Theorem eqfnfvd 6944

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6941	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   Fn wfn 6453  ‘cfv 6458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-fv 6466

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7204  f1eqcocnv  7205  f1eqcocnvOLD  7206  offveq  7589  tfrlem1  8238  updjudhcoinlf  9734  updjudhcoinrg  9735  ackbij2lem2  10042  ackbij2lem3  10043  fpwwe2lem7  10439  seqfeq2  13792  seqfeq  13794  seqfeq3  13819  ccatlid  14336  ccatrid  14337  ccatass  14338  ccatswrd  14426  swrdccat2  14427  pfxid  14442  ccatpfx  14459  pfxccat1  14460  swrdswrd  14463  cats1un  14479  swrdccatin1  14483  swrdccatin2  14487  pfxccatin12  14491  revccat  14524  revrev  14525  cshco  14594  swrdco  14595  seqshft  14841  seq1st  16321  xpsfeq  17319  yonedainv  18044  pwsco1mhm  18515  f1otrspeq  19100  pmtrfinv  19114  symgtrinv  19125  frgpup3lem  19428  ablfac1eu  19721  psgndiflemB  20850  frlmup1  21050  frlmup3  21052  frlmup4  21053  psrlidm  21217  psrridm  21218  psrass1  21219  subrgascl  21319  evlslem1  21337  mavmulass  21743  upxp  22819  uptx  22821  cnextfres1  23264  ovolshftlem1  24718  volsup  24765  dvidlem  25124  dvrec  25164  dveq0  25209  dv11cn  25210  ftc1cn  25252  coemulc  25461  aannenlem1  25533  ulmuni  25596  ulmdv  25607  ostthlem1  26820  nvinvfval  29047  sspn  29143  kbass2  30524  xppreima2  31033  fdifsuppconst  31068  psgnfzto1stlem  31412  cycpmco2  31445  cyc3co2  31452  indpreima  32038  esumcvg  32099  signstres  32599  hgt750lemb  32681  revpfxsfxrev  33122  subfacp1lem4  33190  cvmliftmolem2  33289  msubff1  33563  iprodefisumlem  33751  poimirlem8  35829  poimirlem13  35834  poimirlem14  35835  ftc1cnnc  35893  eqlkr3  37157  cdleme51finvN  38612  sticksstones11  40154  metakunt33  40199  ofun  40248  frlmvscadiccat  40274  evlsbagval  40312  fsuppind  40316  ismrcd2  40558  rfovcnvf1od  41650  dssmapntrcls  41776  dvconstbi  41990  fsumsermpt  43169  icccncfext  43477  voliooicof  43586  etransclem35  43859  rrxsnicc  43890  ovolval4lem1  44237  fcores  44619  zrinitorngc  45616  zrtermorngc  45617  zrtermoringc  45686  1arymaptf1  46046  2arymaptf1  46057