MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqfnfvd 6458
Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqfnfvd.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
eqfnfvd (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd
StepHypRef Expression
1 eqfnfvd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
21ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3 eqfnfvd.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 eqfnfvd.2 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
5 eqfnfv 6455 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
63, 4, 5syl2anc 567 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
72, 6mpbird 247 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   Fn wfn 6027  cfv 6032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-fv 6040
This theorem is referenced by:  foeqcnvco  6699  f1eqcocnv  6700  offveq  7066  tfrlem1  7626  updjudhcoinlf  8959  updjudhcoinrg  8960  ackbij2lem2  9265  ackbij2lem3  9266  fpwwe2lem8  9662  seqfeq2  13032  seqfeq  13034  seqfeq3  13059  ccatlid  13569  ccatrid  13570  ccatass  13571  swrdid  13638  ccatswrd  13666  swrdccat1  13667  swrdccat2  13668  swrdswrd  13670  cats1un  13685  swrdccatin1  13693  swrdccatin2  13697  swrdccatin12  13701  revccat  13725  revrev  13726  cshco  13792  swrdco  13793  seqshft  14034  seq1st  15493  xpsfeq  16433  yonedainv  17130  pwsco1mhm  17579  f1otrspeq  18075  pmtrfinv  18089  symgtrinv  18100  frgpup3lem  18398  ablfac1eu  18681  psrlidm  19619  psrridm  19620  psrass1  19621  subrgascl  19714  evlslem1  19731  psgndiflemB  20163  frlmup1  20355  frlmup3  20357  frlmup4  20358  mavmulass  20574  upxp  21648  uptx  21650  cnextfres1  22093  ovolshftlem1  23498  volsup  23545  dvidlem  23900  dvrec  23939  dveq0  23984  dv11cn  23985  ftc1cn  24027  coemulc  24232  aannenlem1  24304  ulmuni  24367  ulmdv  24378  ostthlem1  25538  nvinvfval  27836  sspn  27932  kbass2  29317  xppreima2  29791  psgnfzto1stlem  30191  indpreima  30428  esumcvg  30489  signstres  30993  hgt750lemb  31075  subfacp1lem4  31504  cvmliftmolem2  31603  msubff1  31792  iprodefisumlem  31965  poimirlem8  33751  poimirlem13  33756  poimirlem14  33757  ftc1cnnc  33817  eqlkr3  34911  cdleme51finvN  36366  ismrcd2  37789  rfovcnvf1od  38825  dssmapntrcls  38953  dvconstbi  39060  fsumsermpt  40330  icccncfext  40619  voliooicof  40731  etransclem35  41004  rrxsnicc  41038  ovolval4lem1  41384  ccatpfx  41938  pfxccat1  41939  pfxccatin12  41954  zrinitorngc  42529  zrtermorngc  42530  zrtermoringc  42599
  Copyright terms: Public domain W3C validator