Theorem rge0ssre 13117

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 13115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3921	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  [,)cico 13010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ico 13014

This theorem is referenced by:  fsumge0  15435  fprodge0  15631  abvf  19998  rege0subm  20566  rge0srg  20581  icopnfhmeo  24012  iccpnfcnv  24013  cphsqrtcl  24253  ovollb2lem  24557  ovollb2  24558  ovolunlem1a  24565  ovolunlem1  24566  ovoliunlem1  24571  ovolicc1  24585  ovolicc2lem4  24589  ovolre  24594  ioombl1lem2  24628  ioombl1lem4  24630  uniioombllem1  24650  uniioombllem2  24652  uniioombllem3  24654  uniioombllem6  24657  0plef  24741  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  itg2mulclem  24816  itg2mulc  24817  itg2monolem1  24820  itg2mono  24823  itg2i1fseq  24825  itg2gt0  24830  itg2cnlem1  24831  itg2cnlem2  24832  cxpcn3  25806  rlimcnp  26020  efrlim  26024  jensenlem1  26041  jensenlem2  26042  jensen  26043  amgm  26045  axcontlem10  27244  ex-fpar  28727  xrge0adddir  31203  fsumrp0cl  31206  xrge0slmod  31450  xrge0iifcnv  31785  lmlimxrge0  31800  rge0scvg  31801  lmdvg  31805  esumfsupre  31939  esumpfinvallem  31942  esumpfinval  31943  esumpfinvalf  31944  esumpcvgval  31946  esumcvg  31954  sibfof  32207  sitgclg  32209  sitgaddlemb  32215  hgt750lemf  32533  hgt750leme  32538  tgoldbachgtde  32540  itg2addnclem2  35756  itg2addnclem3  35757  itg2gt0cn  35759  ftc1anclem3  35779  areacirclem2  35793  xralrple2  42783  ge0xrre  42959  fsumge0cl  43004  liminfresre  43210  fouriersw  43662  sge0rnre  43792  fge0iccre  43802  sge0sn  43807  sge0tsms  43808  sge0f1o  43810  sge0repnf  43814  sge0fsum  43815  sge0pr  43822  sge0ltfirp  43828  sge0resplit  43834  sge0le  43835  sge0split  43837  sge0iunmptlemre  43843  sge0isum  43855  sge0ad2en  43859  sge0isummpt2  43860  sge0xaddlem1  43861  sge0xaddlem2  43862  sge0gtfsumgt  43871  sge0uzfsumgt  43872  sge0seq  43874  sge0reuz  43875  sge0reuzb  43876  meassre  43905  meaiuninclem  43908  omessre  43938  omeiunltfirp  43947  carageniuncl  43951  hoidmvlelem1  44023  hoidmvlelem2  44024  hoidmvlelem3  44025  hoidmvlelem4  44026  hoidmvlelem5  44027  hspmbllem1  44054