Theorem fge0iccre 45080

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem fge0iccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccre.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		fge0iccre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	fge0iccico 45076	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13432	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	3, 5	fssd 6735	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ran crn 5677  ⟶wf 6539  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  [,)cico 13325  [,]cicc 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329  df-icc 13330

This theorem is referenced by:  sge0fsum  45093