Theorem refdivmptf 48522

Description: The quotient of two functions into the real numbers is a function into the real numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refdivmptf	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Proof of Theorem refdivmptf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		suppssdm 8176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3		fdm 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝐴)
4	2, 3	sseqtrid 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
6	5	sselda 3958	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	1, 6	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
9	8, 6	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
10		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		0red 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℝ)
14		elsuppfn 8169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
16	15	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ≠ 0)
17	7, 9, 16	redivcld 12069	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	17	fmpttd 7105	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
19		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20		ax-resscn 11186	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
22	19, 21	fssd 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
23		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
24	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
25	23, 24	fssd 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
27	22, 25, 26	3anim123i 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
28		fdivmpt 48520	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
30	29	feq1d 6690	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8159  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   / cdiv 11894   /_f cfdiv 48517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-supp 8160  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-fdiv 48518

This theorem is referenced by:  refdivpm  48524  elbigolo1  48537