Theorem rge0ssre 13372

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3937	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  +∞cpnf 11163   ≤ cle 11167  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  fsumge0  15718  fprodge0  15916  abvf  20748  rege0subm  21378  rge0srg  21393  icopnfhmeo  24897  iccpnfcnv  24898  cphsqrtcl  25140  ovollb2lem  25445  ovollb2  25446  ovolunlem1a  25453  ovolunlem1  25454  ovoliunlem1  25459  ovolicc1  25473  ovolicc2lem4  25477  ovolre  25482  ioombl1lem2  25516  ioombl1lem4  25518  uniioombllem1  25538  uniioombllem2  25540  uniioombllem3  25542  uniioombllem6  25545  0plef  25629  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  itg2mulclem  25703  itg2mulc  25704  itg2monolem1  25707  itg2mono  25710  itg2i1fseq  25712  itg2gt0  25717  itg2cnlem1  25718  itg2cnlem2  25719  cxpcn3  26714  rlimcnp  26931  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  jensenlem1  26953  jensenlem2  26954  jensen  26955  amgm  26957  axcontlem10  29046  ex-fpar  30537  xrge0adddir  33100  fsumrp0cl  33103  xrge0slmod  33429  xrge0iifcnv  34090  lmlimxrge0  34105  rge0scvg  34106  lmdvg  34110  esumfsupre  34228  esumpfinvallem  34231  esumpfinval  34232  esumpfinvalf  34233  esumpcvgval  34235  esumcvg  34243  sibfof  34497  sitgclg  34499  sitgaddlemb  34505  hgt750lemf  34810  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  itg2gt0cn  37876  ftc1anclem3  37896  areacirclem2  37910  xralrple2  45599  ge0xrre  45777  fsumge0cl  45819  liminfresre  46023  fouriersw  46475  sge0rnre  46608  fge0iccre  46618  sge0sn  46623  sge0tsms  46624  sge0f1o  46626  sge0repnf  46630  sge0fsum  46631  sge0pr  46638  sge0ltfirp  46644  sge0resplit  46650  sge0le  46651  sge0split  46653  sge0iunmptlemre  46659  sge0isum  46671  sge0ad2en  46675  sge0isummpt2  46676  sge0xaddlem1  46677  sge0xaddlem2  46678  sge0gtfsumgt  46687  sge0uzfsumgt  46688  sge0seq  46690  sge0reuz  46691  sge0reuzb  46692  meassre  46721  meaiuninclem  46724  omessre  46754  omeiunltfirp  46763  carageniuncl  46767  hoidmvlelem1  46839  hoidmvlelem2  46840  hoidmvlelem3  46841  hoidmvlelem4  46842  hoidmvlelem5  46843  hspmbllem1  46870  rehalfge1  47581