Theorem eqfnfvd 6968

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6965	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7237  f1eqcocnv  7238  offveq  7639  tfrlem1  8298  updjudhcoinlf  9828  updjudhcoinrg  9829  ackbij2lem2  10133  ackbij2lem3  10134  fpwwe2lem7  10531  seqfeq2  13932  seqfeq  13934  seqfeq3  13959  ccatlid  14493  ccatrid  14494  ccatass  14495  ccatswrd  14575  swrdccat2  14576  pfxid  14591  ccatpfx  14607  pfxccat1  14608  swrdswrd  14611  cats1un  14627  swrdccatin1  14631  swrdccatin2  14635  pfxccatin12  14639  revccat  14672  revrev  14673  cshco  14743  swrdco  14744  seqshft  14992  seq1st  16482  xpsfeq  17467  yonedainv  18187  pwsco1mhm  18706  ghmquskerco  19163  f1otrspeq  19326  pmtrfinv  19340  symgtrinv  19351  frgpup3lem  19656  ablfac1eu  19954  zrinitorngc  20527  zrtermorngc  20528  zrtermoringc  20560  psgndiflemB  21507  frlmup1  21705  frlmup3  21707  frlmup4  21708  psrlidm  21869  psrridm  21870  psrass1  21871  subrgascl  21971  evlslem1  21987  psdmplcl  22047  psdvsca  22049  mavmulass  22434  upxp  23508  uptx  23510  cnextfres1  23953  ovolshftlem1  25408  volsup  25455  dvidlem  25814  dvrec  25857  dveq0  25903  dv11cn  25904  ftc1cn  25948  coemulc  26158  aannenlem1  26234  ulmuni  26299  ulmdv  26310  ostthlem1  27536  nvinvfval  30584  sspn  30680  kbass2  32061  xppreima2  32594  fdifsuppconst  32631  indpreima  32808  psgnfzto1stlem  33042  cycpmco2  33075  cyc3co2  33082  ply1gsumz  33531  esumcvg  34053  signstres  34543  hgt750lemb  34624  revpfxsfxrev  35089  subfacp1lem4  35156  cvmliftmolem2  35255  msubff1  35529  iprodefisumlem  35713  poimirlem8  37608  poimirlem13  37613  poimirlem14  37614  ftc1cnnc  37672  eqlkr3  39080  cdleme51finvN  40535  sticksstones11  42129  aks6d1c6lem4  42146  ofun  42209  frlmvscadiccat  42479  fiabv  42509  evlsvvval  42536  fsuppind  42563  ismrcd2  42672  ofoafo  43329  ofoaid1  43331  ofoaid2  43332  ofoaass  43333  ofoacom  43334  naddcnffo  43337  naddcnfcom  43339  naddcnfid1  43340  naddcnfass  43342  rfovcnvf1od  43977  dssmapntrcls  44101  dvconstbi  44307  fsumsermpt  45560  icccncfext  45868  voliooicof  45977  etransclem35  46250  rrxsnicc  46281  ovolval4lem1  46630  fcores  47051  1arymaptf1  48627  2arymaptf1  48638  tposideq  48872  fucoid  49333  prcofdiag1  49378  prcofdiag  49379  oppfdiag1  49399  oppfdiag  49401  funcsn  49526