Theorem rge0ssre 13294

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13292	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 499	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3940	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  (class class class)co 7342  ℝcr 10976  0cc0 10977  +∞cpnf 11112   ≤ cle 11116  [,)cico 13187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-addrcl 11038  ax-rnegex 11048  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-ico 13191

This theorem is referenced by:  fsumge0  15607  fprodge0  15803  abvf  20189  rege0subm  20760  rge0srg  20775  icopnfhmeo  24212  iccpnfcnv  24213  cphsqrtcl  24454  ovollb2lem  24758  ovollb2  24759  ovolunlem1a  24766  ovolunlem1  24767  ovoliunlem1  24772  ovolicc1  24786  ovolicc2lem4  24790  ovolre  24795  ioombl1lem2  24829  ioombl1lem4  24831  uniioombllem1  24851  uniioombllem2  24853  uniioombllem3  24855  uniioombllem6  24858  0plef  24942  mbfi1fseqlem3  24988  mbfi1fseqlem4  24989  mbfi1fseqlem5  24990  itg2mulclem  25017  itg2mulc  25018  itg2monolem1  25021  itg2mono  25024  itg2i1fseq  25026  itg2gt0  25031  itg2cnlem1  25032  itg2cnlem2  25033  cxpcn3  26007  rlimcnp  26221  efrlim  26225  jensenlem1  26242  jensenlem2  26243  jensen  26244  amgm  26246  axcontlem10  27630  ex-fpar  29114  xrge0adddir  31586  fsumrp0cl  31589  xrge0slmod  31842  xrge0iifcnv  32179  lmlimxrge0  32194  rge0scvg  32195  lmdvg  32199  esumfsupre  32335  esumpfinvallem  32338  esumpfinval  32339  esumpfinvalf  32340  esumpcvgval  32342  esumcvg  32350  sibfof  32605  sitgclg  32607  sitgaddlemb  32613  hgt750lemf  32931  hgt750leme  32936  tgoldbachgtde  32938  itg2addnclem2  35983  itg2addnclem3  35984  itg2gt0cn  35986  ftc1anclem3  36006  areacirclem2  36020  xralrple2  43278  ge0xrre  43455  fsumge0cl  43500  liminfresre  43706  fouriersw  44158  sge0rnre  44289  fge0iccre  44299  sge0sn  44304  sge0tsms  44305  sge0f1o  44307  sge0repnf  44311  sge0fsum  44312  sge0pr  44319  sge0ltfirp  44325  sge0resplit  44331  sge0le  44332  sge0split  44334  sge0iunmptlemre  44340  sge0isum  44352  sge0ad2en  44356  sge0isummpt2  44357  sge0xaddlem1  44358  sge0xaddlem2  44359  sge0gtfsumgt  44368  sge0uzfsumgt  44369  sge0seq  44371  sge0reuz  44372  sge0reuzb  44373  meassre  44402  meaiuninclem  44405  omessre  44435  omeiunltfirp  44444  carageniuncl  44448  hoidmvlelem1  44520  hoidmvlelem2  44521  hoidmvlelem3  44522  hoidmvlelem4  44523  hoidmvlelem5  44524  hspmbllem1  44551