Theorem rge0ssre 13471

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13469	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3962	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11264   ≤ cle 11268  [,)cico 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ico 13366

This theorem is referenced by:  fsumge0  15809  fprodge0  16007  abvf  20773  rege0subm  21389  rge0srg  21404  icopnfhmeo  24890  iccpnfcnv  24891  cphsqrtcl  25134  ovollb2lem  25439  ovollb2  25440  ovolunlem1a  25447  ovolunlem1  25448  ovoliunlem1  25453  ovolicc1  25467  ovolicc2lem4  25471  ovolre  25476  ioombl1lem2  25510  ioombl1lem4  25512  uniioombllem1  25532  uniioombllem2  25534  uniioombllem3  25536  uniioombllem6  25539  0plef  25623  mbfi1fseqlem3  25668  mbfi1fseqlem4  25669  mbfi1fseqlem5  25670  itg2mulclem  25697  itg2mulc  25698  itg2monolem1  25701  itg2mono  25704  itg2i1fseq  25706  itg2gt0  25711  itg2cnlem1  25712  itg2cnlem2  25713  cxpcn3  26708  rlimcnp  26925  efrlim  26929  efrlimOLD  26930  jensenlem1  26947  jensenlem2  26948  jensen  26949  amgm  26951  axcontlem10  28898  ex-fpar  30389  xrge0adddir  32959  fsumrp0cl  32962  xrge0slmod  33309  xrge0iifcnv  33910  lmlimxrge0  33925  rge0scvg  33926  lmdvg  33930  esumfsupre  34048  esumpfinvallem  34051  esumpfinval  34052  esumpfinvalf  34053  esumpcvgval  34055  esumcvg  34063  sibfof  34318  sitgclg  34320  sitgaddlemb  34326  hgt750lemf  34631  hgt750leme  34636  tgoldbachgtde  34638  itg2addnclem2  37642  itg2addnclem3  37643  itg2gt0cn  37645  ftc1anclem3  37665  areacirclem2  37679  xralrple2  45329  ge0xrre  45508  fsumge0cl  45550  liminfresre  45756  fouriersw  46208  sge0rnre  46341  fge0iccre  46351  sge0sn  46356  sge0tsms  46357  sge0f1o  46359  sge0repnf  46363  sge0fsum  46364  sge0pr  46371  sge0ltfirp  46377  sge0resplit  46383  sge0le  46384  sge0split  46386  sge0iunmptlemre  46392  sge0isum  46404  sge0ad2en  46408  sge0isummpt2  46409  sge0xaddlem1  46410  sge0xaddlem2  46411  sge0gtfsumgt  46420  sge0uzfsumgt  46421  sge0seq  46423  sge0reuz  46424  sge0reuzb  46425  meassre  46454  meaiuninclem  46457  omessre  46487  omeiunltfirp  46496  carageniuncl  46500  hoidmvlelem1  46572  hoidmvlelem2  46573  hoidmvlelem3  46574  hoidmvlelem4  46575  hoidmvlelem5  46576  hspmbllem1  46603  rehalfge1  47312