Theorem refdivmptf 48531

Description: The quotient of two functions into the real numbers is a function into the real numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refdivmptf	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Proof of Theorem refdivmptf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2		suppssdm 8156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3		fdm 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝐴)
4	2, 3	sseqtrid 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
6	5	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	1, 6	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
9	8, 6	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
10		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		0red 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℝ)
14		elsuppfn 8149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
16	15	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺‘𝑥) ≠ 0)
17	7, 9, 16	redivcld 12010	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	17	fmpttd 7087	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)
19		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20		ax-resscn 11125	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
22	19, 21	fssd 6705	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
23		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
24	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
25	23, 24	fssd 6705	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
27	22, 25, 26	3anim123i 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
28		fdivmpt 48529	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
30	29	feq1d 6670	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℝ))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   / cdiv 11835   /_f cfdiv 48526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-supp 8140  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-fdiv 48527

This theorem is referenced by:  refdivpm  48533  elbigolo1  48546