Theorem eqfnfvd 6962

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6959	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7229  f1eqcocnv  7230  offveq  7631  tfrlem1  8290  updjudhcoinlf  9820  updjudhcoinrg  9821  ackbij2lem2  10125  ackbij2lem3  10126  fpwwe2lem7  10523  seqfeq2  13927  seqfeq  13929  seqfeq3  13954  ccatlid  14489  ccatrid  14490  ccatass  14491  ccatswrd  14571  swrdccat2  14572  pfxid  14587  ccatpfx  14603  pfxccat1  14604  swrdswrd  14607  cats1un  14623  swrdccatin1  14627  swrdccatin2  14631  pfxccatin12  14635  revccat  14668  revrev  14669  cshco  14738  swrdco  14739  seqshft  14987  seq1st  16477  xpsfeq  17462  yonedainv  18182  pwsco1mhm  18735  ghmquskerco  19191  f1otrspeq  19354  pmtrfinv  19368  symgtrinv  19379  frgpup3lem  19684  ablfac1eu  19982  zrinitorngc  20552  zrtermorngc  20553  zrtermoringc  20585  psgndiflemB  21532  frlmup1  21730  frlmup3  21732  frlmup4  21733  psrlidm  21894  psrridm  21895  psrass1  21896  subrgascl  21996  evlslem1  22012  psdmplcl  22072  psdvsca  22074  mavmulass  22459  upxp  23533  uptx  23535  cnextfres1  23978  ovolshftlem1  25432  volsup  25479  dvidlem  25838  dvrec  25881  dveq0  25927  dv11cn  25928  ftc1cn  25972  coemulc  26182  aannenlem1  26258  ulmuni  26323  ulmdv  26334  ostthlem1  27560  nvinvfval  30612  sspn  30708  kbass2  32089  xppreima2  32625  fdifsuppconst  32662  indpreima  32838  psgnfzto1stlem  33061  cycpmco2  33094  cyc3co2  33101  ply1gsumz  33551  esumcvg  34091  signstres  34580  hgt750lemb  34661  revpfxsfxrev  35152  subfacp1lem4  35219  cvmliftmolem2  35318  msubff1  35592  iprodefisumlem  35776  poimirlem8  37668  poimirlem13  37673  poimirlem14  37674  ftc1cnnc  37732  eqlkr3  39140  cdleme51finvN  40595  sticksstones11  42189  aks6d1c6lem4  42206  ofun  42269  frlmvscadiccat  42539  fiabv  42569  evlsvvval  42596  fsuppind  42623  ismrcd2  42732  ofoafo  43389  ofoaid1  43391  ofoaid2  43392  ofoaass  43393  ofoacom  43394  naddcnffo  43397  naddcnfcom  43399  naddcnfid1  43400  naddcnfass  43402  rfovcnvf1od  44037  dssmapntrcls  44161  dvconstbi  44367  fsumsermpt  45619  icccncfext  45925  voliooicof  46034  etransclem35  46307  rrxsnicc  46338  ovolval4lem1  46687  fcores  47098  1arymaptf1  48674  2arymaptf1  48685  tposideq  48919  fucoid  49380  prcofdiag1  49425  prcofdiag  49426  oppfdiag1  49446  oppfdiag  49448  funcsn  49573