Theorem rge0ssre 13437

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13435	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3985	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334

This theorem is referenced by:  fsumge0  15745  fprodge0  15941  abvf  20574  rege0subm  21201  rge0srg  21216  icopnfhmeo  24688  iccpnfcnv  24689  cphsqrtcl  24932  ovollb2lem  25237  ovollb2  25238  ovolunlem1a  25245  ovolunlem1  25246  ovoliunlem1  25251  ovolicc1  25265  ovolicc2lem4  25269  ovolre  25274  ioombl1lem2  25308  ioombl1lem4  25310  uniioombllem1  25330  uniioombllem2  25332  uniioombllem3  25334  uniioombllem6  25337  0plef  25421  mbfi1fseqlem3  25467  mbfi1fseqlem4  25468  mbfi1fseqlem5  25469  itg2mulclem  25496  itg2mulc  25497  itg2monolem1  25500  itg2mono  25503  itg2i1fseq  25505  itg2gt0  25510  itg2cnlem1  25511  itg2cnlem2  25512  cxpcn3  26492  rlimcnp  26706  efrlim  26710  jensenlem1  26727  jensenlem2  26728  jensen  26729  amgm  26731  axcontlem10  28498  ex-fpar  29982  xrge0adddir  32460  fsumrp0cl  32463  xrge0slmod  32733  xrge0iifcnv  33211  lmlimxrge0  33226  rge0scvg  33227  lmdvg  33231  esumfsupre  33367  esumpfinvallem  33370  esumpfinval  33371  esumpfinvalf  33372  esumpcvgval  33374  esumcvg  33382  sibfof  33637  sitgclg  33639  sitgaddlemb  33645  hgt750lemf  33963  hgt750leme  33968  tgoldbachgtde  33970  itg2addnclem2  36843  itg2addnclem3  36844  itg2gt0cn  36846  ftc1anclem3  36866  areacirclem2  36880  xralrple2  44362  ge0xrre  44542  fsumge0cl  44587  liminfresre  44793  fouriersw  45245  sge0rnre  45378  fge0iccre  45388  sge0sn  45393  sge0tsms  45394  sge0f1o  45396  sge0repnf  45400  sge0fsum  45401  sge0pr  45408  sge0ltfirp  45414  sge0resplit  45420  sge0le  45421  sge0split  45423  sge0iunmptlemre  45429  sge0isum  45441  sge0ad2en  45445  sge0isummpt2  45446  sge0xaddlem1  45447  sge0xaddlem2  45448  sge0gtfsumgt  45457  sge0uzfsumgt  45458  sge0seq  45460  sge0reuz  45461  sge0reuzb  45462  meassre  45491  meaiuninclem  45494  omessre  45524  omeiunltfirp  45533  carageniuncl  45537  hoidmvlelem1  45609  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem3  45611  hoidmvlelem4  45612  hoidmvlelem5  45613  hspmbllem1  45640