Theorem fge0iccre 46358

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem fge0iccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccre.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		fge0iccre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	fge0iccico 46354	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13502	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	3, 5	fssd 6761	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  ran crn 5694  ⟶wf 6565  (class class class)co 7438  ℝcr 11161  0cc0 11162  +∞cpnf 11299  [,)cico 13395  [,]cicc 13396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-addrcl 11223  ax-rnegex 11233  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-ico 13399  df-icc 13400

This theorem is referenced by:  sge0fsum  46371