Theorem eqfnfvd 6782

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6779	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7034  f1eqcocnv  7035  f1eqcocnvOLD  7036  offveq  7410  tfrlem1  7995  updjudhcoinlf  9345  updjudhcoinrg  9346  ackbij2lem2  9651  ackbij2lem3  9652  fpwwe2lem8  10048  seqfeq2  13389  seqfeq  13391  seqfeq3  13416  ccatlid  13931  ccatrid  13932  ccatass  13933  ccatswrd  14021  swrdccat2  14022  pfxid  14037  ccatpfx  14054  pfxccat1  14055  swrdswrd  14058  cats1un  14074  swrdccatin1  14078  swrdccatin2  14082  pfxccatin12  14086  revccat  14119  revrev  14120  cshco  14189  swrdco  14190  seqshft  14436  seq1st  15905  xpsfeq  16828  yonedainv  17523  pwsco1mhm  17988  f1otrspeq  18567  pmtrfinv  18581  symgtrinv  18592  frgpup3lem  18895  ablfac1eu  19188  psgndiflemB  20289  frlmup1  20487  frlmup3  20489  frlmup4  20490  psrlidm  20641  psrridm  20642  psrass1  20643  subrgascl  20737  evlslem1  20754  mavmulass  21154  upxp  22228  uptx  22230  cnextfres1  22673  ovolshftlem1  24113  volsup  24160  dvidlem  24518  dvrec  24558  dveq0  24603  dv11cn  24604  ftc1cn  24646  coemulc  24852  aannenlem1  24924  ulmuni  24987  ulmdv  24998  ostthlem1  26211  nvinvfval  28423  sspn  28519  kbass2  29900  xppreima2  30413  fdifsuppconst  30449  psgnfzto1stlem  30792  cycpmco2  30825  cyc3co2  30832  indpreima  31394  esumcvg  31455  signstres  31955  hgt750lemb  32037  revpfxsfxrev  32475  subfacp1lem4  32543  cvmliftmolem2  32642  msubff1  32916  iprodefisumlem  33085  poimirlem8  35065  poimirlem13  35070  poimirlem14  35071  ftc1cnnc  35129  eqlkr3  36397  cdleme51finvN  37852  metakunt33  39382  ofun  39416  frlmvscadiccat  39440  fsuppind  39456  ismrcd2  39640  rfovcnvf1od  40705  dssmapntrcls  40831  dvconstbi  41038  fsumsermpt  42221  icccncfext  42529  voliooicof  42638  etransclem35  42911  rrxsnicc  42942  ovolval4lem1  43288  zrinitorngc  44624  zrtermorngc  44625  zrtermoringc  44694  1arymaptf1  45056  2arymaptf1  45067