Theorem eqfnfvd 6968

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6965	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7237  f1eqcocnv  7238  offveq  7639  tfrlem1  8298  updjudhcoinlf  9828  updjudhcoinrg  9829  ackbij2lem2  10133  ackbij2lem3  10134  fpwwe2lem7  10531  seqfeq2  13932  seqfeq  13934  seqfeq3  13959  ccatlid  14493  ccatrid  14494  ccatass  14495  ccatswrd  14575  swrdccat2  14576  pfxid  14591  ccatpfx  14607  pfxccat1  14608  swrdswrd  14611  cats1un  14627  swrdccatin1  14631  swrdccatin2  14635  pfxccatin12  14639  revccat  14672  revrev  14673  cshco  14743  swrdco  14744  seqshft  14992  seq1st  16482  xpsfeq  17467  yonedainv  18187  pwsco1mhm  18706  ghmquskerco  19163  f1otrspeq  19326  pmtrfinv  19340  symgtrinv  19351  frgpup3lem  19656  ablfac1eu  19954  zrinitorngc  20527  zrtermorngc  20528  zrtermoringc  20560  psgndiflemB  21507  frlmup1  21705  frlmup3  21707  frlmup4  21708  psrlidm  21869  psrridm  21870  psrass1  21871  subrgascl  21971  evlslem1  21987  psdmplcl  22047  psdvsca  22049  mavmulass  22434  upxp  23508  uptx  23510  cnextfres1  23953  ovolshftlem1  25408  volsup  25455  dvidlem  25814  dvrec  25857  dveq0  25903  dv11cn  25904  ftc1cn  25948  coemulc  26158  aannenlem1  26234  ulmuni  26299  ulmdv  26310  ostthlem1  27536  nvinvfval  30584  sspn  30680  kbass2  32061  xppreima2  32595  fdifsuppconst  32632  indpreima  32809  psgnfzto1stlem  33043  cycpmco2  33076  cyc3co2  33083  ply1gsumz  33532  esumcvg  34059  signstres  34549  hgt750lemb  34630  revpfxsfxrev  35099  subfacp1lem4  35166  cvmliftmolem2  35265  msubff1  35539  iprodefisumlem  35723  poimirlem8  37618  poimirlem13  37623  poimirlem14  37624  ftc1cnnc  37682  eqlkr3  39090  cdleme51finvN  40545  sticksstones11  42139  aks6d1c6lem4  42156  ofun  42219  frlmvscadiccat  42489  fiabv  42519  evlsvvval  42546  fsuppind  42573  ismrcd2  42682  ofoafo  43339  ofoaid1  43341  ofoaid2  43342  ofoaass  43343  ofoacom  43344  naddcnffo  43347  naddcnfcom  43349  naddcnfid1  43350  naddcnfass  43352  rfovcnvf1od  43987  dssmapntrcls  44111  dvconstbi  44317  fsumsermpt  45570  icccncfext  45878  voliooicof  45987  etransclem35  46260  rrxsnicc  46291  ovolval4lem1  46640  fcores  47061  1arymaptf1  48637  2arymaptf1  48648  tposideq  48882  fucoid  49343  prcofdiag1  49388  prcofdiag  49389  oppfdiag1  49409  oppfdiag  49411  funcsn  49536