MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offres 8007
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4212 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
2 fvres 6926 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐹𝐷)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
3 fvres 6926 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐺𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
42, 3oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
65mpteq2ia 5251 . . 3 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
7 inindi 4243 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
8 incom 4217 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
9 dmres 6032 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
10 dmres 6032 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
119, 10ineq12i 4226 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
127, 8, 113eqtr4ri 2774 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
1312mpteq1i 5244 . . 3 (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
14 resmpt3 6058 . . 3 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
156, 13, 143eqtr4ri 2774 . 2 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
16 offval3 8006 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
1716reseq1d 5999 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷))
18 resexg 6047 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
19 resexg 6047 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺𝐷) ∈ V)
20 offval3 8006 . . 3 (((𝐹𝐷) ∈ V ∧ (𝐺𝐷) ∈ V) → ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2118, 19, 20syl2an 596 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2215, 17, 213eqtr4a 2801 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697
This theorem is referenced by:  pwssplit2  21077  pwssplit3  21078  islindf4  21876  tsmsadd  24171  jensen  27047  ply1degltdimlem  33650  fdivmpt  48390
  Copyright terms: Public domain W3C validator