Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmptf 43182
Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a function into the complex numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmptf ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)

Proof of Theorem fdivmptf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1248 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 suppssdm 7572 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3 fdm 6286 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
42, 3syl5sseq 3878 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
543ad2ant2 1170 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
65sselda 3827 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥𝐴)
71, 6ffvelrnd 6609 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
8 simpl2 1250 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
98, 6ffvelrnd 6609 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
10 ffn 6278 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
11103ad2ant2 1170 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12 simp3 1174 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
13 0cnd 10349 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 0 ∈ ℂ)
14 elsuppfn 7567 . . . . . 6 ((𝐺 Fn 𝐴𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1496 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1615simplbda 495 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ≠ 0)
177, 9, 16divcld 11127 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 6634 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
19 fdivmpt 43181 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
2019feq1d 6263 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ))
2118, 20mpbird 249 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113  wcel 2166  wne 2999  wss 3798  cmpt 4952  dom cdm 5342   Fn wfn 6118  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  cc 10250  0cc0 10252   / cdiv 11009   /f cfdiv 43178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-supp 7560  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-fdiv 43179
This theorem is referenced by:  fdivpm  43184
  Copyright terms: Public domain W3C validator