MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0ssre 13302
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 13300 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
21simplbi 499 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3947 1 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wss 3909   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  cle 11124  [,)cico 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-addrcl 11046  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-ico 13199
This theorem is referenced by:  fsumge0  15615  fprodge0  15811  abvf  20206  rege0subm  20777  rge0srg  20792  icopnfhmeo  24229  iccpnfcnv  24230  cphsqrtcl  24471  ovollb2lem  24775  ovollb2  24776  ovolunlem1a  24783  ovolunlem1  24784  ovoliunlem1  24789  ovolicc1  24803  ovolicc2lem4  24807  ovolre  24812  ioombl1lem2  24846  ioombl1lem4  24848  uniioombllem1  24868  uniioombllem2  24870  uniioombllem3  24872  uniioombllem6  24875  0plef  24959  mbfi1fseqlem3  25005  mbfi1fseqlem4  25006  mbfi1fseqlem5  25007  itg2mulclem  25034  itg2mulc  25035  itg2monolem1  25038  itg2mono  25041  itg2i1fseq  25043  itg2gt0  25048  itg2cnlem1  25049  itg2cnlem2  25050  cxpcn3  26024  rlimcnp  26238  efrlim  26242  jensenlem1  26259  jensenlem2  26260  jensen  26261  amgm  26263  axcontlem10  27721  ex-fpar  29205  xrge0adddir  31678  fsumrp0cl  31681  xrge0slmod  31934  xrge0iifcnv  32288  lmlimxrge0  32303  rge0scvg  32304  lmdvg  32308  esumfsupre  32444  esumpfinvallem  32447  esumpfinval  32448  esumpfinvalf  32449  esumpcvgval  32451  esumcvg  32459  sibfof  32714  sitgclg  32716  sitgaddlemb  32722  hgt750lemf  33040  hgt750leme  33045  tgoldbachgtde  33047  itg2addnclem2  36026  itg2addnclem3  36027  itg2gt0cn  36029  ftc1anclem3  36049  areacirclem2  36063  xralrple2  43346  ge0xrre  43523  fsumge0cl  43568  liminfresre  43774  fouriersw  44226  sge0rnre  44359  fge0iccre  44369  sge0sn  44374  sge0tsms  44375  sge0f1o  44377  sge0repnf  44381  sge0fsum  44382  sge0pr  44389  sge0ltfirp  44395  sge0resplit  44401  sge0le  44402  sge0split  44404  sge0iunmptlemre  44410  sge0isum  44422  sge0ad2en  44426  sge0isummpt2  44427  sge0xaddlem1  44428  sge0xaddlem2  44429  sge0gtfsumgt  44438  sge0uzfsumgt  44439  sge0seq  44441  sge0reuz  44442  sge0reuzb  44443  meassre  44472  meaiuninclem  44475  omessre  44505  omeiunltfirp  44514  carageniuncl  44518  hoidmvlelem1  44590  hoidmvlelem2  44591  hoidmvlelem3  44592  hoidmvlelem4  44593  hoidmvlelem5  44594  hspmbllem1  44621
  Copyright terms: Public domain W3C validator