Theorem fge0iccre 46973

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem fge0iccre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccre.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		fge0iccre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	fge0iccico 46969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 13479	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	3, 5	fssd 6721	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ran crn 5660  ⟶wf 6529  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  +∞cpnf 11236  [,)cico 13370  [,]cicc 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-ico 13374  df-icc 13375

This theorem is referenced by:  sge0fsum  46986