Theorem rge0ssre 13351

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13349	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3933	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  +∞cpnf 11138   ≤ cle 11142  [,)cico 13242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-addrcl 11062  ax-rnegex 11072  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-ico 13246

This theorem is referenced by:  fsumge0  15697  fprodge0  15895  abvf  20725  rege0subm  21355  rge0srg  21370  icopnfhmeo  24863  iccpnfcnv  24864  cphsqrtcl  25106  ovollb2lem  25411  ovollb2  25412  ovolunlem1a  25419  ovolunlem1  25420  ovoliunlem1  25425  ovolicc1  25439  ovolicc2lem4  25443  ovolre  25448  ioombl1lem2  25482  ioombl1lem4  25484  uniioombllem1  25504  uniioombllem2  25506  uniioombllem3  25508  uniioombllem6  25511  0plef  25595  mbfi1fseqlem3  25640  mbfi1fseqlem4  25641  mbfi1fseqlem5  25642  itg2mulclem  25669  itg2mulc  25670  itg2monolem1  25673  itg2mono  25676  itg2i1fseq  25678  itg2gt0  25683  itg2cnlem1  25684  itg2cnlem2  25685  cxpcn3  26680  rlimcnp  26897  efrlim  26901  efrlimOLD  26902  jensenlem1  26919  jensenlem2  26920  jensen  26921  amgm  26923  axcontlem10  28946  ex-fpar  30434  xrge0adddir  32991  fsumrp0cl  32994  xrge0slmod  33305  xrge0iifcnv  33938  lmlimxrge0  33953  rge0scvg  33954  lmdvg  33958  esumfsupre  34076  esumpfinvallem  34079  esumpfinval  34080  esumpfinvalf  34081  esumpcvgval  34083  esumcvg  34091  sibfof  34345  sitgclg  34347  sitgaddlemb  34353  hgt750lemf  34658  hgt750leme  34663  tgoldbachgtde  34665  itg2addnclem2  37712  itg2addnclem3  37713  itg2gt0cn  37715  ftc1anclem3  37735  areacirclem2  37749  xralrple2  45393  ge0xrre  45571  fsumge0cl  45613  liminfresre  45817  fouriersw  46269  sge0rnre  46402  fge0iccre  46412  sge0sn  46417  sge0tsms  46418  sge0f1o  46420  sge0repnf  46424  sge0fsum  46425  sge0pr  46432  sge0ltfirp  46438  sge0resplit  46444  sge0le  46445  sge0split  46447  sge0iunmptlemre  46453  sge0isum  46465  sge0ad2en  46469  sge0isummpt2  46470  sge0xaddlem1  46471  sge0xaddlem2  46472  sge0gtfsumgt  46481  sge0uzfsumgt  46482  sge0seq  46484  sge0reuz  46485  sge0reuzb  46486  meassre  46515  meaiuninclem  46518  omessre  46548  omeiunltfirp  46557  carageniuncl  46561  hoidmvlelem1  46633  hoidmvlelem2  46634  hoidmvlelem3  46635  hoidmvlelem4  46636  hoidmvlelem5  46637  hspmbllem1  46664  rehalfge1  47366