Theorem eqfnfvd 6974

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6971	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-fv 6493

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7244  f1eqcocnv  7245  offveq  7646  tfrlem1  8305  updjudhcoinlf  9847  updjudhcoinrg  9848  ackbij2lem2  10152  ackbij2lem3  10153  fpwwe2lem7  10551  seqfeq2  13978  seqfeq  13980  seqfeq3  14005  ccatlid  14540  ccatrid  14541  ccatass  14542  ccatswrd  14622  swrdccat2  14623  pfxid  14638  ccatpfx  14654  pfxccat1  14655  swrdswrd  14658  cats1un  14674  swrdccatin1  14678  swrdccatin2  14682  pfxccatin12  14686  revccat  14719  revrev  14720  cshco  14789  swrdco  14790  seqshft  15038  seq1st  16531  xpsfeq  17518  yonedainv  18238  pwsco1mhm  18791  ghmquskerco  19250  f1otrspeq  19413  pmtrfinv  19427  symgtrinv  19438  frgpup3lem  19743  ablfac1eu  20041  zrinitorngc  20614  zrtermorngc  20615  zrtermoringc  20647  psgndiflemB  21575  frlmup1  21773  frlmup3  21775  frlmup4  21776  psrlidm  21936  psrridm  21937  psrass1  21938  subrgascl  22042  evlslem1  22058  evlsvvval  22069  psdmplcl  22150  psdvsca  22152  mavmulass  22532  upxp  23606  uptx  23608  cnextfres1  24051  ovolshftlem1  25494  volsup  25541  dvidlem  25900  dvrec  25940  dveq0  25985  dv11cn  25986  ftc1cn  26028  coemulc  26238  aannenlem1  26312  ulmuni  26375  ulmdv  26386  ostthlem1  27608  nvinvfval  30729  sspn  30825  kbass2  32206  xppreima2  32743  fdifsuppconst  32781  indpreima  32944  psgnfzto1stlem  33181  cycpmco2  33214  cyc3co2  33221  ply1gsumz  33682  mplasclco  33700  esplyind  33759  esumcvg  34270  signstres  34759  hgt750lemb  34840  revpfxsfxrev  35344  subfacp1lem4  35411  cvmliftmolem2  35510  msubff1  35784  iprodefisumlem  35968  poimirlem8  37995  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  ftc1cnnc  38059  eqlkr3  39593  cdleme51finvN  41048  sticksstones11  42641  aks6d1c6lem4  42658  ofun  42722  frlmvscadiccat  42996  fiabv  43022  fsuppind  43040  ismrcd2  43148  ofoafo  43801  ofoaid1  43803  ofoaid2  43804  ofoaass  43805  ofoacom  43806  naddcnffo  43809  naddcnfcom  43811  naddcnfid1  43812  naddcnfass  43814  rfovcnvf1od  44448  dssmapntrcls  44572  dvconstbi  44778  fsumsermpt  46024  icccncfext  46330  voliooicof  46439  etransclem35  46712  rrxsnicc  46743  ovolval4lem1  47092  fcores  47530  1arymaptf1  49133  2arymaptf1  49144  tposideq  49378  fucoid  49838  prcofdiag1  49883  prcofdiag  49884  oppfdiag1  49904  oppfdiag  49906  funcsn  50031