MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0ssre 13302
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 13300 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
21simplbi 499 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3947 1 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wss 3909   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  cle 11124  [,)cico 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-addrcl 11046  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-ico 13199
This theorem is referenced by:  fsumge0  15615  fprodge0  15811  abvf  20205  rege0subm  20776  rge0srg  20791  icopnfhmeo  24228  iccpnfcnv  24229  cphsqrtcl  24470  ovollb2lem  24774  ovollb2  24775  ovolunlem1a  24782  ovolunlem1  24783  ovoliunlem1  24788  ovolicc1  24802  ovolicc2lem4  24806  ovolre  24811  ioombl1lem2  24845  ioombl1lem4  24847  uniioombllem1  24867  uniioombllem2  24869  uniioombllem3  24871  uniioombllem6  24874  0plef  24958  mbfi1fseqlem3  25004  mbfi1fseqlem4  25005  mbfi1fseqlem5  25006  itg2mulclem  25033  itg2mulc  25034  itg2monolem1  25037  itg2mono  25040  itg2i1fseq  25042  itg2gt0  25047  itg2cnlem1  25048  itg2cnlem2  25049  cxpcn3  26023  rlimcnp  26237  efrlim  26241  jensenlem1  26258  jensenlem2  26259  jensen  26260  amgm  26262  axcontlem10  27708  ex-fpar  29192  xrge0adddir  31665  fsumrp0cl  31668  xrge0slmod  31921  xrge0iifcnv  32275  lmlimxrge0  32290  rge0scvg  32291  lmdvg  32295  esumfsupre  32431  esumpfinvallem  32434  esumpfinval  32435  esumpfinvalf  32436  esumpcvgval  32438  esumcvg  32446  sibfof  32701  sitgclg  32703  sitgaddlemb  32709  hgt750lemf  33027  hgt750leme  33032  tgoldbachgtde  33034  itg2addnclem2  36016  itg2addnclem3  36017  itg2gt0cn  36019  ftc1anclem3  36039  areacirclem2  36053  xralrple2  43314  ge0xrre  43491  fsumge0cl  43536  liminfresre  43742  fouriersw  44194  sge0rnre  44327  fge0iccre  44337  sge0sn  44342  sge0tsms  44343  sge0f1o  44345  sge0repnf  44349  sge0fsum  44350  sge0pr  44357  sge0ltfirp  44363  sge0resplit  44369  sge0le  44370  sge0split  44372  sge0iunmptlemre  44378  sge0isum  44390  sge0ad2en  44394  sge0isummpt2  44395  sge0xaddlem1  44396  sge0xaddlem2  44397  sge0gtfsumgt  44406  sge0uzfsumgt  44407  sge0seq  44409  sge0reuz  44410  sge0reuzb  44411  meassre  44440  meaiuninclem  44443  omessre  44473  omeiunltfirp  44482  carageniuncl  44486  hoidmvlelem1  44558  hoidmvlelem2  44559  hoidmvlelem3  44560  hoidmvlelem4  44561  hoidmvlelem5  44562  hspmbllem1  44589
  Copyright terms: Public domain W3C validator