Theorem eqfnfvd 6980

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6977	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7248  f1eqcocnv  7249  offveq  7650  tfrlem1  8308  updjudhcoinlf  9847  updjudhcoinrg  9848  ackbij2lem2  10152  ackbij2lem3  10153  fpwwe2lem7  10551  seqfeq2  13978  seqfeq  13980  seqfeq3  14005  ccatlid  14540  ccatrid  14541  ccatass  14542  ccatswrd  14622  swrdccat2  14623  pfxid  14638  ccatpfx  14654  pfxccat1  14655  swrdswrd  14658  cats1un  14674  swrdccatin1  14678  swrdccatin2  14682  pfxccatin12  14686  revccat  14719  revrev  14720  cshco  14789  swrdco  14790  seqshft  15038  seq1st  16531  xpsfeq  17518  yonedainv  18238  pwsco1mhm  18791  ghmquskerco  19250  f1otrspeq  19413  pmtrfinv  19427  symgtrinv  19438  frgpup3lem  19743  ablfac1eu  20041  zrinitorngc  20610  zrtermorngc  20611  zrtermoringc  20643  psgndiflemB  21590  frlmup1  21788  frlmup3  21790  frlmup4  21791  psrlidm  21950  psrridm  21951  psrass1  21952  subrgascl  22054  evlslem1  22070  evlsvvval  22081  psdmplcl  22138  psdvsca  22140  mavmulass  22524  upxp  23598  uptx  23600  cnextfres1  24043  ovolshftlem1  25486  volsup  25533  dvidlem  25892  dvrec  25932  dveq0  25977  dv11cn  25978  ftc1cn  26020  coemulc  26230  aannenlem1  26305  ulmuni  26370  ulmdv  26381  ostthlem1  27604  nvinvfval  30726  sspn  30822  kbass2  32203  xppreima2  32739  fdifsuppconst  32777  indpreima  32940  psgnfzto1stlem  33176  cycpmco2  33209  cyc3co2  33216  ply1gsumz  33674  esplyind  33734  esumcvg  34246  signstres  34735  hgt750lemb  34816  revpfxsfxrev  35314  subfacp1lem4  35381  cvmliftmolem2  35480  msubff1  35754  iprodefisumlem  35938  poimirlem8  37963  poimirlem13  37968  poimirlem14  37969  ftc1cnnc  38027  eqlkr3  39561  cdleme51finvN  41016  sticksstones11  42609  aks6d1c6lem4  42626  ofun  42691  frlmvscadiccat  42965  fiabv  42995  fsuppind  43037  ismrcd2  43145  ofoafo  43802  ofoaid1  43804  ofoaid2  43805  ofoaass  43806  ofoacom  43807  naddcnffo  43810  naddcnfcom  43812  naddcnfid1  43813  naddcnfass  43815  rfovcnvf1od  44449  dssmapntrcls  44573  dvconstbi  44779  fsumsermpt  46027  icccncfext  46333  voliooicof  46442  etransclem35  46715  rrxsnicc  46746  ovolval4lem1  47095  fcores  47527  1arymaptf1  49130  2arymaptf1  49141  tposideq  49375  fucoid  49835  prcofdiag1  49880  prcofdiag  49881  oppfdiag1  49901  oppfdiag  49903  funcsn  50028