Theorem rge0ssre 13384

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13382	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3939	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175   ≤ cle 11179  [,)cico 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ico 13279

This theorem is referenced by:  fsumge0  15730  fprodge0  15928  abvf  20760  rege0subm  21390  rge0srg  21405  icopnfhmeo  24909  iccpnfcnv  24910  cphsqrtcl  25152  ovollb2lem  25457  ovollb2  25458  ovolunlem1a  25465  ovolunlem1  25466  ovoliunlem1  25471  ovolicc1  25485  ovolicc2lem4  25489  ovolre  25494  ioombl1lem2  25528  ioombl1lem4  25530  uniioombllem1  25550  uniioombllem2  25552  uniioombllem3  25554  uniioombllem6  25557  0plef  25641  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  itg2mulclem  25715  itg2mulc  25716  itg2monolem1  25719  itg2mono  25722  itg2i1fseq  25724  itg2gt0  25729  itg2cnlem1  25730  itg2cnlem2  25731  cxpcn3  26726  rlimcnp  26943  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  jensenlem1  26965  jensenlem2  26966  jensen  26967  amgm  26969  axcontlem10  29058  ex-fpar  30549  xrge0adddir  33110  fsumrp0cl  33113  xrge0slmod  33440  xrge0iifcnv  34110  lmlimxrge0  34125  rge0scvg  34126  lmdvg  34130  esumfsupre  34248  esumpfinvallem  34251  esumpfinval  34252  esumpfinvalf  34253  esumpcvgval  34255  esumcvg  34263  sibfof  34517  sitgclg  34519  sitgaddlemb  34525  hgt750lemf  34830  hgt750leme  34835  tgoldbachgtde  34837  itg2addnclem2  37920  itg2addnclem3  37921  itg2gt0cn  37923  ftc1anclem3  37943  areacirclem2  37957  xralrple2  45710  ge0xrre  45888  fsumge0cl  45930  liminfresre  46134  fouriersw  46586  sge0rnre  46719  fge0iccre  46729  sge0sn  46734  sge0tsms  46735  sge0f1o  46737  sge0repnf  46741  sge0fsum  46742  sge0pr  46749  sge0ltfirp  46755  sge0resplit  46761  sge0le  46762  sge0split  46764  sge0iunmptlemre  46770  sge0isum  46782  sge0ad2en  46786  sge0isummpt2  46787  sge0xaddlem1  46788  sge0xaddlem2  46789  sge0gtfsumgt  46798  sge0uzfsumgt  46799  sge0seq  46801  sge0reuz  46802  sge0reuzb  46803  meassre  46832  meaiuninclem  46835  omessre  46865  omeiunltfirp  46874  carageniuncl  46878  hoidmvlelem1  46950  hoidmvlelem2  46951  hoidmvlelem3  46952  hoidmvlelem4  46953  hoidmvlelem5  46954  hspmbllem1  46981  rehalfge1  47692