Theorem rge0ssre 13509

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13507	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3935	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  +∞cpnf 11264   ≤ cle 11268  [,)cico 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ico 13404

This theorem is used by:  fsumge0  15882  fprodge0  16080  abvf  20981  rege0subm  21636  rge0srg  21651  icopnfhmeo  25171  iccpnfcnv  25172  cphsqrtcl  25412  ovollb2lem  25716  ovollb2  25717  ovolunlem1a  25724  ovolunlem1  25725  ovoliunlem1  25730  ovolicc1  25744  ovolicc2lem4  25748  ovolre  25753  ioombl1lem2  25787  ioombl1lem4  25789  uniioombllem1  25809  uniioombllem2  25811  uniioombllem3  25813  uniioombllem6  25816  0plef  25900  mbfi1fseqlem3  25945  mbfi1fseqlem4  25946  mbfi1fseqlem5  25947  itg2mulclem  25974  itg2mulc  25975  itg2monolem1  25978  itg2mono  25981  itg2i1fseq  25983  itg2gt0  25988  itg2cnlem1  25989  itg2cnlem2  25990  cxpcn3  26985  rlimcnp  27202  efrlim  27206  jensenlem1  27223  jensenlem2  27224  jensen  27225  amgm  27227  axcontlem10  29430  ex-fpar  30942  xrge0adddir  33458  fsumrp0cl  33461  xrge0slmod  33788  xrge0iifcnv  34443  lmlimxrge0  34458  rge0scvg  34459  lmdvg  34463  esumfsupre  34581  esumpfinvallem  34584  esumpfinval  34585  esumpfinvalf  34586  esumpcvgval  34588  esumcvg  34596  sibfof  34851  sitgclg  34853  sitgaddlemb  34859  hgt750lemf  35161  hgt750leme  35166  tgoldbachgtde  35168  itg2addnclem2  38421  itg2addnclem3  38422  itg2gt0cn  38424  ftc1anclem3  38444  areacirclem2  38458  xralrple2  46184  ge0xrre  46361  fsumge0cl  46403  liminfresre  46607  fouriersw  47059  sge0rnre  47192  fge0iccre  47202  sge0sn  47207  sge0tsms  47208  sge0f1o  47210  sge0repnf  47214  sge0fsum  47215  sge0pr  47222  sge0ltfirp  47228  sge0resplit  47234  sge0le  47235  sge0split  47237  sge0iunmptlemre  47243  sge0isum  47255  sge0ad2en  47259  sge0isummpt2  47260  sge0xaddlem1  47261  sge0xaddlem2  47262  sge0gtfsumgt  47271  sge0uzfsumgt  47272  sge0seq  47274  sge0reuz  47275  sge0reuzb  47276  meassre  47305  meaiuninclem  47308  omessre  47338  omeiunltfirp  47347  carageniuncl  47351  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem3  47425  hoidmvlelem4  47426  hoidmvlelem5  47427  hspmbllem1  47454  rehalfge1  48227