Theorem rge0ssre 13404

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13402	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3920	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  0cc0 11034  +∞cpnf 11172   ≤ cle 11176  [,)cico 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-addrcl 11095  ax-rnegex 11105  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-ico 13299

This theorem is referenced by:  fsumge0  15753  fprodge0  15953  abvf  20790  rege0subm  21401  rge0srg  21416  icopnfhmeo  24931  iccpnfcnv  24932  cphsqrtcl  25172  ovollb2lem  25476  ovollb2  25477  ovolunlem1a  25484  ovolunlem1  25485  ovoliunlem1  25490  ovolicc1  25504  ovolicc2lem4  25508  ovolre  25513  ioombl1lem2  25547  ioombl1lem4  25549  uniioombllem1  25569  uniioombllem2  25571  uniioombllem3  25573  uniioombllem6  25576  0plef  25660  mbfi1fseqlem3  25705  mbfi1fseqlem4  25706  mbfi1fseqlem5  25707  itg2mulclem  25734  itg2mulc  25735  itg2monolem1  25738  itg2mono  25741  itg2i1fseq  25743  itg2gt0  25748  itg2cnlem1  25749  itg2cnlem2  25750  cxpcn3  26733  rlimcnp  26950  efrlim  26954  jensenlem1  26971  jensenlem2  26972  jensen  26973  amgm  26975  axcontlem10  29062  ex-fpar  30552  xrge0adddir  33099  fsumrp0cl  33102  xrge0slmod  33433  xrge0iifcnv  34127  lmlimxrge0  34142  rge0scvg  34143  lmdvg  34147  esumfsupre  34265  esumpfinvallem  34268  esumpfinval  34269  esumpfinvalf  34270  esumpcvgval  34272  esumcvg  34280  sibfof  34534  sitgclg  34536  sitgaddlemb  34542  hgt750lemf  34847  hgt750leme  34852  tgoldbachgtde  34854  itg2addnclem2  38052  itg2addnclem3  38053  itg2gt0cn  38055  ftc1anclem3  38075  areacirclem2  38089  xralrple2  45811  ge0xrre  45988  fsumge0cl  46030  liminfresre  46234  fouriersw  46686  sge0rnre  46819  fge0iccre  46829  sge0sn  46834  sge0tsms  46835  sge0f1o  46837  sge0repnf  46841  sge0fsum  46842  sge0pr  46849  sge0ltfirp  46855  sge0resplit  46861  sge0le  46862  sge0split  46864  sge0iunmptlemre  46870  sge0isum  46882  sge0ad2en  46886  sge0isummpt2  46887  sge0xaddlem1  46888  sge0xaddlem2  46889  sge0gtfsumgt  46898  sge0uzfsumgt  46899  sge0seq  46901  sge0reuz  46902  sge0reuzb  46903  meassre  46932  meaiuninclem  46935  omessre  46965  omeiunltfirp  46974  carageniuncl  46978  hoidmvlelem1  47050  hoidmvlelem2  47051  hoidmvlelem3  47052  hoidmvlelem4  47053  hoidmvlelem5  47054  hspmbllem1  47081  rehalfge1  47814