Theorem rge0ssre 13417

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13415	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3950	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209  [,)cico 13308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312

This theorem is referenced by:  fsumge0  15761  fprodge0  15959  abvf  20724  rege0subm  21340  rge0srg  21355  icopnfhmeo  24841  iccpnfcnv  24842  cphsqrtcl  25084  ovollb2lem  25389  ovollb2  25390  ovolunlem1a  25397  ovolunlem1  25398  ovoliunlem1  25403  ovolicc1  25417  ovolicc2lem4  25421  ovolre  25426  ioombl1lem2  25460  ioombl1lem4  25462  uniioombllem1  25482  uniioombllem2  25484  uniioombllem3  25486  uniioombllem6  25489  0plef  25573  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  itg2mulclem  25647  itg2mulc  25648  itg2monolem1  25651  itg2mono  25654  itg2i1fseq  25656  itg2gt0  25661  itg2cnlem1  25662  itg2cnlem2  25663  cxpcn3  26658  rlimcnp  26875  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  jensenlem1  26897  jensenlem2  26898  jensen  26899  amgm  26901  axcontlem10  28900  ex-fpar  30391  xrge0adddir  32959  fsumrp0cl  32962  xrge0slmod  33319  xrge0iifcnv  33923  lmlimxrge0  33938  rge0scvg  33939  lmdvg  33943  esumfsupre  34061  esumpfinvallem  34064  esumpfinval  34065  esumpfinvalf  34066  esumpcvgval  34068  esumcvg  34076  sibfof  34331  sitgclg  34333  sitgaddlemb  34339  hgt750lemf  34644  hgt750leme  34649  tgoldbachgtde  34651  itg2addnclem2  37666  itg2addnclem3  37667  itg2gt0cn  37669  ftc1anclem3  37689  areacirclem2  37703  xralrple2  45350  ge0xrre  45529  fsumge0cl  45571  liminfresre  45777  fouriersw  46229  sge0rnre  46362  fge0iccre  46372  sge0sn  46377  sge0tsms  46378  sge0f1o  46380  sge0repnf  46384  sge0fsum  46385  sge0pr  46392  sge0ltfirp  46398  sge0resplit  46404  sge0le  46405  sge0split  46407  sge0iunmptlemre  46413  sge0isum  46425  sge0ad2en  46429  sge0isummpt2  46430  sge0xaddlem1  46431  sge0xaddlem2  46432  sge0gtfsumgt  46441  sge0uzfsumgt  46442  sge0seq  46444  sge0reuz  46445  sge0reuzb  46446  meassre  46475  meaiuninclem  46478  omessre  46508  omeiunltfirp  46517  carageniuncl  46521  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem3  46595  hoidmvlelem4  46596  hoidmvlelem5  46597  hspmbllem1  46624  rehalfge1  47336