Theorem rge0ssre 13591

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13589	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3912	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  +∞cpnf 11344   ≤ cle 11348  [,)cico 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-addrcl 11265  ax-rnegex 11275  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ico 13486

This theorem is used by:  fsumge0  15968  fprodge0  16166  abvf  21078  rege0subm  21735  rge0srg  21750  icopnfhmeo  25270  iccpnfcnv  25271  cphsqrtcl  25511  ovollb2lem  25815  ovollb2  25816  ovolunlem1a  25823  ovolunlem1  25824  ovoliunlem1  25829  ovolicc1  25843  ovolicc2lem4  25847  ovolre  25852  ioombl1lem2  25886  ioombl1lem4  25888  uniioombllem1  25908  uniioombllem2  25910  uniioombllem3  25912  uniioombllem6  25915  0plef  25999  mbfi1fseqlem3  26044  mbfi1fseqlem4  26045  mbfi1fseqlem5  26046  itg2mulclem  26073  itg2mulc  26074  itg2monolem1  26077  itg2mono  26080  itg2i1fseq  26082  itg2gt0  26087  itg2cnlem1  26088  itg2cnlem2  26089  cxpcn3  27082  rlimcnp  27299  efrlim  27303  jensenlem1  27320  jensenlem2  27321  jensen  27322  amgm  27324  axcontlem10  29557  ex-fpar  31069  xrge0adddir  33626  fsumrp0cl  33629  xrge0slmod  33956  xrge0iifcnv  34612  lmlimxrge0  34627  rge0scvg  34628  lmdvg  34632  esumfsupre  34750  esumpfinvallem  34753  esumpfinval  34754  esumpfinvalf  34755  esumpcvgval  34757  esumcvg  34765  sibfof  35019  sitgclg  35021  sitgaddlemb  35027  hgt750lemf  35329  hgt750leme  35334  tgoldbachgtde  35336  itg2addnclem2  38684  itg2addnclem3  38685  itg2gt0cn  38687  ftc1anclem3  38707  areacirclem2  38721  xralrple2  46460  ge0xrre  46637  fsumge0cl  46679  liminfresre  46883  fouriersw  47335  sge0rnre  47468  fge0iccre  47478  sge0sn  47483  sge0tsms  47484  sge0f1o  47486  sge0repnf  47490  sge0fsum  47491  sge0pr  47498  sge0ltfirp  47504  sge0resplit  47510  sge0le  47511  sge0split  47513  sge0iunmptlemre  47519  sge0isum  47531  sge0ad2en  47535  sge0isummpt2  47536  sge0xaddlem1  47537  sge0xaddlem2  47538  sge0gtfsumgt  47547  sge0uzfsumgt  47548  sge0seq  47550  sge0reuz  47551  sge0reuzb  47552  meassre  47581  meaiuninclem  47584  omessre  47614  omeiunltfirp  47623  carageniuncl  47627  hoidmvlelem1  47699  hoidmvlelem2  47700  hoidmvlelem3  47701  hoidmvlelem4  47702  hoidmvlelem5  47703  hspmbllem1  47730  rehalfge1  48503