Theorem rge0ssre 13580

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13578	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3935	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  +∞cpnf 11333   ≤ cle 11337  [,)cico 13471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ico 13475

This theorem is used by:  fsumge0  15955  fprodge0  16153  abvf  21065  rege0subm  21722  rge0srg  21737  icopnfhmeo  25257  iccpnfcnv  25258  cphsqrtcl  25498  ovollb2lem  25802  ovollb2  25803  ovolunlem1a  25810  ovolunlem1  25811  ovoliunlem1  25816  ovolicc1  25830  ovolicc2lem4  25834  ovolre  25839  ioombl1lem2  25873  ioombl1lem4  25875  uniioombllem1  25895  uniioombllem2  25897  uniioombllem3  25899  uniioombllem6  25902  0plef  25986  mbfi1fseqlem3  26031  mbfi1fseqlem4  26032  mbfi1fseqlem5  26033  itg2mulclem  26060  itg2mulc  26061  itg2monolem1  26064  itg2mono  26067  itg2i1fseq  26069  itg2gt0  26074  itg2cnlem1  26075  itg2cnlem2  26076  cxpcn3  27069  rlimcnp  27286  efrlim  27290  jensenlem1  27307  jensenlem2  27308  jensen  27309  amgm  27311  axcontlem10  29544  ex-fpar  31056  xrge0adddir  33572  fsumrp0cl  33575  xrge0slmod  33902  xrge0iifcnv  34558  lmlimxrge0  34573  rge0scvg  34574  lmdvg  34578  esumfsupre  34696  esumpfinvallem  34699  esumpfinval  34700  esumpfinvalf  34701  esumpcvgval  34703  esumcvg  34711  sibfof  34965  sitgclg  34967  sitgaddlemb  34973  hgt750lemf  35275  hgt750leme  35280  tgoldbachgtde  35282  itg2addnclem2  38570  itg2addnclem3  38571  itg2gt0cn  38573  ftc1anclem3  38593  areacirclem2  38607  xralrple2  46335  ge0xrre  46512  fsumge0cl  46554  liminfresre  46758  fouriersw  47210  sge0rnre  47343  fge0iccre  47353  sge0sn  47358  sge0tsms  47359  sge0f1o  47361  sge0repnf  47365  sge0fsum  47366  sge0pr  47373  sge0ltfirp  47379  sge0resplit  47385  sge0le  47386  sge0split  47388  sge0iunmptlemre  47394  sge0isum  47406  sge0ad2en  47410  sge0isummpt2  47411  sge0xaddlem1  47412  sge0xaddlem2  47413  sge0gtfsumgt  47422  sge0uzfsumgt  47423  sge0seq  47425  sge0reuz  47426  sge0reuzb  47427  meassre  47456  meaiuninclem  47459  omessre  47489  omeiunltfirp  47498  carageniuncl  47502  hoidmvlelem1  47574  hoidmvlelem2  47575  hoidmvlelem3  47576  hoidmvlelem4  47577  hoidmvlelem5  47578  hspmbllem1  47605  rehalfge1  48378