Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivmptf 43344
Description: The quotient of two functions into the real numbers is a function into the real numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptf ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Proof of Theorem refdivmptf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1199 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 suppssdm 7589 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3 fdm 6299 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝐴)
42, 3syl5sseq 3871 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℝ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
543ad2ant2 1125 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
65sselda 3820 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥𝐴)
71, 6ffvelrnd 6624 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8 simpl2 1201 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
98, 6ffvelrnd 6624 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
10 ffn 6291 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
11103ad2ant2 1125 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12 simp3 1129 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
13 0red 10380 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → 0 ∈ ℝ)
14 elsuppfn 7584 . . . . . 6 ((𝐺 Fn 𝐴𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1615simplbda 495 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ≠ 0)
177, 9, 16redivcld 11203 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
1817fmpttd 6649 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
19 id 22 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20 ax-resscn 10329 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
2219, 21fssd 6305 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
23 id 22 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
2420a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
2523, 24fssd 6305 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
26 id 22 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
2722, 25, 263anim123i 1151 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉))
28 fdivmpt 43342 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
3029feq1d 6276 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
3118, 30mpbird 249 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wss 3791  cmpt 4965  dom cdm 5355   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922   supp csupp 7576  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272   / cdiv 11032   /f cfdiv 43339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-supp 7577  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-fdiv 43340
This theorem is referenced by:  refdivpm  43346  elbigolo1  43359
  Copyright terms: Public domain W3C validator