Theorem rge0ssre 13494

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13492	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3942	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  +∞cpnf 11251   ≤ cle 11255  [,)cico 13385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-addrcl 11172  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-ico 13389

This theorem is used by:  fsumge0  15865  fprodge0  16065  abvf  20947  rege0subm  21602  rge0srg  21617  icopnfhmeo  25131  iccpnfcnv  25132  cphsqrtcl  25372  ovollb2lem  25676  ovollb2  25677  ovolunlem1a  25684  ovolunlem1  25685  ovoliunlem1  25690  ovolicc1  25704  ovolicc2lem4  25708  ovolre  25713  ioombl1lem2  25747  ioombl1lem4  25749  uniioombllem1  25769  uniioombllem2  25771  uniioombllem3  25773  uniioombllem6  25776  0plef  25860  mbfi1fseqlem3  25905  mbfi1fseqlem4  25906  mbfi1fseqlem5  25907  itg2mulclem  25934  itg2mulc  25935  itg2monolem1  25938  itg2mono  25941  itg2i1fseq  25943  itg2gt0  25948  itg2cnlem1  25949  itg2cnlem2  25950  cxpcn3  26942  rlimcnp  27159  efrlim  27163  jensenlem1  27180  jensenlem2  27181  jensen  27182  amgm  27184  axcontlem10  29352  ex-fpar  30842  xrge0adddir  33361  fsumrp0cl  33364  xrge0slmod  33691  xrge0iifcnv  34346  lmlimxrge0  34361  rge0scvg  34362  lmdvg  34366  esumfsupre  34484  esumpfinvallem  34487  esumpfinval  34488  esumpfinvalf  34489  esumpcvgval  34491  esumcvg  34499  sibfof  34754  sitgclg  34756  sitgaddlemb  34762  hgt750lemf  35064  hgt750leme  35069  tgoldbachgtde  35071  itg2addnclem2  38356  itg2addnclem3  38357  itg2gt0cn  38359  ftc1anclem3  38379  areacirclem2  38393  xralrple2  46103  ge0xrre  46280  fsumge0cl  46322  liminfresre  46526  fouriersw  46978  sge0rnre  47111  fge0iccre  47121  sge0sn  47126  sge0tsms  47127  sge0f1o  47129  sge0repnf  47133  sge0fsum  47134  sge0pr  47141  sge0ltfirp  47147  sge0resplit  47153  sge0le  47154  sge0split  47156  sge0iunmptlemre  47162  sge0isum  47174  sge0ad2en  47178  sge0isummpt2  47179  sge0xaddlem1  47180  sge0xaddlem2  47181  sge0gtfsumgt  47190  sge0uzfsumgt  47191  sge0seq  47193  sge0reuz  47194  sge0reuzb  47195  meassre  47224  meaiuninclem  47227  omessre  47257  omeiunltfirp  47266  carageniuncl  47270  hoidmvlelem1  47342  hoidmvlelem2  47343  hoidmvlelem3  47344  hoidmvlelem4  47345  hoidmvlelem5  47346  hspmbllem1  47373  rehalfge1  48109