Theorem rge0ssre 13393

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13391	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3947	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181   ≤ cle 11185  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ico 13288

This theorem is referenced by:  fsumge0  15737  fprodge0  15935  abvf  20700  rege0subm  21316  rge0srg  21331  icopnfhmeo  24817  iccpnfcnv  24818  cphsqrtcl  25060  ovollb2lem  25365  ovollb2  25366  ovolunlem1a  25373  ovolunlem1  25374  ovoliunlem1  25379  ovolicc1  25393  ovolicc2lem4  25397  ovolre  25402  ioombl1lem2  25436  ioombl1lem4  25438  uniioombllem1  25458  uniioombllem2  25460  uniioombllem3  25462  uniioombllem6  25465  0plef  25549  mbfi1fseqlem3  25594  mbfi1fseqlem4  25595  mbfi1fseqlem5  25596  itg2mulclem  25623  itg2mulc  25624  itg2monolem1  25627  itg2mono  25630  itg2i1fseq  25632  itg2gt0  25637  itg2cnlem1  25638  itg2cnlem2  25639  cxpcn3  26634  rlimcnp  26851  efrlim  26855  efrlimOLD  26856  jensenlem1  26873  jensenlem2  26874  jensen  26875  amgm  26877  axcontlem10  28876  ex-fpar  30364  xrge0adddir  32932  fsumrp0cl  32935  xrge0slmod  33292  xrge0iifcnv  33896  lmlimxrge0  33911  rge0scvg  33912  lmdvg  33916  esumfsupre  34034  esumpfinvallem  34037  esumpfinval  34038  esumpfinvalf  34039  esumpcvgval  34041  esumcvg  34049  sibfof  34304  sitgclg  34306  sitgaddlemb  34312  hgt750lemf  34617  hgt750leme  34622  tgoldbachgtde  34624  itg2addnclem2  37639  itg2addnclem3  37640  itg2gt0cn  37642  ftc1anclem3  37662  areacirclem2  37676  xralrple2  45323  ge0xrre  45502  fsumge0cl  45544  liminfresre  45750  fouriersw  46202  sge0rnre  46335  fge0iccre  46345  sge0sn  46350  sge0tsms  46351  sge0f1o  46353  sge0repnf  46357  sge0fsum  46358  sge0pr  46365  sge0ltfirp  46371  sge0resplit  46377  sge0le  46378  sge0split  46380  sge0iunmptlemre  46386  sge0isum  46398  sge0ad2en  46402  sge0isummpt2  46403  sge0xaddlem1  46404  sge0xaddlem2  46405  sge0gtfsumgt  46414  sge0uzfsumgt  46415  sge0seq  46417  sge0reuz  46418  sge0reuzb  46419  meassre  46448  meaiuninclem  46451  omessre  46481  omeiunltfirp  46490  carageniuncl  46494  hoidmvlelem1  46566  hoidmvlelem2  46567  hoidmvlelem3  46568  hoidmvlelem4  46569  hoidmvlelem5  46570  hspmbllem1  46597  rehalfge1  47309