcfil 23348   fClusf cfcf 23440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-fil 23349  df-fm 23441  df-fcls 23444  df-fcf 23445
This theorem is referenced by:  fcfneii  23540
  Copyright terms: Public domain W3C validator