Theorem fdivmptf 49039

Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a function into the complex numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivmptf	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)

Proof of Theorem fdivmptf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		suppssdm 8124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3		fdm 6671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
4	2, 3	sseqtrid 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
5	4	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
6	5	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	1, 6	ffvelcdmd 7033	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
8		simpl2 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8, 6	ffvelcdmd 7033	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
10		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
11	10	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		0cnd 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℂ)
14		elsuppfn 8117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
16	15	simplbda 500	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ≠ 0)
17	7, 9, 16	divcld 11929	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 7063	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
19		fdivmpt 49038	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
20	19	feq1d 6644	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ))
21	18, 20	mpbird 258	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   supp csupp 8107  ℂcc 11034  0cc0 11036   / cdiv 11805   /_f cfdiv 49035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-supp 8108  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-fdiv 49036

This theorem is referenced by:  fdivpm  49041