Theorem rge0ssre 13496

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13494	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3987	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292   ≤ cle 11296  [,)cico 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393

This theorem is referenced by:  fsumge0  15831  fprodge0  16029  abvf  20816  rege0subm  21441  rge0srg  21456  icopnfhmeo  24974  iccpnfcnv  24975  cphsqrtcl  25218  ovollb2lem  25523  ovollb2  25524  ovolunlem1a  25531  ovolunlem1  25532  ovoliunlem1  25537  ovolicc1  25551  ovolicc2lem4  25555  ovolre  25560  ioombl1lem2  25594  ioombl1lem4  25596  uniioombllem1  25616  uniioombllem2  25618  uniioombllem3  25620  uniioombllem6  25623  0plef  25707  mbfi1fseqlem3  25752  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  itg2monolem1  25785  itg2mono  25788  itg2i1fseq  25790  itg2gt0  25795  itg2cnlem1  25796  itg2cnlem2  25797  cxpcn3  26791  rlimcnp  27008  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  jensenlem1  27030  jensenlem2  27031  jensen  27032  amgm  27034  axcontlem10  28988  ex-fpar  30481  xrge0adddir  33023  fsumrp0cl  33026  xrge0slmod  33376  xrge0iifcnv  33932  lmlimxrge0  33947  rge0scvg  33948  lmdvg  33952  esumfsupre  34072  esumpfinvallem  34075  esumpfinval  34076  esumpfinvalf  34077  esumpcvgval  34079  esumcvg  34087  sibfof  34342  sitgclg  34344  sitgaddlemb  34350  hgt750lemf  34668  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  itg2addnclem2  37679  itg2addnclem3  37680  itg2gt0cn  37682  ftc1anclem3  37702  areacirclem2  37716  xralrple2  45365  ge0xrre  45544  fsumge0cl  45588  liminfresre  45794  fouriersw  46246  sge0rnre  46379  fge0iccre  46389  sge0sn  46394  sge0tsms  46395  sge0f1o  46397  sge0repnf  46401  sge0fsum  46402  sge0pr  46409  sge0ltfirp  46415  sge0resplit  46421  sge0le  46422  sge0split  46424  sge0iunmptlemre  46430  sge0isum  46442  sge0ad2en  46446  sge0isummpt2  46447  sge0xaddlem1  46448  sge0xaddlem2  46449  sge0gtfsumgt  46458  sge0uzfsumgt  46459  sge0seq  46461  sge0reuz  46462  sge0reuzb  46463  meassre  46492  meaiuninclem  46495  omessre  46525  omeiunltfirp  46534  carageniuncl  46538  hoidmvlelem1  46610  hoidmvlelem2  46611  hoidmvlelem3  46612  hoidmvlelem4  46613  hoidmvlelem5  46614  hspmbllem1  46641