MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offres 8008
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4202 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
2 fvres 6925 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐹𝐷)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
3 fvres 6925 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐺𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
42, 3oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
65mpteq2ia 5245 . . 3 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
7 inindi 4235 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
8 incom 4209 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
9 dmres 6030 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
10 dmres 6030 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
119, 10ineq12i 4218 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
127, 8, 113eqtr4ri 2776 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
1312mpteq1i 5238 . . 3 (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
14 resmpt3 6056 . . 3 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
156, 13, 143eqtr4ri 2776 . 2 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
16 offval3 8007 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
1716reseq1d 5996 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷))
18 resexg 6045 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
19 resexg 6045 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺𝐷) ∈ V)
20 offval3 8007 . . 3 (((𝐹𝐷) ∈ V ∧ (𝐺𝐷) ∈ V) → ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2118, 19, 20syl2an 596 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2215, 17, 213eqtr4a 2803 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘f 𝑅(𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697
This theorem is referenced by:  pwssplit2  21059  pwssplit3  21060  islindf4  21858  tsmsadd  24155  jensen  27032  ply1degltdimlem  33673  fdivmpt  48461
  Copyright terms: Public domain W3C validator