Theorem eqfnfvd 6988

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6985	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7257  f1eqcocnv  7258  offveq  7659  tfrlem1  8321  updjudhcoinlf  9861  updjudhcoinrg  9862  ackbij2lem2  10168  ackbij2lem3  10169  fpwwe2lem7  10566  seqfeq2  13966  seqfeq  13968  seqfeq3  13993  ccatlid  14527  ccatrid  14528  ccatass  14529  ccatswrd  14609  swrdccat2  14610  pfxid  14625  ccatpfx  14642  pfxccat1  14643  swrdswrd  14646  cats1un  14662  swrdccatin1  14666  swrdccatin2  14670  pfxccatin12  14674  revccat  14707  revrev  14708  cshco  14778  swrdco  14779  seqshft  15027  seq1st  16517  xpsfeq  17502  yonedainv  18218  pwsco1mhm  18735  ghmquskerco  19192  f1otrspeq  19353  pmtrfinv  19367  symgtrinv  19378  frgpup3lem  19683  ablfac1eu  19981  zrinitorngc  20527  zrtermorngc  20528  zrtermoringc  20560  psgndiflemB  21485  frlmup1  21683  frlmup3  21685  frlmup4  21686  psrlidm  21847  psrridm  21848  psrass1  21849  subrgascl  21949  evlslem1  21965  psdmplcl  22025  psdvsca  22027  mavmulass  22412  upxp  23486  uptx  23488  cnextfres1  23931  ovolshftlem1  25386  volsup  25433  dvidlem  25792  dvrec  25835  dveq0  25881  dv11cn  25882  ftc1cn  25926  coemulc  26136  aannenlem1  26212  ulmuni  26277  ulmdv  26288  ostthlem1  27514  nvinvfval  30542  sspn  30638  kbass2  32019  xppreima2  32548  fdifsuppconst  32585  indpreima  32761  psgnfzto1stlem  33030  cycpmco2  33063  cyc3co2  33070  ply1gsumz  33537  esumcvg  34049  signstres  34539  hgt750lemb  34620  revpfxsfxrev  35076  subfacp1lem4  35143  cvmliftmolem2  35242  msubff1  35516  iprodefisumlem  35700  poimirlem8  37595  poimirlem13  37600  poimirlem14  37601  ftc1cnnc  37659  eqlkr3  39067  cdleme51finvN  40523  sticksstones11  42117  aks6d1c6lem4  42134  ofun  42197  frlmvscadiccat  42467  fiabv  42497  evlsvvval  42524  fsuppind  42551  ismrcd2  42660  ofoafo  43318  ofoaid1  43320  ofoaid2  43321  ofoaass  43322  ofoacom  43323  naddcnffo  43326  naddcnfcom  43328  naddcnfid1  43329  naddcnfass  43331  rfovcnvf1od  43966  dssmapntrcls  44090  dvconstbi  44296  fsumsermpt  45550  icccncfext  45858  voliooicof  45967  etransclem35  46240  rrxsnicc  46271  ovolval4lem1  46620  fcores  47041  1arymaptf1  48604  2arymaptf1  48615  tposideq  48849  fucoid  49310  prcofdiag1  49355  prcofdiag  49356  oppfdiag1  49376  oppfdiag  49378  funcsn  49503