Theorem rge0ssre 13487

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13485	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3983	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  +∞cpnf 11295   ≤ cle 11299  [,)cico 13380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-addrcl 11219  ax-rnegex 11229  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ico 13384

This theorem is referenced by:  fsumge0  15799  fprodge0  15995  abvf  20794  rege0subm  21420  rge0srg  21435  icopnfhmeo  24959  iccpnfcnv  24960  cphsqrtcl  25203  ovollb2lem  25508  ovollb2  25509  ovolunlem1a  25516  ovolunlem1  25517  ovoliunlem1  25522  ovolicc1  25536  ovolicc2lem4  25540  ovolre  25545  ioombl1lem2  25579  ioombl1lem4  25581  uniioombllem1  25601  uniioombllem2  25603  uniioombllem3  25605  uniioombllem6  25608  0plef  25692  mbfi1fseqlem3  25738  mbfi1fseqlem4  25739  mbfi1fseqlem5  25740  itg2mulclem  25767  itg2mulc  25768  itg2monolem1  25771  itg2mono  25774  itg2i1fseq  25776  itg2gt0  25781  itg2cnlem1  25782  itg2cnlem2  25783  cxpcn3  26776  rlimcnp  26993  efrlim  26997  efrlimOLD  26998  jensenlem1  27015  jensenlem2  27016  jensen  27017  amgm  27019  axcontlem10  28907  ex-fpar  30395  xrge0adddir  32901  fsumrp0cl  32904  xrge0slmod  33223  xrge0iifcnv  33748  lmlimxrge0  33763  rge0scvg  33764  lmdvg  33768  esumfsupre  33904  esumpfinvallem  33907  esumpfinval  33908  esumpfinvalf  33909  esumpcvgval  33911  esumcvg  33919  sibfof  34174  sitgclg  34176  sitgaddlemb  34182  hgt750lemf  34499  hgt750leme  34504  tgoldbachgtde  34506  itg2addnclem2  37373  itg2addnclem3  37374  itg2gt0cn  37376  ftc1anclem3  37396  areacirclem2  37410  xralrple2  44969  ge0xrre  45149  fsumge0cl  45194  liminfresre  45400  fouriersw  45852  sge0rnre  45985  fge0iccre  45995  sge0sn  46000  sge0tsms  46001  sge0f1o  46003  sge0repnf  46007  sge0fsum  46008  sge0pr  46015  sge0ltfirp  46021  sge0resplit  46027  sge0le  46028  sge0split  46030  sge0iunmptlemre  46036  sge0isum  46048  sge0ad2en  46052  sge0isummpt2  46053  sge0xaddlem1  46054  sge0xaddlem2  46055  sge0gtfsumgt  46064  sge0uzfsumgt  46065  sge0seq  46067  sge0reuz  46068  sge0reuzb  46069  meassre  46098  meaiuninclem  46101  omessre  46131  omeiunltfirp  46140  carageniuncl  46144  hoidmvlelem1  46216  hoidmvlelem2  46217  hoidmvlelem3  46218  hoidmvlelem4  46219  hoidmvlelem5  46220  hspmbllem1  46247