Theorem rge0ssre 13407

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13405	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3926	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  +∞cpnf 11174   ≤ cle 11178  [,)cico 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-addrcl 11097  ax-rnegex 11107  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ico 13302

This theorem is referenced by:  fsumge0  15756  fprodge0  15956  abvf  20794  rege0subm  21405  rge0srg  21420  icopnfhmeo  24935  iccpnfcnv  24936  cphsqrtcl  25176  ovollb2lem  25480  ovollb2  25481  ovolunlem1a  25488  ovolunlem1  25489  ovoliunlem1  25494  ovolicc1  25508  ovolicc2lem4  25512  ovolre  25517  ioombl1lem2  25551  ioombl1lem4  25553  uniioombllem1  25573  uniioombllem2  25575  uniioombllem3  25577  uniioombllem6  25580  0plef  25664  mbfi1fseqlem3  25709  mbfi1fseqlem4  25710  mbfi1fseqlem5  25711  itg2mulclem  25738  itg2mulc  25739  itg2monolem1  25742  itg2mono  25745  itg2i1fseq  25747  itg2gt0  25752  itg2cnlem1  25753  itg2cnlem2  25754  cxpcn3  26737  rlimcnp  26954  efrlim  26958  jensenlem1  26975  jensenlem2  26976  jensen  26977  amgm  26979  axcontlem10  29067  ex-fpar  30557  xrge0adddir  33104  fsumrp0cl  33107  xrge0slmod  33438  xrge0iifcnv  34124  lmlimxrge0  34139  rge0scvg  34140  lmdvg  34144  esumfsupre  34262  esumpfinvallem  34265  esumpfinval  34266  esumpfinvalf  34267  esumpcvgval  34269  esumcvg  34277  sibfof  34531  sitgclg  34533  sitgaddlemb  34539  hgt750lemf  34844  hgt750leme  34849  tgoldbachgtde  34851  itg2addnclem2  38046  itg2addnclem3  38047  itg2gt0cn  38049  ftc1anclem3  38069  areacirclem2  38083  xralrple2  45806  ge0xrre  45983  fsumge0cl  46025  liminfresre  46229  fouriersw  46681  sge0rnre  46814  fge0iccre  46824  sge0sn  46829  sge0tsms  46830  sge0f1o  46832  sge0repnf  46836  sge0fsum  46837  sge0pr  46844  sge0ltfirp  46850  sge0resplit  46856  sge0le  46857  sge0split  46859  sge0iunmptlemre  46865  sge0isum  46877  sge0ad2en  46881  sge0isummpt2  46882  sge0xaddlem1  46883  sge0xaddlem2  46884  sge0gtfsumgt  46893  sge0uzfsumgt  46894  sge0seq  46896  sge0reuz  46897  sge0reuzb  46898  meassre  46927  meaiuninclem  46930  omessre  46960  omeiunltfirp  46969  carageniuncl  46973  hoidmvlelem1  47045  hoidmvlelem2  47046  hoidmvlelem3  47047  hoidmvlelem4  47048  hoidmvlelem5  47049  hspmbllem1  47076  rehalfge1  47809