Theorem rge0ssre 13424

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13422	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3953	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  [,)cico 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319

This theorem is referenced by:  fsumge0  15768  fprodge0  15966  abvf  20731  rege0subm  21347  rge0srg  21362  icopnfhmeo  24848  iccpnfcnv  24849  cphsqrtcl  25091  ovollb2lem  25396  ovollb2  25397  ovolunlem1a  25404  ovolunlem1  25405  ovoliunlem1  25410  ovolicc1  25424  ovolicc2lem4  25428  ovolre  25433  ioombl1lem2  25467  ioombl1lem4  25469  uniioombllem1  25489  uniioombllem2  25491  uniioombllem3  25493  uniioombllem6  25496  0plef  25580  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  itg2mulclem  25654  itg2mulc  25655  itg2monolem1  25658  itg2mono  25661  itg2i1fseq  25663  itg2gt0  25668  itg2cnlem1  25669  itg2cnlem2  25670  cxpcn3  26665  rlimcnp  26882  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  jensenlem1  26904  jensenlem2  26905  jensen  26906  amgm  26908  axcontlem10  28907  ex-fpar  30398  xrge0adddir  32966  fsumrp0cl  32969  xrge0slmod  33326  xrge0iifcnv  33930  lmlimxrge0  33945  rge0scvg  33946  lmdvg  33950  esumfsupre  34068  esumpfinvallem  34071  esumpfinval  34072  esumpfinvalf  34073  esumpcvgval  34075  esumcvg  34083  sibfof  34338  sitgclg  34340  sitgaddlemb  34346  hgt750lemf  34651  hgt750leme  34656  tgoldbachgtde  34658  itg2addnclem2  37673  itg2addnclem3  37674  itg2gt0cn  37676  ftc1anclem3  37696  areacirclem2  37710  xralrple2  45357  ge0xrre  45536  fsumge0cl  45578  liminfresre  45784  fouriersw  46236  sge0rnre  46369  fge0iccre  46379  sge0sn  46384  sge0tsms  46385  sge0f1o  46387  sge0repnf  46391  sge0fsum  46392  sge0pr  46399  sge0ltfirp  46405  sge0resplit  46411  sge0le  46412  sge0split  46414  sge0iunmptlemre  46420  sge0isum  46432  sge0ad2en  46436  sge0isummpt2  46437  sge0xaddlem1  46438  sge0xaddlem2  46439  sge0gtfsumgt  46448  sge0uzfsumgt  46449  sge0seq  46451  sge0reuz  46452  sge0reuzb  46453  meassre  46482  meaiuninclem  46485  omessre  46515  omeiunltfirp  46524  carageniuncl  46528  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem3  46602  hoidmvlelem4  46603  hoidmvlelem5  46604  hspmbllem1  46631  rehalfge1  47340