Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem refdivmptf 47316
Description: The quotient of two functions into the real numbers is a function into the real numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptf ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)βŸΆβ„)
Proof of Theorem refdivmptf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2 suppssdm 8166 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) βŠ† dom 𝐺
3 fdm 6726 . . . . . . . 8 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐺 = 𝐴)
42, 3sseqtrid 4034 . . . . . . 7 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐴)
543ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† 𝐴)
65sselda 3982 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
71, 6ffvelcdmd 7087 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
98, 6ffvelcdmd 7087 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
11103ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
12 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
13 0red 11222 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ ℝ)
14 elsuppfn 8160 . . . . . 6 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)))
1615simplbda 499 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)
177, 9, 16redivcld 12047 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1817fmpttd 7116 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯))):(𝐺 supp 0)βŸΆβ„)
19 id 22 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
20 ax-resscn 11171 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2219, 21fssd 6735 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
23 id 22 . . . . . 6 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
2420a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2523, 24fssd 6735 . . . . 5 (𝐺:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
26 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2722, 25, 263anim123i 1150 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
28 fdivmpt 47314 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 /f 𝐺) = (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯))))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 /f 𝐺) = (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯))))
3029feq1d 6702 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯))):(𝐺 supp 0)βŸΆβ„))
3118, 30mpbird 257 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8150  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   / cdiv 11876   /f cfdiv 47311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-supp 8151  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-fdiv 47312
This theorem is referenced by:  refdivpm  47318  elbigolo1  47331
  Copyright terms: Public domain W3C validator