Theorem rge0ssre 13492

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3998	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289   ≤ cle 11293  [,)cico 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ico 13389

This theorem is referenced by:  fsumge0  15827  fprodge0  16025  abvf  20832  rege0subm  21458  rge0srg  21473  icopnfhmeo  24987  iccpnfcnv  24988  cphsqrtcl  25231  ovollb2lem  25536  ovollb2  25537  ovolunlem1a  25544  ovolunlem1  25545  ovoliunlem1  25550  ovolicc1  25564  ovolicc2lem4  25568  ovolre  25573  ioombl1lem2  25607  ioombl1lem4  25609  uniioombllem1  25629  uniioombllem2  25631  uniioombllem3  25633  uniioombllem6  25636  0plef  25720  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  itg2mulclem  25795  itg2mulc  25796  itg2monolem1  25799  itg2mono  25802  itg2i1fseq  25804  itg2gt0  25809  itg2cnlem1  25810  itg2cnlem2  25811  cxpcn3  26805  rlimcnp  27022  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  jensenlem1  27044  jensenlem2  27045  jensen  27046  amgm  27048  axcontlem10  29002  ex-fpar  30490  xrge0adddir  33005  fsumrp0cl  33008  xrge0slmod  33355  xrge0iifcnv  33893  lmlimxrge0  33908  rge0scvg  33909  lmdvg  33913  esumfsupre  34051  esumpfinvallem  34054  esumpfinval  34055  esumpfinvalf  34056  esumpcvgval  34058  esumcvg  34066  sibfof  34321  sitgclg  34323  sitgaddlemb  34329  hgt750lemf  34646  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  itg2addnclem2  37658  itg2addnclem3  37659  itg2gt0cn  37661  ftc1anclem3  37681  areacirclem2  37695  xralrple2  45303  ge0xrre  45483  fsumge0cl  45528  liminfresre  45734  fouriersw  46186  sge0rnre  46319  fge0iccre  46329  sge0sn  46334  sge0tsms  46335  sge0f1o  46337  sge0repnf  46341  sge0fsum  46342  sge0pr  46349  sge0ltfirp  46355  sge0resplit  46361  sge0le  46362  sge0split  46364  sge0iunmptlemre  46370  sge0isum  46382  sge0ad2en  46386  sge0isummpt2  46387  sge0xaddlem1  46388  sge0xaddlem2  46389  sge0gtfsumgt  46398  sge0uzfsumgt  46399  sge0seq  46401  sge0reuz  46402  sge0reuzb  46403  meassre  46432  meaiuninclem  46435  omessre  46465  omeiunltfirp  46474  carageniuncl  46478  hoidmvlelem1  46550  hoidmvlelem2  46551  hoidmvlelem3  46552  hoidmvlelem4  46553  hoidmvlelem5  46554  hspmbllem1  46581