Theorem rge0ssre 13625

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3917	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237  +∞cpnf 11377   ≤ cle 11381  [,)cico 13516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-addrcl 11298  ax-rnegex 11308  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-ico 13520

This theorem is used by:  fsumge0  16003  fprodge0  16201  abvf  21114  rege0subm  21773  rge0srg  21788  icopnfhmeo  25308  iccpnfcnv  25309  cphsqrtcl  25549  ovollb2lem  25853  ovollb2  25854  ovolunlem1a  25861  ovolunlem1  25862  ovoliunlem1  25867  ovolicc1  25881  ovolicc2lem4  25885  ovolre  25890  ioombl1lem2  25924  ioombl1lem4  25926  uniioombllem1  25946  uniioombllem2  25948  uniioombllem3  25950  uniioombllem6  25953  0plef  26037  mbfi1fseqlem3  26082  mbfi1fseqlem4  26083  mbfi1fseqlem5  26084  itg2mulclem  26111  itg2mulc  26112  itg2monolem1  26115  itg2mono  26118  itg2i1fseq  26120  itg2gt0  26125  itg2cnlem1  26126  itg2cnlem2  26127  cxpcn3  27122  rlimcnp  27339  efrlim  27343  jensenlem1  27360  jensenlem2  27361  jensen  27362  amgm  27364  axcontlem10  29597  ex-fpar  31109  xrge0adddir  33668  fsumrp0cl  33671  xrge0slmod  34006  xrge0iifcnv  34669  lmlimxrge0  34684  rge0scvg  34685  lmdvg  34689  esumfsupre  34807  esumpfinvallem  34810  esumpfinval  34811  esumpfinvalf  34812  esumpcvgval  34814  esumcvg  34822  sibfof  35076  sitgclg  35078  sitgaddlemb  35084  hgt750lemf  35386  hgt750leme  35391  tgoldbachgtde  35393  itg2addnclem2  38851  itg2addnclem3  38852  itg2gt0cn  38854  ftc1anclem3  38874  areacirclem2  38888  xralrple2  46633  ge0xrre  46810  fsumge0cl  46852  liminfresre  47056  fouriersw  47508  sge0rnre  47641  fge0iccre  47651  sge0sn  47656  sge0tsms  47657  sge0f1o  47659  sge0repnf  47663  sge0fsum  47664  sge0pr  47671  sge0ltfirp  47677  sge0resplit  47683  sge0le  47684  sge0split  47686  sge0iunmptlemre  47692  sge0isum  47704  sge0ad2en  47708  sge0isummpt2  47709  sge0xaddlem1  47710  sge0xaddlem2  47711  sge0gtfsumgt  47720  sge0uzfsumgt  47721  sge0seq  47723  sge0reuz  47724  sge0reuzb  47725  meassre  47754  meaiuninclem  47757  omessre  47787  omeiunltfirp  47796  carageniuncl  47800  hoidmvlelem1  47872  hoidmvlelem2  47873  hoidmvlelem3  47874  hoidmvlelem4  47875  hoidmvlelem5  47876  hspmbllem1  47903  rehalfge1  48676