Theorem rge0ssre 12847

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 12845	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3974	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540  +∞cpnf 10675   ≤ cle 10679  [,)cico 12743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-addrcl 10601  ax-rnegex 10611  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-ico 12747

This theorem is referenced by:  fsumge0  15153  fprodge0  15350  abvf  19597  rege0subm  20604  rge0srg  20619  icopnfhmeo  23550  iccpnfcnv  23551  cphsqrtcl  23791  ovollb2lem  24092  ovollb2  24093  ovolunlem1a  24100  ovolunlem1  24101  ovoliunlem1  24106  ovolicc1  24120  ovolicc2lem4  24124  ovolre  24129  ioombl1lem2  24163  ioombl1lem4  24165  uniioombllem1  24185  uniioombllem2  24187  uniioombllem3  24189  uniioombllem6  24192  0plef  24276  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  itg2monolem1  24354  itg2mono  24357  itg2i1fseq  24359  itg2gt0  24364  itg2cnlem1  24365  itg2cnlem2  24366  cxpcn3  25332  rlimcnp  25546  efrlim  25550  jensenlem1  25567  jensenlem2  25568  jensen  25569  amgm  25571  axcontlem10  26762  ex-fpar  28244  xrge0adddir  30683  fsumrp0cl  30686  xrge0slmod  30921  xrge0iifcnv  31180  lmlimxrge0  31195  rge0scvg  31196  lmdvg  31200  esumfsupre  31334  esumpfinvallem  31337  esumpfinval  31338  esumpfinvalf  31339  esumpcvgval  31341  esumcvg  31349  sibfof  31602  sitgclg  31604  sitgaddlemb  31610  hgt750lemf  31928  hgt750leme  31933  tgoldbachgtde  31935  itg2addnclem2  34948  itg2addnclem3  34949  itg2gt0cn  34951  ftc1anclem3  34973  areacirclem2  34987  xralrple2  41628  ge0xrre  41813  fsumge0cl  41860  liminfresre  42066  fouriersw  42523  sge0rnre  42653  fge0iccre  42663  sge0sn  42668  sge0tsms  42669  sge0f1o  42671  sge0repnf  42675  sge0fsum  42676  sge0pr  42683  sge0ltfirp  42689  sge0resplit  42695  sge0le  42696  sge0split  42698  sge0iunmptlemre  42704  sge0isum  42716  sge0ad2en  42720  sge0isummpt2  42721  sge0xaddlem1  42722  sge0xaddlem2  42723  sge0gtfsumgt  42732  sge0uzfsumgt  42733  sge0seq  42735  sge0reuz  42736  sge0reuzb  42737  meassre  42766  meaiuninclem  42769  omessre  42799  omeiunltfirp  42808  carageniuncl  42812  hoidmvlelem1  42884  hoidmvlelem2  42885  hoidmvlelem3  42886  hoidmvlelem4  42887  hoidmvlelem5  42888  hspmbllem1  42915