Theorem rge0ssre 13188

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13186	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3925	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006   ≤ cle 11010  [,)cico 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085

This theorem is referenced by:  fsumge0  15507  fprodge0  15703  abvf  20083  rege0subm  20654  rge0srg  20669  icopnfhmeo  24106  iccpnfcnv  24107  cphsqrtcl  24348  ovollb2lem  24652  ovollb2  24653  ovolunlem1a  24660  ovolunlem1  24661  ovoliunlem1  24666  ovolicc1  24680  ovolicc2lem4  24684  ovolre  24689  ioombl1lem2  24723  ioombl1lem4  24725  uniioombllem1  24745  uniioombllem2  24747  uniioombllem3  24749  uniioombllem6  24752  0plef  24836  mbfi1fseqlem3  24882  mbfi1fseqlem4  24883  mbfi1fseqlem5  24884  itg2mulclem  24911  itg2mulc  24912  itg2monolem1  24915  itg2mono  24918  itg2i1fseq  24920  itg2gt0  24925  itg2cnlem1  24926  itg2cnlem2  24927  cxpcn3  25901  rlimcnp  26115  efrlim  26119  jensenlem1  26136  jensenlem2  26137  jensen  26138  amgm  26140  axcontlem10  27341  ex-fpar  28826  xrge0adddir  31301  fsumrp0cl  31304  xrge0slmod  31548  xrge0iifcnv  31883  lmlimxrge0  31898  rge0scvg  31899  lmdvg  31903  esumfsupre  32039  esumpfinvallem  32042  esumpfinval  32043  esumpfinvalf  32044  esumpcvgval  32046  esumcvg  32054  sibfof  32307  sitgclg  32309  sitgaddlemb  32315  hgt750lemf  32633  hgt750leme  32638  tgoldbachgtde  32640  itg2addnclem2  35829  itg2addnclem3  35830  itg2gt0cn  35832  ftc1anclem3  35852  areacirclem2  35866  xralrple2  42893  ge0xrre  43069  fsumge0cl  43114  liminfresre  43320  fouriersw  43772  sge0rnre  43902  fge0iccre  43912  sge0sn  43917  sge0tsms  43918  sge0f1o  43920  sge0repnf  43924  sge0fsum  43925  sge0pr  43932  sge0ltfirp  43938  sge0resplit  43944  sge0le  43945  sge0split  43947  sge0iunmptlemre  43953  sge0isum  43965  sge0ad2en  43969  sge0isummpt2  43970  sge0xaddlem1  43971  sge0xaddlem2  43972  sge0gtfsumgt  43981  sge0uzfsumgt  43982  sge0seq  43984  sge0reuz  43985  sge0reuzb  43986  meassre  44015  meaiuninclem  44018  omessre  44048  omeiunltfirp  44057  carageniuncl  44061  hoidmvlelem1  44133  hoidmvlelem2  44134  hoidmvlelem3  44135  hoidmvlelem4  44136  hoidmvlelem5  44137  hspmbllem1  44164