Theorem fge0iccre 47353

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem fge0iccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccre.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		fge0iccre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	fge0iccico 47349	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13580	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	3, 5	fssd 6725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ⟶wf 6533  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  [,)cico 13471  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ico 13475  df-icc 13476

This theorem is used by:  sge0fsum  47366