Theorem rge0ssre 13009

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13007	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3891	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  +∞cpnf 10829   ≤ cle 10833  [,)cico 12902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-addrcl 10755  ax-rnegex 10765  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-ico 12906

This theorem is referenced by:  fsumge0  15322  fprodge0  15518  abvf  19813  rege0subm  20373  rge0srg  20388  icopnfhmeo  23794  iccpnfcnv  23795  cphsqrtcl  24035  ovollb2lem  24339  ovollb2  24340  ovolunlem1a  24347  ovolunlem1  24348  ovoliunlem1  24353  ovolicc1  24367  ovolicc2lem4  24371  ovolre  24376  ioombl1lem2  24410  ioombl1lem4  24412  uniioombllem1  24432  uniioombllem2  24434  uniioombllem3  24436  uniioombllem6  24439  0plef  24523  mbfi1fseqlem3  24569  mbfi1fseqlem4  24570  mbfi1fseqlem5  24571  itg2mulclem  24598  itg2mulc  24599  itg2monolem1  24602  itg2mono  24605  itg2i1fseq  24607  itg2gt0  24612  itg2cnlem1  24613  itg2cnlem2  24614  cxpcn3  25588  rlimcnp  25802  efrlim  25806  jensenlem1  25823  jensenlem2  25824  jensen  25825  amgm  25827  axcontlem10  27018  ex-fpar  28499  xrge0adddir  30974  fsumrp0cl  30977  xrge0slmod  31216  xrge0iifcnv  31551  lmlimxrge0  31566  rge0scvg  31567  lmdvg  31571  esumfsupre  31705  esumpfinvallem  31708  esumpfinval  31709  esumpfinvalf  31710  esumpcvgval  31712  esumcvg  31720  sibfof  31973  sitgclg  31975  sitgaddlemb  31981  hgt750lemf  32299  hgt750leme  32304  tgoldbachgtde  32306  itg2addnclem2  35515  itg2addnclem3  35516  itg2gt0cn  35518  ftc1anclem3  35538  areacirclem2  35552  xralrple2  42507  ge0xrre  42685  fsumge0cl  42732  liminfresre  42938  fouriersw  43390  sge0rnre  43520  fge0iccre  43530  sge0sn  43535  sge0tsms  43536  sge0f1o  43538  sge0repnf  43542  sge0fsum  43543  sge0pr  43550  sge0ltfirp  43556  sge0resplit  43562  sge0le  43563  sge0split  43565  sge0iunmptlemre  43571  sge0isum  43583  sge0ad2en  43587  sge0isummpt2  43588  sge0xaddlem1  43589  sge0xaddlem2  43590  sge0gtfsumgt  43599  sge0uzfsumgt  43600  sge0seq  43602  sge0reuz  43603  sge0reuzb  43604  meassre  43633  meaiuninclem  43636  omessre  43666  omeiunltfirp  43675  carageniuncl  43679  hoidmvlelem1  43751  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem3  43753  hoidmvlelem4  43754  hoidmvlelem5  43755  hspmbllem1  43782