Theorem eqfnfvd 6805

Description: Deduction for equality of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnfvd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
eqfnfvd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
eqfnfvd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
eqfnfvd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eqfnfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnfvd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
2	1	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
3		eqfnfvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		eqfnfvd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5		eqfnfv 6802	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
7	2, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-fv 6363

This theorem is referenced by:  foeqcnvco  7056  f1eqcocnv  7057  offveq  7430  tfrlem1  8012  updjudhcoinlf  9361  updjudhcoinrg  9362  ackbij2lem2  9662  ackbij2lem3  9663  fpwwe2lem8  10059  seqfeq2  13394  seqfeq  13396  seqfeq3  13421  ccatlid  13940  ccatrid  13941  ccatass  13942  ccatswrd  14030  swrdccat2  14031  pfxid  14046  ccatpfx  14063  pfxccat1  14064  swrdswrd  14067  cats1un  14083  swrdccatin1  14087  swrdccatin2  14091  pfxccatin12  14095  revccat  14128  revrev  14129  cshco  14198  swrdco  14199  seqshft  14444  seq1st  15915  xpsfeq  16836  yonedainv  17531  pwsco1mhm  17996  f1otrspeq  18575  pmtrfinv  18589  symgtrinv  18600  frgpup3lem  18903  ablfac1eu  19195  psrlidm  20183  psrridm  20184  psrass1  20185  subrgascl  20278  evlslem1  20295  psgndiflemB  20744  frlmup1  20942  frlmup3  20944  frlmup4  20945  mavmulass  21158  upxp  22231  uptx  22233  cnextfres1  22676  ovolshftlem1  24110  volsup  24157  dvidlem  24513  dvrec  24552  dveq0  24597  dv11cn  24598  ftc1cn  24640  coemulc  24845  aannenlem1  24917  ulmuni  24980  ulmdv  24991  ostthlem1  26203  nvinvfval  28417  sspn  28513  kbass2  29894  xppreima2  30395  psgnfzto1stlem  30742  cycpmco2  30775  cyc3co2  30782  indpreima  31284  esumcvg  31345  signstres  31845  hgt750lemb  31927  revpfxsfxrev  32362  subfacp1lem4  32430  cvmliftmolem2  32529  msubff1  32803  iprodefisumlem  32972  poimirlem8  34915  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  ftc1cnnc  34981  eqlkr3  36252  cdleme51finvN  37707  frlmvscadiccat  39165  ismrcd2  39316  rfovcnvf1od  40370  dssmapntrcls  40498  dvconstbi  40686  fsumsermpt  41880  icccncfext  42190  voliooicof  42301  etransclem35  42574  rrxsnicc  42605  ovolval4lem1  42951  zrinitorngc  44291  zrtermorngc  44292  zrtermoringc  44361