Theorem eqfnfvd 7018

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 7015	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-fv 6533

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7288  f1eqcocnv  7289  offveq  7690  tfrlem1  8350  updjudhcoinlf  9906  updjudhcoinrg  9907  ackbij2lem2  10210  ackbij2lem3  10211  fpwwe2lem7  10610  seqfeq2  14049  seqfeq  14051  seqfeq3  14076  ccatlid  14612  ccatrid  14613  ccatass  14614  ccatswrd  14694  swrdccat2  14695  pfxid  14710  ccatpfx  14726  pfxccat1  14727  swrdswrd  14730  cats1un  14746  swrdccatin1  14750  swrdccatin2  14754  pfxccatin12  14758  revccat  14791  revrev  14792  cshco  14861  swrdco  14862  seqshft  15110  seq1st  16617  xpsfeq  17605  yonedainv  18325  pwsco1mhm  18879  ghmquskerco  19342  f1otrspeq  19505  pmtrfinv  19519  symgtrinv  19530  frgpup3lem  19835  ablfac1eu  20133  zrinitorngc  20715  zrtermorngc  20716  zrtermoringc  20748  psgndiflemB  21707  frlmup1  21905  frlmup3  21907  frlmup4  21908  psrlidm  22068  psrridm  22069  psrass1  22070  subrgascl  22174  evlslem1  22190  evlsvvval  22201  psdmplcl  22282  psdvsca  22284  mavmulass  22663  upxp  23737  uptx  23739  cnextfres1  24182  ovolshftlem1  25625  volsup  25672  dvidlem  26031  dvrec  26071  dveq0  26116  dv11cn  26117  ftc1cn  26159  coemulc  26369  aannenlem1  26446  ulmuni  26509  ulmdv  26520  ostthlem1  27745  nvinvfval  30897  sspn  30993  kbass2  32374  xppreima2  32904  fdifsuppconst  32942  indpreima  33093  psgnfzto1stlem  33328  cycpmco2  33361  cyc3co2  33368  ply1gsumz  33801  mplasclco  33818  esplyind  33877  esumcvg  34388  signstres  34874  hgt750lemb  34955  revpfxsfxrev  35473  subfacp1lem4  35541  cvmliftmolem2  35640  msubff1  35914  iprodefisumlem  36098  poimirlem8  38134  poimirlem13  38139  poimirlem14  38140  ftc1cnnc  38198  eqlkr3  39732  cdleme51finvN  41187  sticksstones11  42780  aks6d1c6lem4  42797  ofun  42861  frlmvscadiccat  43135  fiabv  43161  fsuppind  43179  ismrcd2  43287  ofoafo  43940  ofoaid1  43942  ofoaid2  43943  ofoaass  43944  ofoacom  43945  naddcnffo  43948  naddcnfcom  43950  naddcnfid1  43951  naddcnfass  43953  rfovcnvf1od  44587  dssmapntrcls  44711  dvconstbi  44903  fsumsermpt  46154  icccncfext  46460  voliooicof  46569  etransclem35  46842  rrxsnicc  46873  ovolval4lem1  47222  fcores  47660  1arymaptf1  49274  2arymaptf1  49285  tposideq  49518  fucoid  49978  prcofdiag1  50023  prcofdiag  50024  oppfdiag1  50044  oppfdiag  50046  funcsn  50171