MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offres 7361
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3993 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
21sseli 3757 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
3 fvres 6394 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐹𝐷)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4 fvres 6394 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐺𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
53, 4oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
76mpteq2ia 4899 . . 3 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
8 inindi 3990 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9 incom 3967 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10 dmres 5594 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11 dmres 5594 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
1210, 11ineq12i 3974 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
138, 9, 123eqtr4ri 2798 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14 eqid 2765 . . . 4 (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))
1513, 14mpteq12i 4901 . . 3 (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
16 resmpt3 5627 . . 3 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
177, 15, 163eqtr4ri 2798 . 2 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
18 offval3 7360 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
1918reseq1d 5564 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷))
20 resexg 5619 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
21 resexg 5619 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺𝐷) ∈ V)
22 offval3 7360 . . 3 (((𝐹𝐷) ∈ V ∧ (𝐺𝐷) ∈ V) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2320, 21, 22syl2an 589 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2417, 19, 233eqtr4a 2825 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cin 3731  cmpt 4888  dom cdm 5277  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095
This theorem is referenced by:  pwssplit2  19332  pwssplit3  19333  islindf4  20453  tsmsadd  22229  jensen  25006  fdivmpt  43003
  Copyright terms: Public domain W3C validator